Calcul II – Séquences
Afficher l’avis mobile Afficher Toutes les notes Masquer Toutes les Notes
Section 4-1 : Sequences
Commençons cette section par une discussion sur ce qu’est une séquence. Une séquence n’est rien de plus qu’une liste de nombres écrits dans un ordre spécifique. La liste peut contenir ou non un nombre infini de termes, bien que nous nous occupions exclusivement de séquences infinies dans cette classe. Les termes de séquence généraux sont notés comme suit,
\
Car nous traiterons de séquences infinies chaque terme de la séquence sera suivi d’un autre terme comme indiqué ci-dessus. Dans la notation ci-dessus, nous devons être très prudents avec les indices. L’indice de \(n + 1\) désigne le terme suivant de la séquence et NON un plus le terme \(n^{\mbox{th}}\)! En d’autres termes,
\
soyez donc très prudent lors de l’écriture des indices pour vous assurer que le « +1” ne migre pas hors de l’indice! C’est une erreur facile à faire lorsque vous commencez à traiter ce genre de chose.
Il existe une variété de façons de désigner une séquence. Chacun des éléments suivants sont des moyens équivalents de désigner une séquence.
\
Dans les deuxième et troisième notations ci-dessus, un est généralement donné par une formule.
Quelques notes sont maintenant en ordre sur ces notations. Tout d’abord, notez la différence entre les deuxième et troisième notations ci-dessus. Si le point de départ n’est pas important ou est sous-entendu d’une manière ou d’une autre par le problème, il n’est souvent pas écrit comme nous l’avons fait dans la troisième notation. Ensuite, nous avons utilisé un point de départ de \(n = 1 \) dans la troisième notation uniquement pour pouvoir en écrire un. Il n’y a absolument aucune raison de croire qu’une séquence commencera à \(n = 1\). Une séquence commencera là où elle doit commencer.
Jetons un coup d’œil à quelques séquences.
- \(\displaystyle\left\{{\frac{{n+1}}{{{n^2}}}}\right\}_{n=1}^\infty\)
- \(\displaystyle\left\{{\frac{{{{\left({-1}\right)}^{n + 1}}}}{{{2^ n}}}}\right\}_{n = 0}^\infty\)
- \(\left\{{{b_n}}\right\}_{n = 1}^\infty\), où \({b_n} ={n^{th}}{\mbox{digit of}}\pi\)
Afficher Toutes les Solutions Masquer Toutes les Solutions
Pour obtenir les premiers termes de séquence ici, il suffit de brancher les valeurs de \(n\) dans la formule donnée et nous obtiendrons la séquence terme.
\
Notez l’inclusion du « … » à la fin! C’est une notation importante car c’est la seule chose qui nous indique que la séquence continue et ne se termine pas au dernier terme.
b\(\displaystyle\left\{{\frac{{{{\left({-1}\right)}^{n + 1}}}}{{{2^ n}}}} \right\}_{n = 0} ^\infty\) Afficher la solution
Celle-ci est similaire à la première. La principale différence est que cette séquence ne commence pas à \(n = 1\).
\
Notez que les termes de cette séquence alternent en signes. Les séquences de ce type sont parfois appelées séquences alternées.
c \(\left\{{{b_n}}\right\}_{n = 1}^\infty\), où \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{digit of}}\pi\)Afficher la solution
Cette séquence est différente des deux premières en ce sens qu’elle n’a pas de formule spécifique pour chaque terme. Cependant, cela nous dit ce que chaque terme devrait être. Chaque terme doit être le nième chiffre de \(\pi\). Nous savons donc que \(\pi=3.14159265359\ldots\)
La séquence est alors,
\
Dans les deux premières parties de l’exemple précédent, notez que nous traitions vraiment les formules comme des fonctions qui ne peuvent avoir que des entiers branchés dessus. Ou,
\
C’est une idée importante dans l’étude des séquences (et des séries). Traiter les termes de séquence comme des évaluations de fonction nous permettra de faire beaucoup de choses avec des séquences que nous ne pourrions pas faire autrement. Avant d’approfondir cette idée, nous devons cependant en tirer quelques idées supplémentaires.
Tout d’abord, nous voulons penser à « représenter graphiquement” une séquence. Pour représenter graphiquement la séquence \(\left\{{{a_n}}\right\}\), nous tracons les points \(\left({n, {a_n}}\right)\) sous la forme de \(n\) plages sur toutes les valeurs possibles sur un graphique. Par exemple, représentons graphiquement la séquence \(\left\{{\frac{{n+1}}{{{n^2}}}}\right\}_{n=1}^\infty\). Les premiers points du graphique sont,
\
Le graphique, pour les 30 premiers termes de la séquence, est alors,
Ce graphique nous amène à une idée importante des séquences. Notez que comme \(n\) augmente les termes de la séquence dans notre séquence, dans ce cas, rapprochez-vous de plus en plus de zéro. Nous disons alors que zéro est la limite (ou parfois la valeur limite) de la séquence et écrivons,
\
Cette notation devrait vous sembler familière. C’est la même notation que nous avons utilisée lorsque nous avons parlé de la limite d’une fonction. En fait, si vous vous en souvenez, nous avons dit plus tôt que nous pourrions considérer les séquences comme des fonctions d’une certaine manière et cette notation ne devrait donc pas être trop surprenante.
En utilisant les idées que nous avons développées pour les limites des fonctions, nous pouvons écrire la définition de travail suivante pour les limites des séquences.
Définition de travail de la limite
- Nous disons que \
si nous pouvons faire un aussi proche de \(L\) que nous le voulons pour tout \(n\) suffisamment grand. En d’autres termes, la valeur de l’approche de \({a_n}\) \(L\) comme \(n\) approche l’infini.
- Nous disons que \
si nous pouvons faire un aussi grand que nous le voulons pour tout \(n\) suffisamment grand. Encore une fois, en d’autres termes, la valeur des \({a_n}\) devient de plus en plus grande sans limite à mesure que \(n\) approche de l’infini.
- Nous disons que \
si nous pouvons faire un aussi grand et négatif que nous le voulons pour tout \(n\) suffisamment grand. Encore une fois, en d’autres termes, la valeur des \({a_n}\) est négative et devient de plus en plus grande sans limite à mesure que \(n\) s’approche de l’infini.
Les définitions de travail des différentes limites de séquence sont intéressantes en ce sens qu’elles nous aident à visualiser ce qu’est réellement la limite. Tout comme pour les limites de fonctions cependant, il existe également une définition précise pour chacune de ces limites. Donnons-les avant de continuer
Définition précise de la limite
- Nous disons que \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{a_n} = L\) si pour chaque nombre \(\varepsilon > 0\) il existe un entier \(N\) tel que \
- Nous disons que \(\mathop {\lim}\limits_{n\à\infty}{a_n}= \infty\) si pour chaque nombre \(M > 0\) il existe un entier \(N\) tel que \
- Nous disons que \(\mathop{\lim}\limits_{n\à\infty}{a_n}=-\infty\) si pour chaque nombre \(\mathop {\lim}\limits_{n\à\infty}{a_n} =-\infty\) si pour chaque number \(M < 0\) il y a un entier \(N\) tel que \
Nous n’utiliserons pas souvent la définition précise, mais elle apparaîtra occasionnellement.
Notez que les deux définitions nous disent que pour qu’une limite existe et ait une valeur finie, tous les termes de séquence doivent se rapprocher de plus en plus de cette valeur finie à mesure que \(n\) augmente.
Maintenant que nous avons les définitions de la limite des séquences, nous avons un peu de terminologie que nous devons examiner. Si \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{a_n}\) existe et est fini, nous disons que la séquence est convergente. Si \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{a_n}\) n’existe pas ou est infini, nous disons que la séquence diverge. Notez que parfois nous dirons que la séquence diverge en \(\infty\) if\(\mathop {\lim}\limits_{n\to\infty}{a_n} = \infty\) et if \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{a_n}=-\infty\) nous dirons parfois que la séquence diverge en \(-\infty\).
Habituez-vous aux termes « convergent” et « divergent” tels que nous les verrons un peu tout au long de ce chapitre.
Alors, comment trouver les limites des séquences ? La plupart des limites de la plupart des séquences peuvent être trouvées en utilisant l’un des théorèmes suivants.
Théorème 1
Étant donné la séquence \(\left\{{{a_n}}\right\}\) si nous avons une fonction \(f\left(x\right)\) telle que \(f\left(n\right) ={a_n}\) et \(\mathop{\lim}\limits_{x\to\infty} f\left(x\right) = L\) alors \(\mathop{\lim }\limits_ {n\to\infty} {a_n} =L\)
Ce théorème nous dit fondamentalement que nous prenons les limites des séquences un peu comme nous prenons la limite des fonctions. En fait, dans la plupart des cas, nous n’utiliserons même pas vraiment ce théorème en écrivant explicitement une fonction. Nous allons plus souvent simplement traiter la limite comme si c’était une limite d’une fonction et prendre la limite comme nous l’avons toujours fait en Calcul I lorsque nous prenions les limites des fonctions.
Donc, maintenant que nous savons que prendre la limite d’une séquence est presque identique à prendre la limite d’une fonction, nous savons également que toutes les propriétés des limites des fonctions tiendront également.
Propriétés
Si \(\left\{{{a_n}}\right\}\) et \(\left\{{{b_n}}\right\}\) sont toutes deux des séquences convergentes alors,
- \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\left({{a_n}\pm{b_n}}\right) = \mathop{\ lim}\limits_{n\à\infty}{a_n}\pm\mathop{\lim}\limits_{n\à\infty}{b_n}\)
- \(\mathop{\lim}\limits_{n\à\infty}c {a_n} = c\mathop{\lim}\limits_{n\à\infty}{a_n}\)
- \(\mathop{\lim}\limits_{n\à\infty}\left({{a_n}\, {b_n}}\right) = \left({\mathop{\lim}\limits_{n\à\infty}{a_n}}\right)\left({\mathop{\lim
- \(\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}=\frac{{\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{a_n}}}{{{b_n}}}{{\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{a_n}}} {{\mathop{\lim}\ limites_ {n\à\infty} {b_n}}},\,\,\,\,\,{\ mbox{provided}}\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{b_n}\ne 0\)
- \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}a_n^p ={\left^p}\)provided\({a_n}\ge 0\)
Ces propriétés peuvent être prouvées en utilisant le théorème 1 ci-dessus et les propriétés de limite de fonction que nous vu dans le calcul I ou nous pouvons les prouver directement en utilisant le précis définition d’une limite en utilisant des preuves presque identiques des propriétés de limite de fonction.
Ensuite, tout comme nous avions un théorème de compression pour les limites de fonction, nous en avons également un pour les séquences et il est à peu près identique à la version limite de fonction.
Théorème de compression pour les séquences
Si \({a_n}\le{c_n}\le{b_n}\) pour tous \(n > N\) pour certains \(N\) et \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{a_n} = \mathop{\lim}\ limites_{n\à\infty}{b_n} = L\) puis \(\mathop{\lim}\limites_{n\à\infty}{c_n} = L\).
Notez que dans ce théorème, le « pour tous \(n N\) pour certains \(N\) » nous dit simplement que nous devons avoir \({a_n}\le{c_n}\le{b_n}\) pour tous suffisamment grands \(n\), mais si ce n’est pas vrai pour les premiers \(n\) cela n’invalidera pas le théorème.
Comme nous le verrons, toutes les séquences ne peuvent pas être écrites comme des fonctions dont nous pouvons réellement prendre la limite. Cela sera particulièrement vrai pour les séquences qui alternent dans les signes. Bien que nous puissions toujours écrire ces termes de séquence en tant que fonction, nous ne savons tout simplement pas comment prendre la limite d’une fonction comme celle-là. Le théorème suivant aidera avec certaines de ces séquences.
Théorème 2
Si \(\mathop {\lim}\limits_{n\to\infty}\left/{{a_n}}\right /= 0\) alors \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{a_n} = 0\).
Notez que pour que ce théorème tienne la limite DOIT être nulle et cela ne fonctionnera pas pour une séquence dont la limite n’est pas nulle. Ce théorème est assez facile à prouver alors faisons-le.
Preuve du théorème 2
L’essentiel de cette preuve est de noter que,
\
Puis notez que,
\
Nous avons alors \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\left({-\left|{{a_n}}\right|}\right) =\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\left| {{a_n}}\right |= 0\) et donc par le Théorème de compression, nous devons également avoir,
\
Le théorème suivant est un théorème utile donnant la convergence / divergence et la valeur (pour quand elle est convergente) d’une séquence qui apparaît à l’occasion.
Théorème 3
La séquence \(\left\{{{r^n}}\right\}_{n=0}^\infty\) converge si \(-1 <r\le 1\) et diverge pour toutes les autres valeurs de \(r\). De plus,
\
Voici une preuve partielle rapide (enfin pas si rapide, mais certainement simple) de ce théorème.
Preuve partielle du théorème 3
Nous le ferons par une série de cas bien que le dernier cas ne soit pas complètement prouvé.
Cas 1 : \(r > 1\)
Nous savons du Calcul I que \(\mathop {\lim}\limits_{x\to\infty}{r^x}= \infty\) si \(r >1 \) et donc par le théorème 1 ci-dessus, nous savons aussi que \(\mathop {\lim}\limits_ {n\ à \infty} {r ^n} = \infty\) et donc la séquence diverge si \(r > 1\).
Cas 2: \(r = 1\)
Dans ce cas, nous avons,
\
Donc, la séquence converge pour \(r = 1\) et dans ce cas sa limite est 1.
Cas 3 : \(0 <r < 1\)
Nous savons d’après le calcul I que \(\mathop {\lim}\limits_{x\to\infty}{r^x} = 0\) si \(0 <r < r < 1\) et donc par le théorème 1 ci-dessus, nous savons également que \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{r^n} = 0\) et donc la séquence converge si \(0 < r < 1\) et dans ce cas au cas où sa limite est nulle.
Cas 4: \(r = 0\)
Dans ce cas, nous avons,
\
Donc, la séquence converge pour \(r = 0\) et dans ce cas sa limite est nulle.
Cas 5: \(-1 <r < 0\)
Notons d’abord que si \(-1 < r < r < 0\ ) alors \(0 <\left|r\right/< 1\) alors par le cas 3 ci-dessus, nous avons,
\
Le théorème 2 ci-dessus nous dit maintenant que nous devons aussi avoir, \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{r^n}= 0\) et donc si \(- 1 < r < 0\) la séquence converge et a une limite de 0.
Cas 6 : \(r=-1\)
Dans ce cas, la séquence est,
\
et j’espère qu’il est clair que \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{\left({-1}\right)^n}\) n’existe pas. Rappelons que pour que cette limite existe, les termes doivent se rapprocher d’une seule valeur lorsque \(n\) augmente. Dans ce cas, cependant, les termes alternent simplement entre 1 et -1 et la limite n’existe donc pas.
Ainsi, la séquence diverge pour \(r=-1\).
Cas 7: \(r <-1\)
Dans ce cas, nous n’allons pas passer par une preuve complète. Voyons juste ce qui se passe si nous laissons \(r =-2\) par exemple. Si nous faisons cela, la séquence devient,
\
Donc, si \(r=-2\) nous obtenons une séquence de termes dont les valeurs alternent en signe et deviennent de plus en plus grandes et donc \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{\left({-2}\right)^n}\) n’existe pas. Il ne se stabilise pas à une seule valeur lorsque \(n\) augmente et les termes ne s’approchent pas TOUS de l’infini. Ainsi, la séquence diverge pour \(r =-2\).
Nous pourrions faire quelque chose de similaire pour n’importe quelle valeur de \(r\) telle que \(r <-1\) et donc la séquence diverge pour \(r <-1\).
Jetons un coup d’œil à quelques exemples de limites de séquences.
- \(\left\{{\displaystyle\frac{{3{n^2}- 1}}{{10n +5{n^2}}}}\right\}_{n=2}^\infty\)
- \(\left\{{\displaystyle\frac {{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}}\right\}_{n=1}^\infty\)
- \(\left\{{\displaystyle\frac{{{{\left({-1}\right)}^n}}}{n}}\right\}_{n=1}^\infty\)
- \(\left\{{{{{\left({-1}\right)}^n}}\right\}_{n=0}^\infty\)
Afficher toutes les Solutions Masquer toutes les Solutions
Dans ce cas, il suffit de rappeler la méthode qui a été utilisée développé en calcul I pour traiter les limites des fonctions rationnelles. Voir les Limites à l’infini, section de la partie I des notes de calcul I pour un examen de cela si vous en avez besoin.
Pour faire une limite sous cette forme, il suffit de factoriser à partir du numérateur et du dénominateur la plus grande puissance de \(n\), d’annuler puis de prendre la limite.
\
Ainsi, la séquence converge et sa limite est \(\frac{3}{5}\).
b\(\left\{{\displaystyle\frac {{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}}\right\}_{n = 1}^\infty\)Afficher la solution
Nous devrons faire attention à celle-ci. Nous devrons utiliser la règle de L’Hôpital sur cette séquence. Le problème est que la règle de L’Hospital ne fonctionne que sur des fonctions et non sur des séquences. Normalement, ce serait un problème, mais nous avons le théorème 1 d’en haut pour nous aider. Définissons
\
et notons que,
\
Le théorème 1 dit que tout ce que nous devons faire est de prendre la limite de la fonction.
\
Ainsi, la séquence dans cette partie diverge (en \(\infty\)).
Le plus souvent, nous faisons simplement la règle de L’Hôpital sur les termes de la séquence sans d’abord convertir en \(x\) car le travail sera identique, que nous utilisions \(x\) ou \(n\). Cependant, nous devons vraiment nous rappeler que techniquement, nous ne pouvons pas faire les dérivés tout en traitant des termes de séquence.
c\(\left\{{\displaystyle\frac{{{{\left({-1}\right)}^n}}}{n}}\right\}_{n = 1}^\infty\)Afficher la solution
Nous devrons également faire attention à cette séquence. Nous pourrions être tentés de dire simplement que la limite des termes de la séquence est nulle (et nous aurions raison). Cependant, techniquement, nous ne pouvons pas prendre la limite des séquences dont les termes alternent en signe, car nous ne savons pas comment faire des limites de fonctions qui présentent ce même comportement. Aussi, nous voulons faire très attention à ne pas trop compter sur l’intuition avec ces problèmes. Comme nous le verrons dans la section suivante, et dans les sections suivantes, notre intuition peut nous égarer dans ces problèmes si nous ne faisons pas attention.
Alors, travaillons celui-ci par le livre. Nous devrons utiliser le théorème 2 sur ce problème. Pour cela, nous devrons d’abord calculer,
\
Par conséquent, puisque la limite des termes de séquence avec des barres de valeur absolue sur eux va à zéro, nous savons par le théorème 2 que,
\
ce qui signifie également que la séquence converge vers une valeur de zéro.
d \(\left\{{{{\left({-1}\right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty\)Afficher la solution
Pour ce théorème notez que tout ce que nous devons faire est de réaliser qu’il s’agit de la séquence du théorème 3 ci-dessus en utilisant \(r =-1\). Ainsi, par le théorème 3, cette suite diverge.
Nous devons maintenant donner un avertissement sur l’utilisation abusive du théorème 2. Le théorème 2 ne fonctionne que si la limite est nulle. Si la limite de la valeur absolue des termes de la séquence n’est pas nulle, le théorème ne tiendra pas. La dernière partie de l’exemple précédent en est un bon exemple (et en fait cet avertissement est la raison pour laquelle cette partie est là). Notez que
\
et pourtant, \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{\left({-1}\right)^n}\) n’existe même pas et encore moins égal à 1. Donc, soyez prudent en utilisant ce théorème 2. Vous devez toujours vous rappeler que cela ne fonctionne que si la limite est nulle.
Avant de passer à la section suivante, nous devons donner un théorème de plus dont nous aurons besoin pour une preuve en cours de route.
Théorème 4
Pour la séquence \(\left\{{{a_n}}\right\}\) si les deux \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{a_{2n}} = L\) et \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{a_{2n +1}} = L\) alors \(\left\{{{{ a_n}}\right\}\) est convergent et \(\mathop{\lim}\limits_{n\à\infty}{a_n} = L\).
Preuve du théorème 4
Let\(\varepsilon >0\).
Alors puisque \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{a_{2n}}=L\) il existe un \({N_1} >0\) tel que si \(n >{N_1}\) nous savons que,
\
De même, parce que \(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{a_{2n + 1}} =L\) il existe un \({N_2} > 0\) tel que si \(n >{N_2}\) nous savons que,
\
Maintenant, soit \(N = \max\left\{{2{N_1}, 2{N_2} + 1} \right\}\) et soit \(n > N\). Alors soit \({a_n} = {a_{2k}}\) pour certains \(k > {N_1}\) ou \({a_n} = {a_{2k + 1}}\) pour certains \(k >{N_2}\) et donc dans les deux cas, nous avons cela,
\
Par conséquent, \(\mathop{\lim}\limits_{n\ à\infty}{a_n}= L\) et donc \(\left\{{{a_n}}\right\}\) est convergent.