den dolda vridningen för att göra en m Millibius-remsa

inom området symplektisk geometri handlar en central fråga om hur man räknar skärningspunkterna för två komplicerade geometriska utrymmen. Denna räkningsfråga är kärnan i ett av de mest kända problemen inom området, Arnold-gissningen, och det handlar också om grundläggande teknik: matematiker behöver veta hur man gör dessa räkningar för att göra andra typer av forskning.

som jag beskriver i min artikel ”a Fight to Fix Geometry ’s Foundations” har utveckling av en metod för att räkna dessa skärningspunkter varit en utdragen och ibland omtvistad process. Ett pålitligt, allmänt förstått, felfritt tillvägagångssätt har presenterat en utmaning av ett antal skäl, från bristen på ett gemensamt ordförråd när ett nytt fält kommer igång (symplektisk geometri tog bara början på 1990-talet), till själva problemets natur: enkelt uttryckt är det svårt.

svårigheten ligger i det faktum att det av subtila skäl inte är möjligt att räkna skärningspunkterna på en gång. Istället måste matematiker dela upp utrymmet i ”lokala” regioner, räkna korsningspunkter i varje region och lägga till dem för att få det ”globala” räkningen. Att sammanföra lokala räkningar har visat sig vara en mer känslig och tekniskt krävande uppgift än matematiker insåg först: om du inte är försiktig med hur du ritar dina lokala regioner kan du enkelt utelämna en korsningspunkt eller dubbla räkna en annan.

följande illustrationer utforskar svårigheten med uppgiften med hjälp av en m-remsa (ett tvådimensionellt cirkulärt band med en vridning i det). M-remsan har två cirklar som passerar genom ytan. Frågan är: hur många gånger skär de två cirklarna varandra? Som du ser, svaret verkar vara en sak när man tittar på remsan på en gång, och en annan om du inte är försiktig när du skär m Jacobius remsan i två delar.

ett Räknepussel

matematiker vill räkna korsningspunkter, men vissa hinder hindrar dem från att räkna alla dessa punkter direkt. För att övervinna dessa hinder delar de grenröret i bitstora ”lokala” regioner, räknar korsningarna i var och en och lägger till dem för att få en räkning för hela grenröret.

men om matematiker inte är försiktiga med hur de kombinerar räkningar från lokala regioner, kan de lätt sluta med fel räkning för hela grenröret. Delikatessen att lägga till lokala räkningar tillsammans framgår av detta enkla exempel.

M Jacobius Rip

ta en m Jacobius-remsa. Rita två cirklar som löper genom den. Om man tittar på hela m-remsan måste de två cirklarna korsa varandra minst en gång: en cirkel börjar över den andra, men hamnar under den på grund av remsans vridande natur.

skär nu samma m-remsa i två delar. Skärningarna tar bort vridningen i remsan. Rita två cirkelsegment på varje bit. Utan vridningen är det lätt att rita cirkelsegmenten så att de löper parallellt med varandra och aldrig skär varandra. Som en följd av detta kan du felaktigt dra slutsatsen att antalet korsningar på hela m Jacobius-remsan är noll. Matematiker i symplektisk geometri har lärt sig att limning av ”lokala” bitar för att återställa ett ”globalt” korsningsantal är en mycket mer komplex process än de först föreställde sig.