Le Théorème Binomial

Les Expansions Binomiales Utilisant le Triangle de Pascal

Considèrent les puissances élargies suivantes de (a + b)n, où a +b est un binôme quelconque et n est un nombre entier. Cherchez des motifs.

Chaque extension est un polynôme. Il y a quelques modèles à noter.

1. Il y a un terme de plus que la puissance de l’exposant, n. C’est-à-dire qu’il y a des termes dans l’expansion de (a + b) n.

2. Dans chaque terme, la somme des exposants est n, la puissance à laquelle le binôme est élevé.

3. Les exposants de a commencent par n, la puissance du binôme, et diminuent à 0. Le dernier terme n’a pas de facteur de a. Le premier terme n’a pas de facteur de b, donc les puissances de b commencent par 0 et augmentent jusqu’à n.

4. Les coefficients commencent à 1 et augmentent à travers certaines valeurs environ « à moitié », puis diminuent à travers ces mêmes valeurs jusqu’à 1.

Explorons les coefficients plus en détail. Supposons que nous voulions trouver une expansion de (a + b) 6. Les modèles que nous venons de noter indiquent qu’il y a 7 termes dans l’extension:
a6 + c1a5b + c2a4b2 + c3a3b3 + c4a2b4 + c5ab5 + b6.
Comment déterminer la valeur de chaque coefficient, ci? Nous pouvons le faire de deux manières. La première méthode consiste à écrire les coefficients dans un tableau triangulaire, comme suit. C’est ce qu’on appelle le triangle de Pascal :

Il y a beaucoup de motifs dans le triangle. Trouvez autant que vous le pouvez.
Peut-être avez-vous découvert un moyen d’écrire la ligne de nombres suivante, compte tenu des nombres de la ligne au-dessus. Il y en a toujours 1 à l’extérieur. Chaque nombre restant est la somme des deux nombres au-dessus. Essayons de trouver une extension pour (a + b)6 en ajoutant une autre ligne en utilisant les modèles que nous avons découverts:

Nous voyons que dans la dernière ligne

les 1er et dernier nombres sont 1;
le 2ème nombre est 1 + 5, ou 6;
le 3ème nombre est 5 + 10, ou 15;
le 4ème nombre est 10 +10, ou 20;
le 5ème nombre est 10 + 5, ou 15; et
le 6ème nombre est 5 + 1, ou 6.

Ainsi l’expansion pour (a+b)6 est
(a+b)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 +1b6.

Pour trouver une expansion pour (a+b)8, nous complétons deux autres lignes du triangle de Pascal :

Ainsi l’expansion de is
(a+b)8= a8 +8a7b +28a6b2 +56a5b3+70a4b4+56a3b5+28a2b6+8ab7+b8.

Nous pouvons généraliser nos résultats comme suit.

Le Théorème binomial Utilisant le Triangle de Pascal

Pour tout binôme a +b et tout nombre naturel n,
(a +b) n = c0anb0 + c1an-1b1 + c2an-2b2+…. + cn-1a1bn-1 + cna0bn,
où les nombres c0, c1, c2,…., cn-1, cn sont de la (n+1)-st rangée du triangle de Pascal.

Exemple 1 Développer: (u-v) 5.

Solution Nous avons (a +b) n, où a = u, b =-v et n = 5. Nous utilisons la 6ème rangée du triangle de Pascal:
1 5 10 10 5 1
Alors nous avons
(u-v) 5 = 5 = 1(u) 5 + 5(u) 4 (-v) 1 + 10(u)3 (-v) 2 + 10(u) 2 (-v) 3 + 5(u) (-v) 4 + 1(-v) 5 = u5-5u4v + 10u3v2 -10u2v3 +5uv4-v5 .
Notez que les signes des termes alternent entre + et -. Lorsque la puissance de -v est impaire, le signe est -.

Exemple 2 Développer : (2t + 3/t) 4.

Solution Nous avons (a +b) n, où a = 2t, b = 3/t et n = 4. Nous utilisons la 5ème rangée du triangle de Pascal:
1 4 6 4 1
Ensuite, nous avons

Expansion binomiale En Notation factorielle

Supposons que nous voulons trouver l’expansion de (a +b)11. L’inconvénient de l’utilisation du triangle de Pascal est qu’il faut calculer toutes les lignes précédentes du triangle pour obtenir la ligne nécessaire à l’expansion. La méthode suivante évite cela. Cela nous permet également de trouver un terme spécifique — disons le 8ème terme — sans calculer tous les autres termes de l’extension. Cette méthode est utile dans des cours tels que les mathématiques finies, le calcul et les statistiques, et elle utilise la notation des coefficients binomiaux .
On peut reformuler le théorème binomial comme suit.

Le Théorème binomial Utilisant la Notation factorielle

Pour tout binôme (a+b) et tout nombre naturel n,
.

Le théorème binomial peut être prouvé par induction mathématique. (Voir Exercice 63.) Ce formulaire montre pourquoi est appelé coefficient binomial.

Exemple 3 Développer : (x2-2y)5.

Solution Nous avons (a +b) n, où a = x2, b =-2y et n = 5. Ensuite, en utilisant le théorème binomial, nous avons

Enfin (x2-2y) 5 = x10-10x8y + 40x6y2-80x4y3 +80x2y4-32y5.

Exemple 4 Développez : (2/x + 3√x) 4.

Solution Nous avons (a +b) n, où a = 2/x, b = 3√x et n = 4. Ensuite, en utilisant le théorème binomial, nous avons

Enfin (2/x + 3√x) 4= 16/x4 + 96/x5/2 + 216/ x +216×1/2 +81×2.

Trouver un Terme spécifique

Supposons que nous voulons déterminer uniquement un terme particulier d’une expansion. La méthode que nous avons développée nous permettra de trouver un tel terme sans calculer toutes les lignes du triangle de Pascal ni tous les coefficients précédents.

Notez que dans le théorème binomial, nous donne le 1er terme, nous donne le 2ème terme, nous donne le 3ème terme, et ainsi de suite. Cela peut être généralisé comme suit.

Trouver le terme (k+1)-st

Le terme (k+1)-st de (a+b)n est .

Exemple 5 Trouvez le 5ème terme dans l’expansion de (2x-5y)6.

Solution Tout d’abord, nous notons que 5 = 4 + 1. Ainsi, k = 4, a = 2x, b =-5y et n = 6. Ensuite, le 5ème terme de l’expansion est

Exemple 6 Trouvez le 8ème terme dans l’expansion de (3x-2) 10.

Solution Tout d’abord, nous notons que 8 = 7 + 1. Ainsi, k = 7, a = 3x, b =-2 et n = 10. Ensuite, le 8ème terme de l’extension est

Nombre total de sous-ensembles

Supposons qu’un ensemble a n objets. Le nombre de sous-ensembles contenant k éléments . Le nombre total de sous-ensembles d’un ensemble est le nombre de sous-ensembles avec 0 élément, plus le nombre de sous-ensembles avec 1 élément, plus le nombre de sous-ensembles avec 2 éléments, et ainsi de suite. Le nombre total de sous-ensembles d’un ensemble avec n éléments est
.
Considérons maintenant l’expansion de (1 + 1)n:
.
Ainsi le nombre total de sous-ensembles est (1 + 1) n, ou 2n. Nous avons prouvé ce qui suit.

Nombre total de sous-ensembles

Le nombre total de sous-ensembles d’un ensemble avec n éléments est 2n.

Exemple 7 L’ensemble {A, B, C, D, E} a combien de sous-ensembles ?

Solution L’ensemble a 5 éléments, donc le nombre de sous-ensembles est de 25 ou 32.

Exemple 8 Wendy’s, une chaîne de restaurants nationale, propose les garnitures suivantes pour ses hamburgers:
{catsup, moutarde, mayonnaise, tomate, laitue, oignons, cornichons, relish, fromage}.
Combien de différents types de hamburgers Wendy’s peut-elle servir, à l’exclusion de la taille du hamburger ou du nombre de galettes?

Solution Les garnitures de chaque hamburger sont les éléments d’un sous-ensemble de l’ensemble de toutes les garnitures possibles, l’ensemble vide étant un hamburger ordinaire. Le nombre total de hamburgers possibles est

Ainsi Wendy’s sert des hamburgers de 512 manières différentes.