Kartesiskt koordinatsystem

Fig. 1-kartesiskt koordinatsystem. Fyra punkter är markerade: (2,3) I grönt, (-3,1) i rött, (-1,5,-2,5) i blått och (0,0), ursprunget, i gult.

i matematik används det kartesiska koordinatsystemet (eller rektangulärt koordinatsystem) för att bestämma varje punkt unikt i ett plan genom två siffror, vanligtvis kallade X-koordinaten och Y-koordinaten för punkten. För att definiera koordinaterna anges två vinkelräta riktade linjer (x-axeln eller abscissen och y-axeln eller ordinaten), liksom enhetens längd, som är markerad på de två axlarna (se Figur 1). Kartesiska koordinatsystem används också i rymden (där tre koordinater används) och i högre dimensioner.

Fig. 2-kartesiskt koordinatsystem med cirkeln med radie 2 centrerad vid ursprunget markerat i rött. Ekvationen för cirkeln är x2 + y2 = 4.

med hjälp av det kartesiska koordinatsystemet kan geometriska former (såsom kurvor) beskrivas med algebraiska ekvationer, nämligen ekvationer nöjda med koordinaterna för punkterna som ligger på formen. Till exempel kan en cirkel med radie 2 beskrivas med ekvationen x2 + y2 = 4 (se Figur 2).

historia

kartesiska medel som hänför sig till den franska matematikern och filosofen ren Avsugning Descartes (Latin: Cartesius), som bland annat arbetade för att slå samman algebra och euklidisk geometri. Detta arbete var inflytelserikt i utvecklingen av analytisk geometri, kalkyl och kartografi.

tanken med detta system utvecklades 1637 i två skrifter av Descartes. I del två av sin diskurs om metod introducerar Descartes den nya tanken att specificera positionen för en punkt eller ett objekt på en yta, med hjälp av två korsande axlar som mätguider. I La g exceptional utforskar han vidare de ovan nämnda begreppen.

tvådimensionellt koordinatsystem

Fig. 3-de fyra kvadranterna i ett kartesiskt koordinatsystem. Pilarna på axlarna indikerar att de sträcker sig för alltid i sina respektive riktningar (dvs. oändligt).

ett kartesiskt koordinatsystem i två dimensioner definieras vanligtvis av två axlar, i rät vinkel mot varandra, som bildar ett plan (ett xy-plan). Den horisontella axeln är normalt märkt x, och den vertikala axeln är normalt märkt y. i ett tredimensionellt koordinatsystem läggs en annan axel, normalt märkt z, till, vilket ger en tredje dimension av rymdmätning. Axlarna definieras vanligtvis som ömsesidigt ortogonala mot varandra (var och en i rätt vinkel mot den andra). (Tidiga system tillät ”sneda” axlar, det vill säga axlar som inte möttes i rät vinkel, och sådana system används ibland idag, men mestadels som teoretiska övningar.) Alla punkter i ett kartesiskt koordinatsystem tillsammans bildar ett så kallat kartesiskt plan. Ekvationer som använder det kartesiska koordinatsystemet kallas kartesiska ekvationer.

skärningspunkten, där axlarna möts, kallas ursprunget normalt märkt O.X-och y-axlarna definierar ett plan som kallas xy-planet.Med tanke på varje axel väljer du en enhetslängd och markerar varje enhet längs axeln och bildar en grid.To ange en viss punkt på ett tvådimensionellt koordinatsystem, ange x-enheten först (abscissa), följt av y-enheten (ordinat) i formen (x,y), ett ordnat par.

valet av bokstäver kommer från en konvention för att använda den senare delen av alfabetet för att ange okända värden. Däremot användes den första delen av alfabetet för att beteckna kända värden.

ett exempel på en punkt P på systemet anges i Figur 3, med hjälp av koordinaten (3,5).

skärningspunkten mellan de två axlarna skapar fyra regioner, kallade kvadranter, indikerade med de romerska siffrorna i (+,+), II (−,+), III ( − ,−) och IV (+,−). Konventionellt är kvadranterna märkta moturs med början från den övre högra (”nordöstra”) kvadranten. I den första kvadranten är båda koordinaterna positiva, i den andra kvadranten är x-koordinaterna negativa och y-koordinaterna positiva, i den tredje kvadranten är båda koordinaterna negativa och i den fjärde kvadranten är x-koordinaterna positiva och y-koordinaterna negativa (se tabell nedan.)

tredimensionellt koordinatsystem

Fig. 4-tredimensionellt kartesiskt koordinatsystem med y-axel som pekar bort från observatören.

Fig. 5-tredimensionellt kartesiskt koordinatsystem med x-axeln som pekar mot observatören.

det tredimensionella kartesiska koordinatsystemet ger de tre fysiska dimensionerna av rymdlängd, bredd och höjd. Figurerna 4 och 5 visar två vanliga sätt att representera det.

de tre kartesiska axlarna som definierar systemet är vinkelräta mot varandra. De relevanta koordinaterna är av formen (x,y, z). Som ett exempel visar figur 4 två punkter ritade i ett tredimensionellt kartesiskt koordinatsystem: P(3,0,5) och Q(-5,-5,7). Axlarna är avbildade i en” världskoordinat ” – orientering med z-axeln pekande uppåt.

X-, y-och z-koordinaterna för en punkt kan också tas som avstånden från yz-Planet, xz-Planet respektive xy-planet. Figur 5 visar avståndet från punkt P från planen.

XY-, yz-och xz-Planen delar upp det tredimensionella utrymmet i åtta underavdelningar som kallas oktanter, liknande kvadranterna i 2D-rymden. Medan konventioner har upprättats för märkning av de fyra kvadranterna i xy-planet, är endast den första oktanten av tredimensionellt utrymme märkt. Den innehåller alla punkter vars X -, y-och z-koordinater är positiva.

z-koordinaten kallas också applicate.

orientering och handedness

se även: högerregel

i två dimensioner

högerregeln.

fastställande eller val av x-axeln bestämmer Y-axeln upp till riktning. Namnlösa: y-axeln är nödvändigtvis vinkelrätt mot x-axeln genom punkten märkt 0 på x-axeln. Men det finns ett val av vilken av de två halvlinjerna på vinkelrätt att beteckna som positiva och vilka som negativa. Var och en av dessa två val bestämmer en annan orientering (även kallad handedness) av det kartesiska planet.

det vanliga sättet att orientera axlarna, med den positiva x-axeln som pekar åt höger och den positiva y-axeln pekar uppåt (och x-axeln är den ”första” och y-axeln den ”andra” axeln) anses vara den positiva eller standardorienteringen, även kallad högerhänt orientering.

en vanlig mnemonic för att definiera den positiva orienteringen är högerregeln. Placera en något stängd höger hand på planet med tummen pekande uppåt, fingrarna pekar från x-axeln till y-axeln, i ett positivt orienterat koordinatsystem.

det andra sättet att orientera axlarna följer vänsterregeln och placerar vänster hand på planet med tummen uppåt.

oavsett vilken regel som används för att orientera axlarna, kommer rotation av koordinatsystemet att bevara orienteringen. Att byta roll x och y kommer att vända orienteringen.

i tre dimensioner

Fig. 7-vänsterhänt orientering visas till vänster och högerhänt till höger.

Fig. 8-det högerhänta kartesiska koordinatsystemet som indikerar koordinatplanen.

När X-och y-axlarna har specificerats bestämmer de linjen längs vilken z-axeln ska ligga, men det finns två möjliga riktningar på denna linje. De två möjliga koordinatsystem som resulterar kallas ”högerhänt” och ” vänsterhänt.”Standardorienteringen, där xy-planet är horisontellt och z-axeln pekar uppåt (och x – och y-axeln bildar ett positivt orienterat tvådimensionellt koordinatsystem i xy-planet om det observeras ovanför xy-planet) kallas högerhänt eller positivt.

Namnet kommer från högerregeln. Om pekfingret på höger hand pekar framåt, långfingeren böjs inåt i rätt vinkel mot den och tummen placeras i rätt vinkel mot båda, indikerar de tre fingrarna de relativa riktningarna för x-, y-och z-axlarna i ett högerhänt system. Tummen indikerar x-axeln, pekfingret y-axeln och långfingret z-axeln. Omvänt, om detsamma görs med vänster hand, resulterar ett vänsterhänt system.

olika discipliner använder olika variationer av koordinatsystemen. Till exempel använder matematiker vanligtvis ett högerhänt koordinatsystem med y-axeln pekande uppåt, medan ingenjörer vanligtvis använder ett vänsterhänt koordinatsystem med z-axeln pekande uppåt. Detta har potential att leda till förvirring när ingenjörer och matematiker arbetar med samma projekt.

Figur 7 är ett försök att avbilda ett vänster-och ett högerhänt koordinatsystem. Eftersom ett tredimensionellt objekt representeras på den tvådimensionella skärmen resulterar distorsion och tvetydighet. Axeln som pekar nedåt (och till höger) är också avsedd att peka mot observatören, medan den ”mellersta” axeln är avsedd att peka bort från observatören. Den röda cirkeln är parallell med det horisontella xy-planet och indikerar rotation från x-axeln till y-axeln (i båda fallen). Därför passerar den röda pilen framför z-axeln.

figur 8 är ett annat försök att avbilda ett högerhänt koordinatsystem. Återigen finns det en tvetydighet som orsakas av att projicera det tredimensionella koordinatsystemet i planet. Många observatörer ser figur 8 som” vända in och ut ”mellan en konvex kub och ett konkavt” hörn.”Detta motsvarar de två möjliga orienteringarna i koordinatsystemet. Att se figuren som konvex ger ett vänsterhänt koordinatsystem. Således är det” korrekta ” sättet att se figur 8 att föreställa sig x-axeln som pekar mot observatören och därmed se ett konkavt hörn.

i fysik

ovanstående diskussion gäller kartesiska koordinatsystem i matematik, där det är vanligt att inte använda några måttenheter. I fysiken är det viktigt att notera att en dimension helt enkelt är ett mått på något, och att för varje klass av funktioner som ska mätas kan en annan dimension läggas till. Bilaga till visualisering av dimensionerna utesluter att förstå de många olika dimensioner som kan mätas (tid, massa, färg, kostnad etc.). Flerdimensionella objekt kan beräknas och manipuleras algebraiskt.

representerar en vektor med kartesisk notation

en punkt i rymden i ett kartesiskt koordinatsystem kan också representeras av en vektor, som kan betraktas som en pil som pekar från koordinatsystemets ursprung till punkten. Om koordinaterna representerar rumsliga positioner (förskjutningar) är det vanligt att representera vektorn från ursprung till intressepunkt som r {\displaystyle \mathbf {r} } . Med hjälp av kartesiska koordinater kan vektorn från ursprunget till punkten ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} skrivas som:

r = x i + y j + z k {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }

where i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } , and k {\displaystyle \mathbf {k} } are unit vectors that point the same direction as the x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} och Z {\displaystyle z} axlar.

denna notation kallas vanligtvis kartesisk notation. Enhetsvektorerna i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } och k {\displaystyle \mathbf {k} } kallas versorer i koordinatsystemet och representerar ett exempel på standardbasis.

Ytterligare anmärkningar

i datorgeometri är det kartesiska koordinatsystemet grunden för algebraisk manipulation av geometriska former. Många andra koordinatsystem har utvecklats sedan Descartes. En vanlig uppsättning system använder polära koordinater; astronomer använder ofta sfäriska koordinater, en typ av polärt koordinatsystem.

Se även

• kurva
• geometri
• Graf
• linje (matematik)
• matematik
• nummer
• plan (matematik)
• punkt (geometri)
• ren Ukrainian Descartes

anteckningar

• Descartes, ren VIII. 2001. Diskurs om metod, Optik, geometri och meteorologi. Trans. Paul J. Olscamp. Indianapolis, i: Hackett Pub. ISBN 0872205673.
• gel Occifand, I. M., E. G. Glagoleva och A. A. Kirillov. 1990. Metoden för Koordinater. Boston: Birkhauser. ISBN 0817635335.
• Kline, Morris. 1985. Matematik för Nonmatematician. New York: Dover. ISBN 0817635335.

alla länkar har hämtats 16 januari 2017.

• kartesiskt koordinatsystem.
• utskrivbara kartesiska koordinater.
• kartesiska koordinater. PlanetMath.