Kartézský souřadnicový systém

Obr. 1-Kartézský souřadnicový systém. Čtyři body jsou označeny: (2,3) zeleně, (-3,1) červeně, (-1,5, -2,5) modře a (0,0), původ, žlutě.

V matematice, Kartézský souřadný systém (nebo pravoúhlý souřadný systém) se používá k určení, každý bod jednoznačně v rovině přes dvě čísla, se obvykle nazývají souřadnice x a y-souřadnici bodu. Pro definování souřadnic jsou specifikovány dvě kolmé směrované čáry (osa x nebo úsečka a osa y nebo souřadnice), jakož i délka jednotky, která je na obou osách označena (viz Obrázek 1). Kartézské souřadnicové systémy se také používají v prostoru (kde se používají tři souřadnice) a ve vyšších rozměrech.

Obr. 2-Kartézský souřadnicový systém s kružnicí poloměru 2 vystředěnou na počátku označenou červeně. Rovnice kruhu je x2 + y2 = 4.

pomocí kartézského souřadnicového systému lze geometrické tvary (například křivky) popsat algebraickými rovnicemi, konkrétně rovnicemi splněnými souřadnicemi bodů ležících na tvaru. Například kružnice o poloměru 2 může být popsána rovnicí x2 + y2 = 4 (viz Obrázek 2).

historie

kartézské prostředky vztahující se k francouzskému matematikovi a filozofovi René Descartes (latinsky: Cartesius), který mimo jiné pracoval na sloučení algebry a euklidovské geometrie. Tato práce měla vliv na vývoj analytické geometrie, počtu a kartografie.

myšlenka tohoto systému byla vyvinuta v roce 1637 ve dvou spisech Descartes. Ve druhé části svého diskurzu o metodě Descartes představuje novou myšlenku určení polohy bodu nebo objektu na povrchu pomocí dvou protínajících se OS jako měřicích vodítek. V La Géométrie dále zkoumá výše uvedené pojmy.

dvourozměrný souřadnicový systém

Obr. 3-čtyři kvadranty kartézského souřadnicového systému. Šipky na osách ukazují, že se prodlužují navždy ve svých příslušných směrech (tj. nekonečně).

Kartézský souřadnicový systém ve dvou rozměrech je běžně definován dvěma osami, v pravém úhlu k sobě, tvořícími rovinu (rovinu xy). Vodorovná osa je obvykle označena x a svislá osa je obvykle označena y. v trojrozměrném souřadném systému se přidá další osa, normálně označená z, poskytující třetí rozměr měření prostoru. Osy jsou běžně definovány jako vzájemně kolmé (každá v pravém úhlu k druhému). (Brzy systémů dovoleno „šikmé“ os, to je to, sekery, které nesplnily v pravém úhlu, a tyto systémy jsou občas používá dodnes, i když většinou jako teoretické cvičení.) Všechny body v kartézském souřadném systému dohromady tvoří tzv. kartézskou rovinu. Rovnice, které používají Kartézský souřadnicový systém, se nazývají kartézské rovnice.

průsečík, kde se osy setkávají, se nazývá Počátek normálně označený o.Osy x a y definují rovinu, která se označuje jako rovina xy.Vzhledem k tomu, každé osy, vyberte si jednotku délky, a označte každé jednotky podél osy, které tvoří mřížku.Chcete-li zadat určitý bod na dvourozměrném souřadnicovém systému, uveďte x jednotky první (úsečka), následovaný y jednotka (souřadnice) ve formě (x,y), uspořádaná dvojice.

volba písmen pochází z konvence, která používá druhou část abecedy K označení neznámých hodnot. Naproti tomu první část abecedy byla použita k označení známých hodnot.

příklad bodu P v systému je znázorněn na obrázku 3 pomocí souřadnice (3,5).

průsečík obou OS vytváří čtyři oblasti, nazývané kvadranty, označené římskými číslicemi I (+,+), II (−,+), III ( − ,−) a IV (+,−). Obvykle jsou kvadranty označeny proti směru hodinových ručiček počínaje pravým horním („severovýchodním“) kvadrantem. V prvním kvadrantu, obě souřadnice jsou pozitivní, ve druhém kvadrantu, souřadnice x jsou záporné a y-souřadnice pozitivní, ve třetím kvadrantu obě souřadnice jsou negativní a ve čtvrtém kvadrantu, x-souřadnice jsou kladné a y-souřadnice negativní (viz tabulka níže.)

trojrozměrný souřadnicový systém

Obr. 4-trojrozměrný Kartézský souřadnicový systém s osou y směřující od pozorovatele.

Obr. 5-trojrozměrný Kartézský souřadný systém s osou x směřující k pozorovateli.

trojrozměrný Kartézský souřadnicový systém poskytuje tři fyzické rozměry prostoru-délku—šířku a výšku. Obrázky 4 a 5 ukazují dva běžné způsoby reprezentace.

tři kartézské osy definující systém jsou na sebe kolmé. Příslušné souřadnice jsou tvaru (x, y, z). Jako příklad, obrázek 4 ukazuje dva body vykresleny v trojrozměrném Kartézském souřadnicovém systému: P(3,0,5) a Q(-5,-5,7). Osy jsou zobrazeny v orientaci „world-coordinates“ s osou z směřující nahoru.

souřadnice X-, y-a z-bodu lze také považovat za vzdálenosti od roviny yz, roviny xz a roviny xy. Obrázek 5 ukazuje vzdálenosti bodu P od rovin.

XY-, yz-a xz-roviny rozdělují trojrozměrný prostor do osmi subdivizí známých jako oktanty, podobně jako kvadranty 2D prostoru. Zatímco byly zavedeny konvence pro označování čtyř kvadrantů roviny XY, je označen pouze první Oktant trojrozměrného prostoru. Obsahuje všechny body, jejichž souřadnice x, y A z jsou kladné.

Z-souřadnice se také nazývá applicate.

Orientace a nestrannost

viz také: pravidlo pravé ruky

Ve dvou dimenzích.

pravidlo pravé ruky.

stanovení nebo volba osy x určuje osu y směrem nahoru. Konkrétně osa y je nutně kolmá na osu x bodem označeným 0 na ose x. Existuje však možnost volby, která ze dvou polovičních čar na kolmici označí jako pozitivní a která jako negativní. Každá z těchto dvou možností určuje jinou orientaci (nazývanou také handedness) kartézské roviny.

obvyklý způsob orientace os, s kladnou částí osy x směřující doprava a pozitivní osa y směrem nahoru (a x-osa je „první“ a osa y „druhého“ osy) je považována za pozitivní nebo standardní orientaci, také volal pravotočivou orientaci.

běžně používaná mnemotechnická pomůcka pro definování pozitivní orientace je pravidlo pravé ruky. Umístěním poněkud uzavřené pravé ruky do roviny s palcem směřujícím nahoru, prsty směřují od osy x k ose y v pozitivně orientovaném souřadném systému.

dalším způsobem orientace os je dodržování pravidla levé ruky a umístění levé ruky do roviny palcem směřujícím nahoru.

bez ohledu na pravidlo použité pro orientaci OS, otáčení souřadnicového systému zachová orientaci. Přepnutí role x a y změní orientaci.

ve třech rozměrech

Obr. 7-levostranná orientace je zobrazena vlevo a pravostranná vpravo.

Obr. 8-pravostranný Kartézský souřadnicový systém označující souřadnicové roviny.

jakmile jsou zadány osy x a y, určují čáru, podél které by osa z měla ležet, ale na této linii jsou dva možné směry. Dva možné souřadnicové systémy, které jsou výsledkem, se nazývají „pravák“ a „levák“.“Standardní orientaci, kde xy-rovina je vodorovná a osa z bodů (a x – a y-osy formu pozitivně orientované dvou-dimenzionální systém souřadnic v rovině xy pokud je pozorována z nad rovinou xy) se nazývá pravák nebo pozitivní.

název je odvozen z pravidla pravé ruky. Je-li index prst pravé ruky míří dopředu, prostřední prst ohnutý směrem dovnitř, v pravém úhlu k ní, a palec umístěn v pravém úhlu k oběma, tři prsty ukazují na relativní směry x, y a z-osy v pravotočivý systém. Palec označuje osu x, ukazováček osu y a prostředníček osu z. Naopak, pokud se to samé děje s levou rukou, dojde k levému systému.

různé disciplíny používají různé varianty souřadnicových systémů. Například, matematici obvykle používají pravotočivý souřadný systém s osou y směřující nahoru, zatímco inženýři obvykle používají levoruký souřadnicový systém s osou z směřující nahoru. To má potenciál vést ke zmatku, když inženýři a matematici pracují na stejném projektu.

Obrázek 7 je pokus o zobrazení levostranného a pravostranného souřadnicového systému. Protože trojrozměrný objekt je reprezentován na dvourozměrné obrazovce, výsledkem je zkreslení a nejednoznačnost. Osa směřující dolů (a doprava) má také směřovat k pozorovateli, zatímco“ střední “ osa má směřovat od pozorovatele. Červený kruh je rovnoběžný s vodorovnou rovinou xy a označuje rotaci od osy x k ose y (v obou případech). Proto červená šipka prochází před osou z.

Obrázek 8 je dalším pokusem o zobrazení pravostranného souřadnicového systému. Opět existuje nejednoznačnost způsobená promítáním trojrozměrného souřadného systému do roviny. Mnoho pozorovatelů vidí obrázek 8 jako „převrácení dovnitř a ven“ mezi konvexní krychlí a konkávním „rohem.“To odpovídá dvěma možným orientacím souřadnicového systému. Vidět obrázek jako konvexní dává levostranný souřadný systém. „Správným“ způsobem zobrazení obrázku 8 je tedy představit si osu x jako směřující k pozorovateli a vidět tak konkávní roh.

ve fyzice

výše uvedená diskuse se týká kartézských souřadnicových systémů v matematice, kde je běžné nepoužívat žádné měrné jednotky. Ve fyzice je důležité poznamenat, že dimenze je jednoduše měřítkem něčeho a že pro každou třídu vlastností, které mají být měřeny, lze přidat další dimenzi. Připojení k vizualizaci rozměrů brání pochopení mnoha různých dimenzí, které lze měřit (čas, hmotnost,barva, cena atd.). Vícerozměrné objekty lze vypočítat a manipulovat algebraicky.

Představující vektor s Kartézský zápis

bod v prostoru v Kartézském souřadném systému může být také reprezentována vektorem, který může být myšlenka jako šipka směřující z počátku souřadného systému do bodu. Pokud souřadnice představují prostorové polohy (posunutí) je běžné, představují vektor z počátku do bodu zájmu jako r {\displaystyle \mathbf {r} } . Pomocí Kartézských souřadnic, vektor z počátku do bodu ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} může být zapsán jako:

r = x i + y j + z k {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }

where i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } , and k {\displaystyle \mathbf {k} } are unit vectors that point the same direction as the x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , a z {\displaystyle z} osy, respektive.

tato notace se obvykle označuje jako Kartézská notace. Jednotkové vektory i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } , a k {\displaystyle \mathbf {k} } se nazývají versors souřadného systému, a představují příklad standardní bázi.

další poznámky

v počítačové geometrii je Kartézský souřadnicový systém základem algebraické manipulace s geometrickými tvary. Od Descartes bylo vyvinuto mnoho dalších souřadnicových systémů. Jedna společná sada systémů používá polární souřadnice; astronomové často používají sférické souřadnice, Typ polárního souřadného systému.

Viz také

• Křivka
• Geometry
• Graf
• Řádek (matematika)
• Matematika
• Počet
• Letadlo (matematika)
• Bod (geometrie)
• René Descartes

Poznámky

• Descartes, René. 2001. Diskurz o metodě, optice, geometrii a meteorologii. Trans. Paul J.Olscamp. Indianapolis, v: Hackett Pub. ISBN 0872205673.
• Gelffand, I. m., e. g. Glagoleva a A. a. Kirillov. 1990. Metoda souřadnic. Boston: Birkhauser. ISBN 0817635335.
• Kline, Morris. 1985. Matematika pro Nematematika. New York: Dover. ISBN 0817635335.

všechny odkazy načteny 16. ledna 2017.

• Kartézský souřadnicový systém.
• tisknutelné kartézské souřadnice.
• kartézské souřadnice. PlanetMath.