Calculus II-sekvenser
visa Mobilmeddelande Visa alla anteckningar Dölj alla anteckningar
avsnitt 4-1 : Sekvenser
Låt oss börja detta avsnitt med en diskussion om precis vad en sekvens är. En sekvens är inget annat än en lista med siffror skrivna i en viss ordning. Listan kan eller kanske inte ha ett oändligt antal termer i dem, även om vi uteslutande kommer att hantera oändliga sekvenser i den här klassen. Allmänna sekvensvillkor betecknas som följer,
\
eftersom vi kommer att hantera oändliga sekvenser kommer varje term i sekvensen att följas av en annan term som noterats ovan. I notationen ovan måste vi vara mycket försiktiga med prenumerationerna. Prenumerationen på \(n + 1\) anger nästa term i sekvensen och inte en plus termen \(n^{\mbox{TH}}\)! Med andra ord,
\
så var mycket försiktig när du skriver prenumerationer för att se till att ”+1” inte migrerar ut ur prenumerationen! Detta är ett enkelt misstag att göra när du först börjar hantera den här typen av saker.
det finns en mängd olika sätt att beteckna en sekvens. Var och en av följande är likvärdiga sätt att beteckna en sekvens.
\
i den andra och tredje notationen ovanför an ges vanligtvis med en formel.
ett par anteckningar är nu i ordning om dessa noteringar. Först notera skillnaden mellan den andra och tredje notationen ovan. Om utgångspunkten inte är viktig eller på något sätt antyds av problemet skrivs den ofta inte ner som vi gjorde i den tredje notationen. Därefter använde vi en utgångspunkt för \(n = 1\) i den tredje notationen bara så att vi kunde skriva en ner. Det finns absolut ingen anledning att tro att en sekvens börjar vid \(n = 1\). En sekvens startar där allt den behöver för att starta.
Låt oss ta en titt på ett par sekvenser.
- \(\displaystyle \ left \ { {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}} \right\}_{n = 1}^ \ infty\)
- \(\displaystyle \ left\ {{\frac {{{{\left ({- 1} \ right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), där \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ digit of }}\pi \)
Visa alla lösningar Dölj alla lösningar
för att få de första sekvensvillkoren här behöver vi bara ansluta värden på \(n\) till den angivna formeln och vi får sekvensen bestämmelser.
\
notera införandet av ” … ” i slutet! Detta är en viktig notation eftersom det är det enda som säger att sekvensen fortsätter och inte slutar vid sista termen.
b \(\displaystyle \ vänster \ { {\frac {{{{\vänster ({- 1} \ höger)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \ right\} _ {n = 0}^ \ infty\) Visa lösning
den här liknar den första. Huvudskillnaden är att denna sekvens inte börjar vid \(n = 1\).
\
Observera att termerna i denna sekvens växlar i tecken. Sekvenser av detta slag kallas ibland alternerande sekvenser.
c \(\left \ { {{b_n}} \ right\}_{n = 1}^\infty \), där \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ digit of }}\pi \) visar lösning
denna sekvens skiljer sig från de två första i den meningen att den inte har en specifik formel för varje term. Men det säger oss vad varje term bör vara. Varje term bör vara den n: e siffran i \(\pi\). Så vi vet att \(\pi = 3.14159265359 \ldots\)
sekvensen är då,
\
i de två första delarna av föregående exempel noterar vi att vi verkligen behandlade formlerna som funktioner som bara kan ha heltal anslutna till dem. Eller,
\
detta är en viktig ide i studien av sekvenser (och serier). Att behandla sekvensvillkoren som funktionsutvärderingar gör att vi kan göra många saker med sekvenser som vi inte kunde göra annars. Innan vi går vidare i den här tanken måste vi dock få ett par fler ideer ur vägen.
först vill vi tänka på att” grafera ” en sekvens. För att rita sekvensen \(\left \{{{a_n}}\ right\}\) plottar vi punkterna \(\left ({n,{a_n}}\ right)\) som\ (n\) sträcker sig över alla möjliga värden i en graf. Låt oss till exempel rita sekvensen \(\left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}} \right\}_{n = 1}^\infty \). De första punkterna i diagrammet är,
\
grafen, för de första 30 termerna i sekvensen, är då,
denna graf leder oss till en viktig uppfattning om sekvenser. Lägg märke till att som \(n\) ökar sekvensvillkoren i vår sekvens, i det här fallet, komma närmare och närmare noll. Vi säger då att noll är gränsen (eller ibland gränsvärdet) för sekvensen och skriver,
\
denna notation ska se bekant ut för dig. Det är samma notation som vi använde när vi pratade om gränsen för en funktion. I själva verket, om du kommer ihåg, sa vi tidigare att vi kunde tänka på sekvenser som funktioner på något sätt och så borde denna notation inte vara för överraskande.
med hjälp av de ideer som vi utvecklat för gränser för funktioner kan vi skriva ner följande arbetsdefinition för gränser för sekvenser.
arbetsdefinition av gräns
- vi säger att \
om vi kan göra en så nära \(L\) som vi vill ha för alla tillräckligt stora \(n\). Med andra ord, värdet på \({a_n}\)’s tillvägagångssätt \(L\) som \(n\) närmar sig oändligheten.
- vi säger att \
om vi kan göra en så stor som vi vill ha för alla tillräckligt stora \(n\). Återigen, med andra ord, värdet på \({a_n}\) blir större och större utan bindning när \(n\) närmar sig oändligheten.
- vi säger att \
om vi kan göra en så stor och negativ som vi vill ha för alla tillräckligt stora \(n\). Återigen, med andra ord, är värdet på \({a_n}\) negativa och blir större och större utan att bindas när \(n\) närmar sig oändligheten.
arbetsdefinitionerna för de olika sekvensgränserna är trevliga eftersom de hjälper oss att visualisera vad gränsen faktiskt är. Precis som med funktionsgränser finns det dock också en exakt definition för var och en av dessa gränser. Låt oss ge dem innan du fortsätter
exakt Definition av gräns
- vi säger att \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) om för varje nummer \(\varepsilon > 0\) Det finns ett heltal \(N\) så att \
- vi säger att \att \(\mathop {\lim} \limits_{n \to \infty } {a_n} = \ infty\) om för varje nummer\ (M > 0\) Det finns ett heltal\ (n\) så att \
- vi säger att \(\mathop {\lim} \limits_{n \to \infty } {a_n} = – \ infty\) om för varje nummer\ (M > 0\) number \ (m < 0\) Det finns ett heltal \(N\) så att \
Vi kommer inte att använda den exakta definitionen ofta, men det kommer att dyka upp ibland.
Observera att båda definitionerna säger att för att en gräns ska existera och ha ett ändligt värde måste alla sekvenstermer komma närmare och närmare det ändliga värdet när \(n\) ökar.
nu när vi har definitionerna av gränsen för sekvenser ur vägen har vi lite terminologi som vi behöver titta på. Om \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\) existerar och är ändlig säger vi att sekvensen är konvergent. Om \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\) inte existerar eller är oändlig säger vi att sekvensen avviker. Observera att vi ibland säger att sekvensen avviker till \(\infty\) om \(\mathop {\lim} \limits_{n \to \infty } {a_n} = \ infty\) och om \(\mathop {\lim} \limits_{n \to \infty } {a_n} = – \ infty\) vi kommer ibland att säga att sekvensen avviker till \(- \infty\).
vänja sig vid termerna ”konvergent” och ”divergent” eftersom vi kommer att se dem ganska lite under hela detta kapitel.
Så hur hittar vi gränserna för sekvenser? De flesta gränser för de flesta sekvenser kan hittas med hjälp av en av följande satser.
Sats 1
givet sekvensen \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) om vi har en funktion \(f\left( x \right)\) sådan att \(f\left( n \right) = {a_n}\) och \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = l\) sedan \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = l\)
denna sats säger i princip att vi tar gränserna för sekvenser ungefär som vi tar gränsen för funktioner. Faktum är att vi i de flesta fall inte ens använder denna sats genom att uttryckligen skriva ner en funktion. Vi kommer oftare bara att behandla gränsen som om det var en gräns för en funktion och ta gränsen som vi alltid gjorde tillbaka i kalkyl I när vi tog gränserna för funktioner.
så nu när vi vet att att ta gränsen för en sekvens är nästan identisk med att ta gränsen för en funktion vet vi också att alla egenskaper från gränserna för funktioner också kommer att hålla.
egenskaper
om \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) Och \(\left\{ {{b_n}} \right\}\) är båda konvergerande sekvenser,
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n} \pm {b_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \PM \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } C{a_n} = C\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \till \infty } \vänster( {{a_n}\,{b_n}} \höger) = \vänster( {\mathop {\lim }\limits_{n \till \infty } {a_n}} \höger)\vänster( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}} \right)\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}} {{{b_n}}} = \frac{{\mathop {\lim} \limits_{n \to \infty} {a_n}} {{\mathop {\lim} \limits_{n \to \infty} {b_n}}},\,\,\,\,\,{\MBOX{provided }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} \ne 0\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n^p = {\left^p}\) provided \({a_n} \ge 0\)
dessa egenskaper kan bevisas med hjälp av Sats 1 ovan och funktionsgränsegenskaperna vi såg i kalkyl i eller vi kan bevisa dem direkt med hjälp av den exakta definition av en gräns med nästan identiska bevis på funktionsgränsegenskaperna.
nästa, precis som vi hade en Squeeze-sats för funktionsgränser har vi också en för sekvenser och den är ganska identisk med funktionsbegränsningsversionen.
Squeeze sats för sekvenser
If \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) för alla \(n > N\) för vissa \(N\) och \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {B_n} = l\) sedan \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {c_n} = l\).
Observera att i denna sats säger ”för alla \(n > N\) för vissa \(N\)” egentligen bara att vi måste ha \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) för alla tillräckligt stora \(n\), men om det inte är sant för de första \(n\) som inte kommer att ogiltigförklara satsen.
som vi ser Kan inte alla sekvenser skrivas som funktioner som vi faktiskt kan ta gränsen för. Detta gäller särskilt för sekvenser som växlar i tecken. Medan vi alltid kan skriva dessa sekvensvillkor som en funktion vet vi helt enkelt inte hur man tar gränsen för en sådan funktion. Följande sats kommer att hjälpa till med några av dessa sekvenser.
Sats 2
om \(\mathop {\lim }\limits_{n \ till \ infty } \ vänster / {{a_n}}\ höger| = 0\) sedan \(\mathop {\lim} \limits_{n \till\infty } {a_n} = 0\).
Observera att för att denna sats ska hålla gränsen måste vara noll och det fungerar inte för en sekvens vars gräns inte är noll. Denna sats är lätt att bevisa så låt oss göra det.
proof of Theorem 2
det viktigaste med detta bevis är att notera att
\
notera sedan att
\
Vi har då \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( { – \left| {{a_n}} \right|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\) och så av squeeze-satsen måste vi också ha,
\
nästa sats är en användbar sats som ger konvergens/divergens och värde (för när det är konvergent) av en sekvens som uppstår ibland.
Sats 3
sekvensen \(\left \{{{r^n}}\right\}_{n = 0}^ \ infty\) konvergerar om \(- 1 < r\ le 1\) och avviker för alla andra värden på\(r\). Också,
\
Här är ett snabbt (väl inte så snabbt, men definitivt enkelt) partiellt bevis på denna sats.
partiellt bevis på SATS 3
vi gör detta genom en serie fall även om det sista fallet inte kommer att bevisas helt.
fall 1 : \(r > 1\)
vi vet från kalkyl i att \(\mathop {\lim }\limits_{x \till \infty } {r^x} = \infty \) om \(r > 1\) och så genom Sats 1 ovan vet vi också att \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = \infty \) och så avviker sekvensen om \(r > 1\).
fall 2: \(r = 1\)
i det här fallet har vi,
\
så konvergerar sekvensen för \(r = 1\) och i detta fall är dess gräns 1.
fall 3 : \(0 < r < 1\)
vi vet från kalkyl jag att \(\mathop {\lim }\limits_{x \till \infty } {r^x} = 0\) om \(0 < r < 1\) och så genom sats 1 ovan vet vi också att \(\mathop {\lim }\limits_{n \till \infty } {r^n} = 0\) och så konvergerar sekvensen om \(0 < r < 1\) och i detta fall är gränsen noll.
Fall 4: \(r = 0\)
i det här fallet har vi,
\
så konvergerar sekvensen för \(r = 0\) och i detta fall är dess gräns noll.
fall 5 : \( – 1< r< 0\)
låt oss först notera att om \( – 1< r< 0\) sedan \(0< \Left| r \right|< 1\) sedan i fall 3 ovan har vi,
\
sats 2 ovan berättar nu att vi också måste ha, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\) och så om \( – 1< r< 0\) sekvensen konvergerar och har en gräns på 0.
fall 6 : \(r = – 1\)
i detta fall är sekvensen,
\
och förhoppningsvis är det klart att \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 1} \right)^n}\) existerar inte. Kom ihåg att för att denna gräns ska existera måste termerna närma sig ett enda värde när \(n\) ökar. I det här fallet växlar termerna bara mellan 1 och -1 och så finns inte gränsen.
så avviker sekvensen för \(r = – 1\).
Fall 7: \(r < – 1\)
i det här fallet kommer vi inte att gå igenom ett fullständigt bevis. Låt oss bara se vad som händer om vi låter \(r = – 2\) till exempel. Om vi gör det blir sekvensen,
\
Så, om \(r = – 2\) får vi en sekvens av termer vars värden växlar i tecken och blir större och större och så \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 2} \right)^n}\) existerar inte. Det sätter sig inte ner till ett enda värde som \(n\) ökar inte heller termerna närmar sig oändligheten. Så avviker sekvensen för \(r = – 2\).
Vi kan göra något liknande för något värde av \(r\) så att \(r < – 1\) och så avviker sekvensen för \(r < – 1\).
Låt oss ta en titt på några exempel på gränser för sekvenser.
- \(\vänster\{ {\displaystyle \frac{{3{n^2} – 1}}{{10N + 5{n^2}}}} \höger\}_{n = 2}^\infty \)
- \(\vänster\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}} {n}} \höger\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\Left( { – 1} \right)}^n}}} {n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {{{\left( { – 1} \Right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
visa alla lösningar Dölj alla lösningar
i det här fallet behöver vi bara återkalla metoden som var utvecklad i kalkyl I för att hantera gränserna för rationella funktioner. Se gränserna vid oändlighet, del i avsnitt av kalkylen i Anteckningar för en översyn av detta om du behöver.
för att göra en gräns i denna form behöver vi bara faktor från täljaren och nämnaren den största effekten av \(n\), Avbryt och ta sedan gränsen.
\
så konvergerar sekvensen och dess gräns är \(\frac{3}{5}\).
b \(\left \ { {\displaystyle \ frac {{{{\bf{e}}^{2n}}} {n}} \ right\} _ {n = 1}^\infty \) Visa lösning
Vi måste vara försiktiga med den här. Vi kommer att behöva använda L ’ Hospitals regel om denna sekvens. Problemet är att l ’ Hospitals regel bara fungerar på funktioner och inte på sekvenser. Normalt skulle detta vara ett problem, men vi har Sats 1 ovanifrån för att hjälpa oss. Låt oss definiera
\
och notera att
\
Sats 1 säger att allt vi behöver göra är att ta gränsen för funktionen.
\
så avviker sekvensen i denna del (till \(\infty \)).
oftare än inte gör vi bara l ’ Hospitals regel om sekvensvillkoren utan att först konvertera till \(x\) eftersom arbetet kommer att vara identiskt oavsett om vi använder \(x\) eller \(n\). Men vi borde verkligen komma ihåg att vi tekniskt inte kan göra derivaten medan vi hanterar sekvensvillkor.
c \(\left \ { {\displaystyle \ frac {{{{\left ({- 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Visa lösning
Vi måste också vara försiktiga med denna sekvens. Vi kan frestas att bara säga att gränsen för sekvensvillkoren är noll (och vi skulle vara korrekta). Men tekniskt kan vi inte ta gränsen för sekvenser vars termer växlar i tecken, eftersom vi inte vet hur man gör gränser för funktioner som uppvisar samma beteende. Vi vill också vara mycket noga med att inte lita för mycket på intuition med dessa problem. Som vi kommer att se i nästa avsnitt, och i senare avsnitt, kan vår intuition leda oss vilse i dessa problem om vi inte är försiktiga.
så, låt oss arbeta den här efter boken. Vi kommer att behöva använda Sats 2 på detta problem. För detta måste vi först beräkna,
\
Därför, eftersom gränsen för sekvenstermerna med absoluta värdefält på dem går till noll vet vi med Sats 2 att
\
vilket också betyder att sekvensen konvergerar till ett värde av noll.
d \(\left \ { {{{\\left ({- 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Visa lösning
för denna sats notera att allt vi behöver göra är att inse att detta är sekvensen i Sats 3 ovan med \(r = – 1\). Så, genom Sats 3 avviker denna sekvens.
Vi måste nu ge en varning om missbruk av Sats 2. Sats 2 fungerar bara om gränsen är noll. Om gränsen för det absoluta värdet av sekvenstermerna inte är noll kommer satsen inte att hålla. Den sista delen av föregående exempel är ett bra exempel på detta (och i själva verket är denna varning hela anledningen till att delen finns där). Lägg märke till att
\
och ändå, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 1} \right)^n}\) existerar inte ens än mindre lika 1. Så var försiktig med att använda denna sats 2. Du måste alltid komma ihåg att det bara fungerar om gränsen är noll.
innan vi går vidare till nästa avsnitt måste vi ge ytterligare en sats som vi behöver för ett bevis på vägen.
Sats 4
för sekvensen \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) om båda \(\mathop {\lim }\limits_{n \till \infty } {a_{2n}} = L\) och \(\mathop {\lim }\limits_{n \till \infty } {a_{2n + 1}} = L\) sedan \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) är konvergent och \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = l\).
bevis på SATS 4
låt \(\varepsilon > 0\).
sedan sedan \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) Det finns en \({n_1} > 0\) så att om \(n > {N_1}\) vi vet att,
\
på samma sätt, eftersom \(\Mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = l\) det finns en \({n_2} > 0\) så att om \(n > {n_2}\) vi vet att,
\
nu, låt \(n = \max \Left\{ {2{n_1},2{n_2} + 1} \Right\}\) och låt \(n > n\). Sedan antingen \({a_n} = {a_{2K}}\) för vissa \(k > {N_1}\) eller \({a_n} = {a_{2K + 1}}\) för vissa \(k > {n_2}\) och så i båda fallen har vi det,
\
därför är \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = l\) och så \(\Left\{ {{a_n}} \right\}\) konvergent.