Binomická Věta

Binomická Expanze Pomocí pascalova Trojúhelníku

Zvažte následující rozšířenou působností (a + b)n, kde a + b je binomickém a n je celé číslo. Hledejte vzory.

každá expanze je polynom. Je třeba poznamenat některé vzory.

1. Existuje ještě jeden termín než síla exponentu, n. To znamená, že existují termíny v expanzi (a + b)n.

2. V každém členu je součet exponentů n, síla, na kterou je binomický zvýšen.

3. Exponenty začátku s n, síla binomické, a snížit na 0. Poslední člen nemá faktor a. první člen nemá faktor b, takže síly b začínají 0 a zvyšují se na n.

4. Koeficienty začínají na 1 a zvyšují se určitými hodnotami asi „napůl“ a poté se snižují těmito stejnými hodnotami zpět na 1.

pojďme prozkoumat koeficienty dále. Předpokládejme, že chceme najít rozšíření (a + b)6. Vzory, které jsme právě poznamenali, naznačují, že v expanzi je 7 termínů:
A6 + c1a5b + c2a4b2 + c3a3b3 + c4a2b4 + c5ab5 + b6.
Jak můžeme určit hodnotu každého koeficientu, ci? Můžeme tak učinit dvěma způsoby. První metoda zahrnuje zápis koeficientů do trojúhelníkového pole následujícím způsobem. Toto je známé jako Pascalův trojúhelník:

v trojúhelníku je mnoho vzorů. Najděte jich tolik, kolik můžete.
možná jste objevili způsob, jak napsat další řádek čísel, vzhledem k číslům v řádku nad ním. Tam jsou vždy 1 je na vnější straně. Každé zbývající číslo je součtem dvou čísel nad ním. Zkusme najít rozšíření pro (a + b)6 tím, že přidá další řádek pomocí vzorce jsme zjistili, že:

vidíme, že v poslední řadě

1. a poslední čísla jsou 1;
2. číslo je 1 + 5, nebo 6;
3. počet je 5 + 10, nebo 15;
4. číslo je 10 + 10, nebo 20;
5. číslo je 10 + 5, nebo 15; a
6. počet je 5 + 1, nebo 6.

Tak rozšíření pro (a + b)6 je
(a + b)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6.

najít rozšíření pro (a + b)8, jsme dokončit další dva řádky pascalova trojúhelníku:

rozšiřování
(a + b)8 = a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8.

můžeme zobecnit naše výsledky následovně.

Binomická Věta Pomocí pascalova Trojúhelníku

Pro všechny dvojčlenu a + b a libovolné přirozené číslo n,
(a + b)n = c0anb0 + c1an-1b1 + c2an-2b2 + …. + cn-1a1bn-1 + cna0bn,
Kde čísla c0, c1, c2,…., cn-1, cn jsou z (n + 1)-st řady Pascalova trojúhelníku.

Příklad 1 rozbalit: (u-v) 5.

řešení máme (a + b)n, kde a = u, b = – v A n = 5. Používáme 6. řádku pascalova trojúhelníku:
1 5 10 10 5 1
Pak máme
(u – v)5 = 5 = 1(u)5 + 5(u)4(-v)1 + 10(u)3(-v)2 + 10(u)2(-v)3 + 5(u)(-v)4 + 1(-v)5 = u5 – 5u4v + 10u3v2 – 10u2v3 + 5uv4 – v5.
Všimněte si, že znaky výrazů se střídají mezi + a -. Když je síla-v lichá, znaménko je -.

příklad 2 rozbalte: (2t + 3/t)4.

řešení máme (a + b)n, kde a = 2t, b = 3 / t A n = 4. Používáme 5. řádek Pascalova trojúhelníku:
1 4 6 4 1,
Pak máme

Binomický rozvoj Faktoriál Pomocí Zápisu

Předpokládejme, že chceme najít rozšíření (a + b)11. Nevýhodou při použití Pascalova trojúhelníku je, že musíme vypočítat všechny předchozí řádky trojúhelníku, abychom získali řádek potřebný pro expanzi. Následující metoda se tomu vyhýbá. To nám také umožňuje najít konkrétní termín-řekněme, 8. termín-bez výpočtu všech ostatních podmínek expanze. Tato metoda je užitečná v takových kurzech, jako je konečná matematika, počet a statistika, a používá zápis binomického koeficientu .
binomickou větu můžeme zopakovat následovně.

Binomická Věta používající faktoriální notaci

pro libovolné binomické (a + b) a jakékoli přirozené číslo n,
.

binomická věta může být prokázána matematickou indukcí. (Viz cvičení 63.) Tento formulář ukazuje, proč se nazývá binomický koeficient.

příklad 3 rozbalit: (x2-2y) 5.

řešení máme (a + b)n, kde a = x2, b = – 2y a n = 5 . Pak pomocí binomická věta, že máme

Konečně (x2 – 2y)5 = x10 – 10x8y + 40x6y2 – 80x4y3 + 80x2y4 – 32y5.

příklad 4 rozbalit: (2 / x + 3√x) 4.

řešení máme (a + b)n, kde a = 2 / x, b = 3√x a n = 4. Pak pomocí binomická věta, že máme

Konečně (2/x + 3√x)4 = 16/x4 + 96/x5/2 + 216/x + 216×1/2 + 81×2.

nalezení konkrétního termínu

Předpokládejme, že chceme určit pouze konkrétní termín expanze. Metoda, kterou jsme vyvinuli, nám umožní najít takový termín bez výpočtu všech řádků Pascalova trojúhelníku nebo všech předchozích koeficientů.

Všimněte si, že v binomickou větu, nám dává 1. termín, nám dává 2. termín, nám dává 3. termín, a tak dále. To lze zobecnit následovně.

Nalezení (k + 1)-st Termín

(k + 1)-st termín (a + b)n je .

příklad 5 Najděte 5. termín v expanzi (2x – 5y)6.

řešení nejprve si všimneme, že 5 = 4 + 1. Tedy k = 4, a = 2x, b = – 5y a n = 6. Pak 5. termín rozšíření je

Příklad 6 Najděte 8. období expanze (3x – 2)10.

řešení nejprve si všimneme, že 8 = 7 + 1. Tedy k = 7, a = 3x, b = -2 a n = 10. Pak 8. termín rozšíření je

Celkový Počet Podmnožin

Předpokládejme, že množina má n objekty. Počet podmnožin obsahujících prvky k . Celkový počet podmnožin množiny je počet podskupin s 0 prvky, plus počet podmnožin s 1 prvkem, plus počet podskupin s 2 prvky, a tak dále. Celkový počet podmnožin množiny s n prvky je
.
nyní zvažte rozšíření (1 + 1) n:
.
celkový počet podmnožin je tedy (1 + 1) n nebo 2n.prokázali jsme následující.

Celkový Počet Podmnožin

celkový počet podmnožin množiny s n prvky je 2n.

Příklad 7 množině {A, B, C, D, E} kolik má podmnožin?

řešení sada má 5 prvků, takže počet podmnožin je 25 nebo 32.

Příklad 8 Wendy, národní řetězec restaurací, nabízí následující zálivky pro své hamburgery:
{kečup, hořčice, majonéza, rajče, salát, cibule, okurka, omáčka, sýr}.
kolik různých druhů hamburgerů může Wendy ‚ s sloužit, s výjimkou velikosti hamburgeru nebo počtu placiček?

řešení zálivky na každém hamburgeru jsou prvky podmnožiny sady všech možných zálivek, prázdná sada je prostý hamburger. Celkový počet možných hamburgerů je

takže Wendy ‚ s podává hamburgery 512 různými způsoby.