Calcul I – Dérivées des Fonctions Hyperboliques

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Section 3-8 : Dérivées des fonctions hyperboliques

Le dernier ensemble de fonctions que nous allons examiner dans ce chapitre sont les fonctions hyperboliques. Dans de nombreuses situations physiques, des combinaisons de \({{\bf{e}}^x}\) et \({{\bf{e}}^{-x}}\) surviennent assez souvent. Pour cette raison, ces combinaisons sont des noms donnés. Il y a six fonctions hyperboliques et elles sont définies comme suit.

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Voici les graphiques des trois principales fonctions hyperboliques.

Graphe de \(y = \cosh\left(x\right)\). Il ressemble vaguement à une parabole d'ouverture vers le haut avec un sommet à (0,1).Graphe de \(y = \sinh\left(x\right)\). Il ressemble vaguement à un graphe ascendant comme le graphe de \(y = x ^{3} \) commençant dans le troisième quadrant et augmentant à travers l'origine (où il s'aplatit brièvement) puis continuant à augmenter dans le premier quadrant.
Graphe de \(y=\tanh\left(x\right)\). Le graphique commence à gauche à l'asymptote horizontale à \(y = -1\) et augmente en passant par (0,0) puis en s'approchant d'une autre asymptote horizontale à \ (y = 1\).

Nous avons également les faits suivants sur les fonctions hyperboliques.

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Vous remarquerez que celles-ci sont similaires, mais pas tout à fait identiques, à certaines des identités trig les plus courantes, alors faites attention à ne pas confondre les identités ici avec celles des fonctions trig standard.

Parce que les fonctions hyperboliques sont définies en termes de fonctions exponentielles, trouver leurs dérivées est assez simple à condition d’avoir déjà lu la section suivante. Nous n’avons cependant pas besoin de la formule suivante qui peut être facilement prouvée après avoir couvert la section suivante.

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Avec cette formule, nous allons faire la dérivée du sinus hyperbolique et vous laisser le reste comme un exercice.

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Pour le reste, nous pouvons utiliser la définition de la fonction hyperbolique et/ ou la règle du quotient. Voici les six dérivés.

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Voici quelques dérivées rapides utilisant des fonctions hyperboliques.

Exemple 1 Différencie chacune des fonctions suivantes.

  1. \(f\left(x\right) = 2 {x^5}\cosh x\)
  2. \(\displaystyle h\left(t\right) = \frac {{\sinh t}} {{t+1}}\)
Afficher la solution

a

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b

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