Ellipse
en ellips ser vanligtvis ut som en squashed cirkel:
”F” är ett fokus, ”G” är ett fokus,
och tillsammans kallas de foci.
(uttalas ”fo-suck”)
det totala avståndet från F till P till G förblir detsamma
med andra ord reser vi alltid samma avstånd när vi går från:
- punkt ”F” till
- till någon punkt på ellipsen
- och sedan vidare till punkt ”g”
du kan rita det själv
sätt två stift i ett bräde och sedan …
sätt en slinga av sträng runt dem,
sätt in en penna i slingan,
sträck strängen så att den bildar en triangel,
och rita en kurva.
det är en ellips!
det fungerar eftersom strängen naturligt tvingar samma avstånd från stift-till-penna-till-annan-stift.
en cirkel är en ellips
i själva verket är en cirkel en ellips, där båda foci är vid samma punkt (mitten).
med andra ord är en cirkel ett ”speciellt fall” av en ellips. Ellipser Härskar!
Definition
en ellips är uppsättningen av alla punkter på ett plan vars avståndfrån två fasta punkter F och G lägger till en konstant.
större och mindre axlar
huvudaxeln är den längsta diametern. Den går från ena sidan av ellipsen, genom mitten, till den andra sidan, vid den bredaste delen av ellipsen. Och den mindre axeln är den kortaste diametern (vid den smalaste delen av ellipsen).
Halvhuvudaxeln är hälften av huvudaxeln och Halvminoraxeln är hälften av Minoraxeln.
huvudaxel är lika med f + g
Kom ihåg från toppen hur avståndet” f+g ” förblir detsamma för en ellips?
Well f + g är lika med längden på huvudaxeln.
kan du tänka varför? (Försök flytta punkten P högst upp.)
beräkningar
området är enkelt, omkretsen är inte!
Area
arean för en ellips är:
exporter a b
där A är längden på halvhuvudaxeln och B är längden på halvminoraxeln.
var försiktig: a och b är från mitten utåt (inte hela vägen över).
(Obs: För en cirkel är a och b lika med radien, och du får r r r = NR2, vilket är rätt!)
Perimeter Approximation
ganska konstigt är omkretsen av en ellips mycket svår att beräkna, så jag skapade en speciell sida för ämnet: läs Perimeter av en ellips för mer information.
men en enkel approximation som ligger inom cirka 5% av det sanna värdet (så länge som a inte är mer än 3 gånger längre än b) är som följer:
Kom ihåg att detta bara är en grov approximation! (Det är därför ”likhetstecknet” är squiggly.)
Tangent
en tangentlinje berör bara en kurva vid en punkt utan att skära över den.Här är en tangent till en ellips:
Här är en cool sak: tangentlinjen har lika vinklar med de två linjerna som går till varje fokus!Försök att föra samman de två fokuspunkterna (så ellipsen är en cirkel) … vad märker du?
reflektion
ljus eller ljud som börjar vid en fokuspunkt reflekterar till den andra fokuspunkten (eftersom vinkel i matchningar vinkel ut):
Spela med en enkel datormodell av reflektion inuti en ellips.
excentricitet
excentriciteten är ett mått på hur” un-round ” ellipsen är.
formeln (med semi-major och semi-minor axis) är:
Portugals(a2−b2)a
avsnitt av en kon
Du kan också få en ellips när du skär genom en kon (men inte för brant en skiva, eller du får en parabola eller hyperbola).
i själva verket är ellipsen en konisk sektion (en sektion av en kon) med en excentricitet mellan 0 och 1.
ekvation
genom att placera en ellips på en XY-graf (med sin huvudaxel på x-axeln och mindre axel på y-axeln) är kurvens ekvation:
x2a2 + y2b2 = 1
(liknar hyperbolans ekvation: X2/A2 − Y2/B2 = 1, förutom en ”+” istället för en ”−”)
eller vi kan ”parametriska ekvationer”, där vi har en annan variabel ”t” och vi beräknar X och Y från den, så här:
- x = a cos (t)
- y = b sin(t)
(Tänk dig att ”t” går från 0 kg till 360 kg, vilka X-och Y-värden skulle vi få?)