Diferenciální počet II – Sekvence
Zobrazit Mobilní Oznámení, Zobrazit Všechny Poznámky, Skrýt Všechny Poznámky,
oddíl 4-1 : Sekvence
začněme v této části diskusí o tom, co je sekvence. Sekvence není nic jiného než seznam čísel napsaných v určitém pořadí. Seznam může nebo nemusí mít v sobě nekonečný počet termínů, i když se budeme zabývat výhradně nekonečnými sekvencemi v této třídě. Obecné sekvenční termíny jsou označeny následovně,
\
protože budeme jednat s nekonečnými sekvencemi každý člen v sekvenci bude následován jiným termínem, jak je uvedeno výše. Ve výše uvedeném zápisu musíme být velmi opatrní s indexy. Index \(n + 1\) označuje další termín v pořadí a ne jeden plus termín \(n^{\mbox{th}}\)! Jinými slovy,
\
takže buďte velmi opatrní při psaní indexů, abyste se ujistili, že „+ 1″nemigruje z indexu! To je snadná chyba, když se poprvé začnete zabývat takovými věcmi.
existuje řada způsobů, jak označit sekvenci. Každý z následujících způsobů jsou ekvivalentní způsoby označení sekvence.
\
ve druhém a třetím zápisu nad an je obvykle dán vzorcem.
několik poznámek je nyní v pořadí o těchto notacích. Nejprve si všimněte rozdílu mezi druhou a třetí notací výše. Pokud výchozí bod není důležitý nebo je nějakým způsobem implikován problémem, často není zapsán jako ve třetím zápisu. Dále jsme použili výchozí bod \(n = 1\) pouze ve třetí notaci, abychom mohli zapsat jeden. Neexistuje absolutně žádný důvod se domnívat, že sekvence začne na \(n = 1\). Sekvence začne tam, kde je třeba začít.
pojďme se podívat na několik sekvencí.
- \(\displaystyle \left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\displaystyle \left\{ {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), kde \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ číslice }}\pi \)
Zobrazit Všechna Řešení Skrýt Všechna Řešení,
získat několik prvních sekvence podmínky zde vše, co musíme udělat, je připojit v hodnotách \(n\) do vzorce vzhledem a dostaneme posloupnost hledisko.
\
Všimněte si zahrnutí “ … “ na konci! Toto je důležitá notace, protože je to jediná věc, která nám říká, že sekvence pokračuje a nekončí v posledním semestru.
b \(\displaystyle \left\{ {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Ukazují Řešení
Tohle je podobný jako ten první. Hlavní rozdíl je v tom, že tato sekvence nezačíná na \(n = 1\).
\
Všimněte si, že termíny v tomto pořadí se střídají ve znacích. Sekvence tohoto druhu se někdy nazývají střídavé sekvence.
c \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), kde \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ číslice }}\pi \) Ukazují Řešení
Toto pořadí je odlišné od prvních dvou v tom smyslu, že nemá konkrétní vzorec pro každý termín. Nicméně, říká nám, jaký by měl být každý termín. Každý výraz by měl být n-tou číslicí \(\pi\). Takže víme, že \(\pi = 3.14159265359 \ldots \)
pořadí je pak,
\
V prvních dvou částech předchozím příkladu si všimněte, že jsme byli opravdu léčení vzorců jako funkce, které může mít pouze celá čísla zapojen do nich. Nebo
\
to je důležitá myšlenka při studiu sekvencí (a řad). Zacházení s termíny posloupnosti jako s hodnocením funkcí nám umožní dělat mnoho věcí se sekvencemi, které bychom jinak nemohli udělat. Než se ponoříme dále do této myšlenky, musíme však dostat pár dalších nápadů z cesty.
nejprve chceme přemýšlet o „grafování“ sekvence. Pro graf sekvence \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) vykreslíme body \(\left ({n, {a_n}} \right)\) jako\ (n\) rozsahy nad všemi možnými hodnotami v grafu. Například graf sekvence \(\left\ { {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}} \right\}_{n = 1}^\infty \). Prvních pár bodů na grafu,
\
graf, pro prvních 30 z hlediska pořadí, je pak,
Tento graf nás vede k důležité představě o sekvencích. Všimněte si, že jako \(n\) zvyšuje sekvenční termíny v naší sekvenci, v tomto případě se přibližujte a přibližujte k nule. Pak řekneme, že nula je limit (nebo někdy limitní hodnota) sekvence a napište,
\
tato notace by vám měla vypadat povědomě. Je to stejná notace, jakou jsme použili, když jsme hovořili o limitu funkce. Ve skutečnosti, pokud si vzpomínáte, řekli jsme dříve, že bychom mohli myslet na sekvence jako funkce nějakým způsobem, a tak by tato notace neměla být příliš překvapivá.
pomocí myšlenek, které jsme vyvinuli pro limity funkcí, můžeme zapsat následující pracovní definici pro limity sekvencí.
pracovní definice limitu
- říkáme, že \
Pokud můžeme udělat co nejblíže \(L\), jak chceme pro všechny dostatečně velké \(n\). Jinými slovy, hodnota přístupu \({a_n}\) \(L\) as \(n\) se blíží nekonečnu.
- říkáme, že \
Pokud můžeme udělat tak velký, jak chceme pro všechny dostatečně velké \(n\). Jinými slovy, hodnota \({a_n}\) se zvětšuje a zvětšuje bez vazby, protože \(n\) se blíží nekonečnu.
- říkáme, že \
Pokud můžeme udělat tak velký a záporný, jak chceme pro všechny dostatečně velké \(n\). Opět, jinými slovy, hodnota \({a_n}\) ‚ s jsou záporné a dostat větší a větší bez vázání jako \(n\) blíží nekonečnu.
pracovní definice různých limitů sekvencí jsou pěkné v tom, že nám pomáhají vizualizovat, co je limit ve skutečnosti. Stejně jako u limitů funkcí však existuje i přesná definice pro každou z těchto limitů. Pojďme dát ty před pokračováním
Přesnou Definici Limit
- říkáme, že \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\), jestliže pro každé číslo \(\varepsilon > 0\) existuje celé číslo \(N\) takové, že \
- říkáme, že \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \), jestliže pro každé číslo \(M > 0\) existuje celé číslo \(N\) takové, že \
- říkáme, že \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = – \infty \), jestliže pro každé číslo \(M < 0\) existuje celé číslo \(N\) tak, že \
nebudeme používat přesnou definici často, ale občas se objeví.
Všimněte si, že obě definice nám říkají, že v zájmu pro omezení existují a mají omezenou hodnotu všech pořadí, výrazy musí být stále blíž a blíž, že konečná hodnota jako \(n\) zvyšuje.
Nyní, když máme definice limitu sekvencí z cesty, máme trochu terminologie, na kterou se musíme podívat. Pokud \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\) existuje a je konečný, říkáme, že posloupnost je konvergentní. Pokud \(\mathop {\lim }\limits_{n \ to \ infty } {a_n}\) neexistuje nebo je nekonečný říkáme, že sekvence se liší. Všimněte si, že někdy budeme říkat, že posloupnost diverguje k \(\infty \), jestliže \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \) a je-li \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = – \infty \), budeme někdy říkat, že posloupnost diverguje k \( – \infty \).
zvykněte si na pojmy „konvergentní“ a „divergentní“, protože je v této kapitole uvidíme docela dost.
tak jak najdeme limity sekvencí? Většina limitů většiny sekvencí lze nalézt pomocí jedné z následujících vět.
Věta 1
Vzhledem k posloupnosti \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) máme-li funkce \(f\left( x \right)\) takové, že \(f\left( n \right) = {a_n}\) a \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = L\), pak \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\)
Tato věta je v podstatě nám říká, že budeme mít limity posloupností stejně jako jsme si limit funkcí. Ve skutečnosti ve většině případů tuto větu ani nepoužijeme explicitním zapsáním funkce. Budeme častěji jen zacházet s limitem, jako by to byl limit funkce, a vezmeme limit jako vždy v počtu I, když jsme brali limity funkcí.
takže nyní, když víme, že brát limit sekvence je téměř totožný s brát limit funkce, víme také, že všechny vlastnosti z limitů funkcí budou také držet.
Vlastnosti
Pokud \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) a \(\left\{ {{b_n}} \right\}\) jsou konvergentní posloupnosti,
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n} \pm {b_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \pm \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } c{a_n} = c\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n}\,{b_n}} \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}} \right)\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}} \right)\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}}},\,\,\,\,\,{\mbox{za předpokladu }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} \ne 0\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n^p = {\left^p}\) za předpokladu, \({a_n} \ge 0\)
Tyto vlastnosti lze dokázat pomocí Věty 1 výše, a funkce vlastnosti limit jsme viděli v diferenciální počet I, nebo můžeme dokázat přímo, pomocí přesné definice limitu pomocí téměř identických důkazů vlastností limitu funkce.
dále, stejně jako jsme měli větu Squeeze pro limity funkcí, máme také jednu pro sekvence a je do značné míry totožná s verzí function limit.
Squeeze Věta pro Posloupnosti
Pokud \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) pro všechna \(n > N\) pro nějaké \(N\) a \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = L\), pak \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {c_n} = L\).
Všimněte si, že v tato věta „pro všechny \(n > N\) pro nějaké \(N\)“ je opravdu jen nám říká, že musíme mít \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) pro všechna dostatečně velká \(n\), ale pokud to není pravda pro několik prvních \(n\) že neruší platnost věta.
jak uvidíme, ne všechny sekvence mohou být zapsány jako funkce, které můžeme skutečně vzít limit. To platí zejména pro sekvence, které se střídají ve znacích. I když můžeme vždy psát tyto posloupnosti jako funkci, prostě nevíme, jak vzít limit takové funkce. Následující věta pomůže s některými z těchto sekvencí.
Věta 2
Pokud \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\), pak \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\).
Všimněte si, že aby tato věta udržela limit, musí být nula a nebude fungovat pro sekvenci, jejíž limit není nula. Tato věta je dost snadné dokázat, takže pojďme to udělat.
Důkaz o Věta 2
hlavní věc, aby tento důkaz je si uvědomit, že,
\
všimněte si,
\
Máme tedy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( { – \left| {{a_n}} \right|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\), a tak tím, že Věta o sevření také musíme mít
\
další věta je užitečná věta dává konvergence/divergence a hodnoty (pro, když je konvergentní) sekvence, která vzniká na příležitosti.
Věta 3
posloupnost \(\left\{ {{r^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) konverguje-li \( – 1 < r \le 1\) a diverguje pro všechna ostatní hodnoty \(r\). Také
\
zde je rychlý (dobře ne tak rychlý, ale rozhodně jednoduchý) částečný důkaz této věty.
částečný důkaz věty 3
uděláme to řadou případů, i když poslední případ nebude zcela prokázán.
případ 1 : \(r > 1\)
víme, že z Matiky jsem, že \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = \infty \), jestliže \(r > 1\), a tak podle Věty 1 víme také, že \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = \infty \), a tak se sekvence liší-li \(r > 1\).
Případ 2: \(r = 1\)
v tomto případě máme
\
takže sekvence konverguje pro \(r = 1\) a v tomto případě je její limit 1.
případ 3 : \(0 < r < 1\)
víme, že z Matiky jsem, že \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = 0\), jestliže \(0 < r < 1\) a tak podle Věty 1 víme také, že \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\), a tak posloupnost konverguje, je-li \(0 < r < 1\) a v tomto případě jeho limit je nula.
případ 4: \(r = 0\)
V tomto případě máme
\
takže sekvence konverguje pro \(r = 0\) a v tomto případě je její limit nulový.
Případ 5 : \( – 1 < r < 0\)
Nejprve pojďme na vědomí, že pokud \( – 1 < r < 0\) pak \(0 < \left| r \right| < 1\), pak tím, že Případ 3 výše, které máme,
\
Věta 2 výše, a nyní nám říká, že musíme také mít, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\) a tak, pokud \( – 1 < r < 0\) posloupnost konverguje a má limitu 0.
případ 6 : \(r = – 1\)
V tomto případě je sekvence,
\
a doufejme, že to je jasné, že \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 1} \right)^n}\) neexistuje. Připomeňme, že aby tento limit existoval, musí se termíny blížit jedné hodnotě, protože se zvyšuje \(n\). V tomto případě se však termíny jen střídají mezi 1 A -1, takže limit neexistuje.
takže sekvence se liší pro \(r = – 1\).
případ 7: \(r < – 1\)
v tomto případě nebudeme procházet úplným důkazem. Podívejme se, co se stane, když například necháme \(r = – 2\). Pokud budeme dělat, že sekvence se stává,
\
Takže, pokud \(r = – 2\), dostaneme posloupnost podmínky, jejichž hodnoty se střídají v znamení, a získat větší a větší a tak \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 2} \right)^n}\) neexistuje. Neusazuje se na jednu hodnotu, protože se zvyšuje \(n\), ani se termíny všechny nepřibližují k nekonečnu. Sekvence se tedy liší pro \(r = – 2\).
Bychom mohli udělat něco podobného pro každou hodnotu \(r\) taková, že \(r < – 1\), a tak posloupnost diverguje k \(r < – 1\).
podívejme se na několik příkladů limitů sekvencí.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{3{n^2} – 1}}{{10n + 5{n^2}}}} \right\}_{n = 2}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
Zobrazit Všechna Řešení Skrýt Všechna Řešení
V tomto případě, vše, co musíme udělat, je připomenout metodu, která byla vyvinut v kalkulu I, aby se zabýval limity racionálních funkcí. Podívejte se na limity v nekonečnu, Část I části kalkulu i poznámky k přezkoumání tohoto, Pokud potřebujete.
udělat limit v této podobě vše, co musíme udělat, je faktor z čitatele a jmenovatele největší síla \(n\), zrušit a pak se limit.
\
takže sekvence konverguje a její limit je \(\frac{3}{5}\).
b \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Ukazují Řešení
Budeme muset být opatrní s tímto jeden. Budeme muset použít L ‚ Hospitalovo pravidlo pro tuto sekvenci. Problém je v tom, že L ‚ Hospitalovo pravidlo funguje pouze na funkcích a ne na sekvencích. Normálně by to byl problém, ale máme větu 1 shora, která nám pomůže. Definujme
\
a všimněte si, že
\
věta 1 říká, že vše, co musíme udělat, je vzít limit funkce.
\
takže sekvence v této části se liší (na \(\infty \)).
Více často než ne, jsme jen Já’Hospital je Pravidlo na pořadí podmínek, aniž by nejprve přeměnit na \(x\)’s protože práce bude totožný bez ohledu na to, zda použijeme \(x\), nebo \(n\). Měli bychom si však pamatovat, že technicky nemůžeme dělat derivace při jednání se sekvenčními termíny.
c \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Ukazují Řešení
Budeme také muset být opatrní s tímto pořadí. Mohli bychom být v pokušení říci, že limit posloupnosti je nulový (a měli bychom pravdu). Technicky však nemůžeme vzít limit posloupností, jejichž termíny se střídají ve znamení, protože nevíme, jak dělat limity funkcí, které vykazují stejné chování. Také chceme být velmi opatrní, abychom se s těmito problémy příliš nespoléhali na intuici. Jak uvidíme v další části a v pozdějších částech, naše intuice nás může v těchto problémech svést na scestí, pokud nebudeme opatrní.
takže, pojďme pracovat Tento podle knihy. K tomuto problému budeme muset použít větu 2. K tomuto budeme nejprve muset vypočítat,
\
Proto, protože limit sekvence výrazy s absolutní hodnotou bary na nich jde k nule, víme, že podle Věty 2,
\
což také znamená, že posloupnost konverguje k hodnotě nula.
d \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Ukazují Řešení
tato věta na vědomí, že vše, co musíme udělat, je uvědomit si, že to je posloupnost v Věta 3 výše pomocí \(r = – 1\). Takže podle věty 3 se tato posloupnost liší.
nyní musíme dát varování před zneužitím věty 2. Věta 2 funguje, pouze pokud je limit nulový. Pokud limit absolutní hodnoty sekvenčních termínů není nulový, věta nebude držet. Poslední část předchozího příkladu je toho dobrým příkladem (a ve skutečnosti toto varování je celý důvod, proč tam část je). Všimněte si, že
\
a přesto, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 1} \right)^n}\) ani neexistuje, natož rovná 1. Takže buďte opatrní pomocí této věty 2. Musíte si vždy pamatovat, že to funguje, pouze pokud je limit nulový.
než se přesuneme na další část, musíme dát ještě jednu větu, kterou budeme potřebovat pro důkaz po silnici.
Věta 4
Pro posloupnost \(\left\{ {{a_n}} \right\}\), pokud oba \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) a \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) pak \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) je konvergentní a \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\).
důkaz věty 4
Let \(\varepsilon > 0\).
Pak se od \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) existuje \({N_1} > 0\) takové, že pokud \(n > {N_1}\) víme, že
\
Podobně, protože \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) existuje \({N_2} > 0\) takové, že pokud \(n > {N_2}\) víme, že
\
Nyní, nechť \(N = \max \left\{ {2{N_1},2{N_2} + 1} \right\}\) a nechť \(n > N\). Pak buď \({a_n} = {a_{2k}}\) pro nějaké \(k > {N_1}\) nebo \({a_n} = {a_{2k + 1}}\) pro nějaké \(k > {N_2}\), a tak v každém případě budeme mít,
\
Proto, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) a \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) je konvergentní.