Binomialsatsen

Binomialutvidgningar med Pascals triangel

Tänk på följande utvidgade krafter (a + b) n, där a + b är vilken binomial som helst och n är ett heltal. Leta efter mönster.

varje expansion är ett polynom. Det finns några mönster att notera.

1. Det finns ytterligare en term än exponentens kraft, n. det vill säga det finns termer i expansionen av (a + b)n.

2. I varje term är summan av exponenterna n, den kraft som binomialen höjs till.

3. Exponenterna för en start med n, kraften i binomial, och minska till 0. Den sista termen har ingen faktor a. den första termen har ingen faktor b, så befogenheter b börjar med 0 och ökar till n.

4. Koefficienterna börjar vid 1 och ökar genom vissa värden ungefär ”halv” – väg och minskar sedan genom samma värden tillbaka till 1.

låt oss undersöka koefficienterna ytterligare. Antag att vi vill hitta en expansion av (a + b) 6. Mönstren vi just noterade indikerar att det finns 7 termer i expansionen:
a6 + c1a5b + c2a4b2 + c3a3b3 + c4a2b4 + c5ab5 + b6.
Hur kan vi bestämma värdet på varje koefficient, ci? Vi kan göra det på två sätt. Den första metoden innebär att koefficienterna skrivs i en triangulär array, enligt följande. Detta kallas Pascals triangel:

det finns många mönster i triangeln. Hitta så många du kan.
kanske upptäckte du ett sätt att skriva nästa rad med siffror, med tanke på siffrorna i raden ovanför den. Det finns alltid 1 på utsidan. Varje återstående nummer är summan av de två siffrorna ovanför den. Låt oss försöka hitta en expansion för (a + b)6 genom att lägga till en annan rad med de mönster vi har upptäckt:

vi ser att i den sista raden

1: A och sista siffrorna är 1;
2: a numret är 1 + 5 eller 6;
3: e numret är 5 + 10 eller 15;
4: e numret är 10 + 10, eller 20;
det 5: e numret är 10 + 5 eller 15; och
det 6: e numret är 5 + 1 eller 6.

således är expansionen för(a + b)6
(a + b)6 = 1A6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1B6.

för att hitta en expansion för (a + b)8 kompletterar vi ytterligare två rader av Pascals triangel:

således är expansionen av
(a + b)8 = a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8.

Vi kan generalisera våra resultat enligt följande.

Binomialsatsen med Pascals triangel

för alla binomiala a + b och alla naturliga tal n,
(a + b)n = c0anb0 + c1an-1B1 + c2an-2B2 + …. + cn-1a1bn – 1 + cna0bn,
där siffrorna c0, c1, c2,…., cn-1, cn är från (n + 1)-st raden i Pascals triangel.

exempel 1 expandera: (u-v) 5.

lösning vi har (a + b) n, där a = u, b = -v och n = 5. Vi använder den 6: e raden av Pascals triangel:
1 5 10 10 5 1
då har vi
(u – v)5 = 5 = 1(u)5 + 5(u)4(-v)1 + 10(u)3(-v)2 + 10(u)2(-v)3 + 5(u)(-V)4 + 1(-v)5 = u5-5u4v + 10u3v2 – 10u2v3 + 5uv4-v5.
Observera att tecknen på termerna växlar mellan + och -. När kraften i-v är udda är tecknet -.

exempel 2 expandera: (2t + 3 / t)4.

lösning vi har (a + b) n, där a = 2T, b = 3/t och n = 4. Vi använder den 5: e raden av Pascals triangel:
1 4 6 4 1
då har vi

Binomial Expansion med faktoriell Notation

Antag att vi vill hitta expansionen av (a + b)11. Nackdelen med att använda Pascals triangel är att vi måste beräkna alla föregående rader i triangeln för att få den rad som behövs för expansionen. Följande metod undviker detta. Det gör det också möjligt för oss att hitta en specifik term — säg den 8: e termen — utan att beräkna alla andra villkor för expansionen. Denna metod är användbar i sådana kurser som ändlig matematik, kalkyl och statistik, och den använder binomialkoefficientnotationen .
vi kan upprepa Binomialsatsen enligt följande.

Binomialsatsen med faktoriell Notation

för varje binomial (A + b) och något naturligt tal n,
.

Binomialsatsen kan bevisas genom matematisk induktion. (Se övning 63.) Denna form visar varför kallas en binomialkoefficient.

exempel 3 expandera: (x2-2y) 5.

lösning vi har (a + b) n,där a = x2, b = -2y och n = 5. Sedan använder vi Binomialsatsen, vi har

slutligen (x2 – 2y)5 = x10 – 10x8y + 40x6y2 – 80x4y3 + 80x2y4 – 32y5.

exempel 4 expandera: (2 / x + 3 xcb)4.

lösning vi har (a + b) n, där a = 2/x, b = 3 kcal x och n = 4. Sedan använder vi Binomialsatsen, vi har

slutligen (2 / x + 3 kg x) 4 = 16 / x4 + 96 / x5/2 + 216/x + 216×1 / 2 + 81×2.

hitta en specifik Term

Antag att vi bara vill bestämma en viss term för en expansion. Metoden vi har utvecklat gör det möjligt för oss att hitta en sådan term utan att beräkna alla rader av Pascals triangel eller alla föregående koefficienter.

Observera att i Binomialsatsen, ger oss 1: a termen, ger oss 2: a termen, ger oss 3: e termen, och så vidare. Detta kan generaliseras enligt följande.

hitta (k + 1)-st-termen

(k + 1) – st-termen för (a + b)n är .

exempel 5 Hitta den 5: e termen i expansionen av (2x – 5y)6.

lösning först noterar vi att 5 = 4 + 1. Således k = 4, a = 2x, b = -5y och n = 6. Då är den 5: e termen för expansionen

exempel 6 hitta den 8: e termen i expansionen av (3x – 2)10.

lösning först noterar vi att 8 = 7 + 1. Således k = 7, a = 3x, b = -2 och n = 10. Sedan är den 8: e termen för expansionen

Totalt antal delmängder

Antag att en uppsättning har n-objekt. Antalet delmängder som innehåller k-element . Det totala antalet delmängder av en uppsättning är antalet delmängder med 0 element, plus antalet delmängder med 1 element, plus antalet delmängder med 2 element och så vidare. Det totala antalet delmängder av en uppsättning med n-element är
.
nu överväga utbyggnaden av (1 + 1)n:
.
således är det totala antalet delmängder (1 + 1)n eller 2n. vi har visat följande.

Totalt antal delmängder

det totala antalet delmängder av en uppsättning med n-element är 2n.

exempel 7 uppsättningen {A, B, C, D, E} har hur många delmängder?

lösning uppsättningen har 5 element, så antalet delmängder är 25 eller 32.

exempel 8 Wendy’ s, en nationell restaurangkedja, erbjuder följande pålägg för sina hamburgare:
{catsup, senap, majonnäs, tomat, sallad, lök, pickle, relish, ost}.
hur många olika typer av hamburgare kan Wendys tjäna, exklusive storleken på hamburgare eller antal biffar?

lösning pålägg på varje hamburgare är elementen i en delmängd av uppsättningen av alla möjliga pålägg, den tomma uppsättningen är en vanlig hamburgare. Det totala antalet möjliga hamburgare är

Wendys serverar således hamburgare på 512 olika sätt.