Ellipse
Une ellipse ressemble généralement à un cercle écrasé:
« F » est un foyer, « G » est un foyer,
et ensemble, ils sont appelés foyers.
(prononcé « fo-soupir »)
La distance totale de F à P à G reste la même
En d’autres termes, nous parcourons toujours la même distance en allant de:
- point « F » à
- à n’importe quel point de l’ellipse
- puis au point « G »
Vous pouvez Le Dessiner Vous-même
Mettez deux broches dans une planche, puis…
placez une boucle de chaîne autour d’eux,
insérez un crayon dans la boucle,
étirez la chaîne pour qu’elle forme un triangle,
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et tracez une courbe.
C’est une ellipse !
Cela fonctionne parce que la chaîne force naturellement la même distance de la broche au crayon à l’autre broche.
Un Cercle est une Ellipse
En fait, un Cercle est une Ellipse, où les deux foyers sont au même point (le centre).
En d’autres termes, un cercle est un « cas particulier » d’une ellipse. La règle des ellipses !
Définition
Une ellipse est l’ensemble de tous les points d’un plan dont la distance de deux points fixes F et G s’additionne à une constante.
Axes Majeurs et Mineurs
L’Axe Majeur est le diamètre le plus long. Il va d’un côté de l’ellipse, en passant par le centre, de l’autre côté, à la partie la plus large de l’ellipse. Et le Petit Axe est le diamètre le plus court (à la partie la plus étroite de l’ellipse).
Le Demi-grand Axe est la moitié de l’Axe Majeur, et le Demi-petit Axe est la moitié de l’Axe Mineur.
L’axe principal est égal à f + g
Rappelez-vous du haut comment la distance « f + g » reste la même pour une ellipse?
Le puits f+g est égal à la longueur du grand axe.
Pouvez-vous penser pourquoi? (Essayez de déplacer le point P en haut.)
Calculs
La zone est facile, le périmètre ne l’est pas!
Aire
L’aire d’une ellipse est :
π × a × b
où a est la longueur du Demi-grand Axe et b est la longueur du Demi-petit Axe.
Attention: a et b sont du centre vers l’extérieur (pas tout le long).
(Remarque: pour un cercle, a et b sont égaux au rayon, et vous obtenez π × r × r = nr2, ce qui est vrai!)
Approximation du périmètre
Assez étrangement, le périmètre d’une ellipse est très difficile à calculer, j’ai donc créé une page spéciale pour le sujet: lisez Périmètre d’une Ellipse pour plus de détails.
Mais une approximation simple qui se situe à environ 5% de la valeur vraie (tant que a n’est pas plus de 3 fois plus long que b) est la suivante:
Rappelez-vous, ce n’est qu’une approximation approximative! (C’est pourquoi le « signe égal » est gribouilleux.)
Tangente
Une ligne tangente touche simplement une courbe en un point, sans la traverser.Voici une tangente à une ellipse:
Voici une chose cool: la ligne tangente a des angles égaux avec les deux lignes allant à chaque foyer!Essayez de rapprocher les deux points de focalisation (l’ellipse est donc un cercle)… que remarquez-vous?
Réflexion
La lumière ou le son commençant par un point de focalisation se réfléchit vers l’autre point de focalisation (car l’angle in correspond à l’angle out):
Jouez avec un modèle informatique simple de réflexion à l’intérieur d’une ellipse.
Excentricité
L’excentricité est une mesure de la « non-rondeur » de l’ellipse.
La formule (en utilisant les axes semi-majeur et semi-mineur) est la suivante:
√(a2−b2)a
Section d’un cône
Vous pouvez également obtenir une ellipse lorsque vous découpez un cône (mais pas une tranche trop raide, ou vous obtenez une parabole ou une hyperbole).
En fait, l’ellipse est une section conique (une section de cône) avec une excentricité comprise entre 0 et 1.
Équation
En plaçant une ellipse sur un graphe x-y (avec son grand axe sur l’axe x et son petit axe sur l’axe y), l’équation de la courbe est :
x2a2 + y2b2 =1
(similaire à l’équation de l’hyperbole: x2 /a2-y2 /b2 = 1, sauf pour un « + » au lieu d’un « -« )
Ou nous pouvons « équations paramétriques », où nous avons une autre variable « t » et nous calculons x et y à partir de celle−ci, comme ceci:
- x = a cos(t)
- y =b sin(t)
(Imaginez simplement « t » allant de 0° à 360 °, quelles valeurs x et y obtiendrions-nous?)