Skryté Twist k tomu, Möbius Pás

V oblasti symplectic geometrie, střední vydání zahrnuje jak spočítat průsečíky dvou složité geometrické prostory. Toto počítání otázka je v srdci jednoho z nejslavnějších problémů v oblasti, Arnold dohad, a to je také základní technika: Matematici potřebují vědět, jak, aby se tyto počty v zájmu jiné druhy výzkumu.

jak popisuji ve svém článku „boj za opravu základů geometrie“, vývoj metody pro počítání těchto průsečíků byl vyčerpaný a někdy sporný proces. Spolehlivý, široce zřejmé, chyba-free přístup představuje výzvu pro řadu důvodů, z nedostatku sdílené slovní zásobu, když se nové pole dostane začal (symplectic geometrie jen opravdu vzal volno, začátek v roce 1990), k povaze problému samotného: Jednoduše řečeno, je to těžké.

obtížnost spočívá v tom, že z jemných důvodů není možné počítat průsečíky najednou. Místo toho musí matematici rozdělit prostor na „místní“ regiony, počítat průsečíky v každém regionu a sčítat je dohromady, aby získali“ globální “ počet. Sestavujeme společně místní počítá se ukázal být jemnější a technicky náročnější úkol, než matematici si uvědomil, na první: Pokud si nejste opatrní, o tom, jak si nakreslit svůj místní oblastí, můžete snadno vynechat jeden průsečík nebo double-počítat další.

následující ilustrace zkoumají obtížnost úkolu pomocí pásu Möbius (dvourozměrný kruhový pás s kroucením). Pás Möbius má dva kruhy procházející jeho povrchem. Otázka zní: kolikrát se oba kruhy protínají? Jak můžete vidět, odpověď se zdá být jedna věc, když se podíváte na pás všechny najednou, a další, pokud si nejste opatrní, když budete řez Möbius strip na dvě části.

počítání Puzzle

matematici chtějí počítat průsečíky, ale určité překážky jim brání počítat všechny tyto body přímo. K překonání těchto překážek, rozdělí rozdělovač na „místní“ regiony o velikosti kousnutí, spočítat křižovatky v každém a přidat je dohromady, aby získali počet pro celé potrubí.

Pokud však matematici nejsou opatrní, jak kombinují počty z místních regionů, mohou snadno skončit s nesprávným počtem pro celé potrubí. V tomto jednoduchém příkladu je patrná jemnost sčítání místních počtů.

Möbius Rip

vezměte pás Möbius. Nakreslete dva kruhy, které procházejí. Pokud se podíváte na celý pás Möbius, musí se oba kruhy alespoň jednou protínat: jeden kruh začíná nad druhým, ale končí pod ním kvůli kroucení.

nyní nakrájejte stejný pás Möbius na dva kusy. Řezy odstraňují zkroucení v proužku. Na každý kus nakreslete dva segmenty kruhu. Bez zkroucení je snadné nakreslit segmenty kruhu tak, aby probíhaly paralelně k sobě a nikdy se neprotínaly. V důsledku toho byste mohli mylně usoudit, že počet křižovatek na celém möbiově pásu je nulový. Matematici v symplektické geometrii se dozvěděli, že slepení „místních“ kusů k obnovení „globálního“ průsečíku je mnohem složitější proces, než si původně představovali.