Odds
i statistiken är odds ett uttryck för relativa sannolikheter, allmänt citerade som oddsen till förmån. Oddsen (till förmån) för en händelse eller ett förslag är förhållandet mellan sannolikheten för att händelsen kommer att hända med sannolikheten för att händelsen inte kommer att hända. Matematiskt är detta en Bernoulli-rättegång, eftersom den har exakt två resultat. I händelse av ett ändligt provutrymme med lika troliga resultat är detta förhållandet mellan antalet resultat där händelsen inträffar och antalet resultat där händelsen inte inträffar; dessa kan representeras som W och L (för vinster och förluster) eller S och F (för framgång och misslyckande). Till exempel är oddsen att en slumpmässigt vald veckodag är en helg två till fem (2:5), eftersom veckodagar bildar ett provutrymme på sju resultat och händelsen inträffar för två av resultaten (lördag och söndag) och inte för de andra fem. Omvänt, givet odds som ett förhållande mellan heltal, kan detta representeras av ett sannolikhetsutrymme för ett begränsat antal lika troliga resultat. Dessa definitioner är ekvivalenta, eftersom delning av båda termerna i förhållandet med antalet resultat ger sannolikheterna: 2 : 5 = ( 2 / 7 ) : ( 5 / 7 ) . {\displaystyle 2:5=(2/7):(5/7).}
omvänt är oddsen mot det motsatta förhållandet. Till exempel är oddsen mot att en slumpmässig veckodag är en helg 5:2. Odds och sannolikhet kan uttryckas i prosa via prepositionerna till och i: ”odds för så många till så många på (eller emot)” avser odds – förhållandet mellan antal (lika troliga) utfall till förmån och mot (eller vice versa); ”chanser för så många , i så många” avser Sannolikhet – antalet (lika lika) utfall till förmån i förhållande till antalet för och emot kombinerade. Till exempel är” oddsen för en helg 2 till 5″, medan”chanserna för en helg är 2 i 7″. I tillfällig användning används orden odds och chanser (eller chans) ofta omväxlande för att vagt indikera ett visst mått på odds eller sannolikhet, även om den avsedda betydelsen kan härledas genom att notera om prepositionen mellan de två siffrorna är till eller in.
matematisk relationsEdit
Odds kan uttryckas som ett förhållande av två siffror, i vilket fall det inte är unikt – skalning båda termerna med samma faktor ändrar inte proportionerna: 1:1 odds och 100:100 odds är desamma (jämna odds). Odds kan också uttryckas som ett tal genom att dividera termerna i förhållandet – i det här fallet är det unikt (olika fraktioner kan representera samma rationella tal). Odds som ett förhållande, odds som ett tal och sannolikhet (även ett tal) är relaterade med enkla formler, och på samma sätt odds för och odds mot, och sannolikheten för framgång och sannolikheten för misslyckande har enkla relationer. Odds varierar från 0 till oändlighet, medan sannolikheter varierar från 0 till 1, och därför representeras ofta som en procentandel mellan 0% och 100%: vända förhållandet växlar odds för med odds mot, och på samma sätt sannolikheten för framgång med sannolikheten för misslyckande.
givna odds (för) som förhållandet W:L (vinner:förluster), oddsen för (som ett tal) o f {\displaystyle o_{f}}
och odds mot (som ett tal) o a {\displaystyle o_{a}}
kan beräknas genom att helt enkelt dividera och är multiplikativa inverser: o f = W / L = 1 / o a o a = L / W = 1 / o f o f o f o a = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=W/L=1/o_{a}\\o_{a}&=L/W=1/o_{f}\\o_{f}\cdot o_{a}&=1\end{aligned}}}
analogt, givet odds som ett förhållande, kan sannolikheten för framgång eller misslyckande beräknas genom att dividera, och sannolikheten för framgång och sannolikhet för misslyckande summan till enhet (en), eftersom de är de enda möjliga resultaten. Vid ett ändligt antal lika sannolika utfall kan detta tolkas som antalet utfall där händelsen inträffar dividerat med det totala antalet händelser:
p = W / ( W + L ) = 1 − q q = L / ( W + L ) = 1 − p p + q = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}p&=W/(W+L)=1-q\\q&=L/(W+L)=1-p\\p+q&=1\end{aligned}}}
givet en sannolikhet P är oddsen som ett förhållande p : q {\displaystyle P:q}
(sannolikheten för framgång till sannolikheten för misslyckande), och oddsen som siffror kan beräknas genom att dividera: o f = p / q = p / ( 1 − p ) = ( 1 − q ) / q o a = q / p = ( 1 − p ) / p = q / ( 1 − q ) {\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-Q)\end{aligned}}}
omvänt, med tanke på oddsen som ett tal o f, {\displaystyle o_{f},}
detta kan representeras som förhållandet o f: 1, {\displaystyle o_{f}: 1,}
eller omvänt 1 : ( 1 / o f ) = 1 : o a, {\displaystyle 1:(1/o_{f})=1:o_{a},}
från vilken sannolikheten för framgång eller misslyckande kan beräknas: p = o f / ( o f + 1 ) = 1 / ( o a + 1 ) q = o a / ( o a + 1 ) = 1 / ( o f + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}p&=o_{f}/(o_{f}+1)=1/(o_{a}+1)\\q&=o_{a}/(o_{a}+1)=1/(o_{F}+1)\end{aligned}}}
div om det uttrycks som en bråkdel med en täljare på 1, skiljer sig sannolikheten och oddsen med exakt 1 i nämnaren: en sannolikhet på 1 av 100 (1/100 = 1%) är densamma som oddsen på 1 till 99 (1/99 = 0,0101… = 0.01), medan odds på 1 till 100 (1/100 = 0,01) är samma som en sannolikhet för 1 i 101 (1/101 = 0,00990099… = 0.0099). Detta är en mindre skillnad om sannolikheten är liten (nära noll eller ”långa odds”), men är en stor skillnad om sannolikheten är stor (nära en).
dessa är utarbetade för några enkla odds:
| odds (ratio) | o f {\displaystyle o_{f}}
|
o a {\displaystyle o_{a}}
|
p {\displaystyle p}
 |
q {\displaystyle q}
 |
|---|---|---|---|---|
| 1:1 | 1 | 1 | 50% | 50% |
| 0:1 | 0 | ∞ | 0% | 100% |
| 1:0 | ∞ | 0 | 100% | 0% |
| 2:1 | 2 | 0.5 | 67% | 33% |
| 1:2 | 0.5 | 2 | 33% | 67% |
| 4:1 | 4 | 0.25 | 80% | 20% |
| 1:4 | 0.25 | 4 | 20% | 80% |
| 9:1 | 9 | 0.1 | 90% | 10% |
| 10:1 | 10 | 0.1 | 90.90% | 9.09% |
| 99:1 | 99 | 0.01 | 99% | 1% | 100:1 | 100 | 0,01 | 99,0099% | 0,9900% |
dessa Transformer har vissa speciella geometriska egenskaper: omvandlingarna mellan odds för och odds mot (resp. Sannolikhet för framgång med Sannolikhet för misslyckande) och mellan odds och sannolikhet är alla m-omvandlingar (fraktionerade linjära transformationer). De specificeras således av tre punkter (kraftigt 3-transitiv). Byta odds för och odds mot swappar 0 och oändlighet, fastställande 1, medan byta sannolikheten för framgång med sannolikheten för misslyckande swappar 0 och 1, Fastställande .5; Dessa är båda ordning 2, därav cirkulära transformationer. Konvertera odds till sannolikhetsfixar 0, skickar oändlighet till 1, och skickar 1 till .5 (även odds är 50% sannolikt), och omvänt; detta är en parabolisk transformation.
ApplicationsEdit
i sannolikhetsteori och statistik kan odds och liknande förhållanden vara mer naturliga eller bekvämare än sannolikheter. I vissa fall log-odds används, vilket är logit av sannolikheten. De flesta enkelt, odds ofta multipliceras eller delas, och log omvandlar multiplikation till addition och division till subtraktioner. Detta är särskilt viktigt i den logistiska modellen, där logodds för målvariabeln är en linjär kombination av de observerade variablerna.
liknande förhållanden används någon annanstans i statistiken; av central betydelse är sannolikhetsförhållandet i likelihoodist statistik, som används i Bayesian statistik som Bayes faktor.
Odds är särskilt användbara vid problem med sekventiell beslutsfattande, som till exempel i problem med hur man stoppar (online) på en sista specifik händelse som löses av oddsalgoritmen.
oddsen är ett förhållande mellan sannolikheter; ett oddsförhållande är ett förhållande mellan odds, det vill säga ett förhållande mellan sannolikhetsförhållanden. Odds-förhållanden används ofta i analys av kliniska prövningar. Medan de har användbara matematiska egenskaper kan de producera kontraintuitiva resultat: en händelse med 80% sannolikhet att inträffa är fyra gånger mer sannolikt än en händelse med 20% sannolikhet, men oddsen är 16 gånger högre på den mindre troliga händelsen (4-1 mot eller 4) än på den mer troliga (1-4 eller 4-1 på eller 0,25).
exempel # 1 Det finns 5 Rosa kulor, 2 blå kulor och 8 Lila kulor. Vad är oddsen för att välja en blå marmor?
svar: oddsen till förmån för en blå marmor är 2: 13. Man kan likvärdigt säga, att oddsen är 13:2 mot. Det finns 2 av 15 chanser till förmån för blue, 13 av 15 mot blue.
i sannolikhetsteori och statistik, där variabeln p är sannolikheten för en binär händelse, och sannolikheten mot händelsen därför är 1-p, är” oddsen ”för händelsen kvoten för de två, eller p 1-p {\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}
. Det värdet kan betraktas som den relativa sannolikheten för att händelsen kommer att hända, uttryckt som en bråkdel (om den är mindre än 1) eller en multipel (om den är lika med eller större än en) av sannolikheten för att händelsen inte kommer att hända. i det första exemplet på toppen, säger oddsen för en söndag är ”en till sex” eller, mindre vanligt, ”en sjättedel” betyder sannolikheten för att plocka en söndag slumpmässigt är en sjättedel sannolikheten för att inte plocka en söndag. Medan den matematiska sannolikheten för en händelse har ett värde i intervallet från noll till en, ligger ”oddsen” till förmån för samma händelse mellan noll och oändlighet. Oddsen mot händelsen med Sannolikhet angiven som p är 1-p p {\displaystyle {\frac {1-p}{p}}}
. Oddsen mot söndag är 6: 1 eller 6/1 = 6. Det är 6 gånger så troligt att en slumpmässig dag inte är en söndag.