Odds

Calcul de la probabilité (risque) par rapport aux cotes

En statistiques, les cotes sont une expression des probabilités relatives, généralement citées comme les cotes en faveur. Les chances (en faveur) d’un événement ou d’une proposition sont le rapport entre la probabilité que l’événement se produise et la probabilité que l’événement ne se produise pas. Mathématiquement, il s’agit d’un essai de Bernoulli, car il a exactement deux résultats. Dans le cas d’un espace d’échantillon fini de résultats tout aussi probables, il s’agit du rapport entre le nombre de résultats où l’événement se produit et le nombre de résultats où l’événement ne se produit pas; ceux-ci peuvent être représentés par W et L (pour les victoires et les défaites) ou S et F (pour le succès et l’échec). Par exemple, les probabilités qu’un jour de la semaine choisi au hasard soit un week-end sont de deux à cinq (2:5), car les jours de la semaine forment un espace échantillon de sept résultats, et l’événement se produit pour deux des résultats (samedi et dimanche), et non pour les cinq autres. Inversement, étant donné les probabilités en tant que rapport d’entiers, cela peut être représenté par un espace de probabilité d’un nombre fini de résultats également probables. Ces définitions sont équivalentes, car en divisant les deux termes dans le rapport par le nombre de résultats, on obtient les probabilités: 2 : 5 = ( 2 / 7 ) : ( 5 / 7 ) . {\displaystyle 2:5=(2/7):(5/7).}

Inversement, la cote contre est le rapport inverse. Par exemple, les chances qu’un jour aléatoire de la semaine soit un week-end sont de 5:2.

Les probabilités et les probabilités peuvent être exprimées en prose via les prépositions à et dans: « chances de tant de chances pour autant de chances sur (ou contre) » se réfère aux probabilités – le rapport du nombre de résultats (également probables) en faveur et contre (ou vice versa); « chances de tant de chances, en tant de chances » se réfère à la probabilité – le nombre de résultats (également similaires) en faveur par rapport au nombre combiné pour et contre. Par exemple, « les chances d’un week-end sont de 2 à 5 », tandis que « les chances d’un week-end sont de 2 sur 7 ». Dans un usage occasionnel, les mots chances et chances (ou chance) sont souvent utilisés de manière interchangeable pour indiquer vaguement une certaine mesure de probabilité ou de probabilité, bien que le sens prévu puisse être déduit en notant si la préposition entre les deux nombres est to ou in.

Relations mathématiquesdit

Les cotes peuvent être exprimées comme un rapport de deux nombres, auquel cas elles ne sont pas uniques – la mise à l’échelle des deux termes par le même facteur ne change pas les proportions: les cotes 1:1 et 100:100 sont les mêmes (cotes paires). Les cotes peuvent également être exprimées en nombre, en divisant les termes dans le rapport – dans ce cas, il est unique (différentes fractions peuvent représenter le même nombre rationnel). Les cotes en tant que rapport, les cotes en tant que nombre et la probabilité (également un nombre) sont liées par des formules simples, et de même les cotes en faveur et les cotes contre, et la probabilité de succès et la probabilité d’échec ont des relations simples. Les cotes vont de 0 à l’infini, tandis que les probabilités vont de 0 à 1, et sont donc souvent représentées en pourcentage entre 0% et 100%: l’inversion du rapport change les cotes pour avec les cotes contre, et de même la probabilité de succès avec la probabilité d’échec.

Étant donné les cotes (en faveur) comme le rapport W:L (Victoires: Défaites), les cotes en faveur (en nombre) o f {\displaystyle o_{f}}

et les cotes contre (en nombre) o a {\displaystyle o_{a}}

peut être calculé en divisant simplement, et sont des inverses multiplicatives: o f = W/L = 1/o a o a = L/W = 1/o f o f ⋅ o a = 1 {\displaystyle {\begin{aligned} o_ {f}& =W/L =1/o_ {a}\\o_ {a} & =L/W=1/o_ {f}\\o_ {f}\cdot o_{a} &=1\end {aligné}}}

De manière analogue, étant donné les cotes en tant que rapport, la probabilité de succès ou d’échec peut être calculée en divisant, et la probabilité de succès et la probabilité d’échec se additionnent à l’unité (une), car ce sont les seuls résultats possibles. Dans le cas d’un nombre fini de résultats également probables, cela peut être interprété comme le nombre de résultats où l’événement se produit divisé par le nombre total d’événements :

p= W/(W + L) = 1−q q = L /(W + L) = 1−p p + q = 1 {\displaystyle {\begin{aligned} p & = W /(W +L) = 1-q\\ q & = L/(W +L) = 1-p\\ p + q &= 1\end {aligné}}}

Étant donné une probabilité p, la cote en tant que rapport est p: q {\displaystyle p:q}

(probabilité de succès à probabilité d’échec), et les cotes en tant que nombres peuvent être calculées en divisant: o f = p/q = p/(1−p) =(1−q) / q o a = q/p =(1−p) / p = q /(1−q) {\displaystyle {\begin{aligned} o_ {f} & =p/q = p/(1-p) =(1-q)/q\\o_ {a} &= q/p =(1-p) /p= q/(1-q) \end {aligné}}}

Inversement, étant donné la cote en tant que nombre o f, {\displaystyle o_{f},}

cela peut être représenté comme le rapport o f: 1, {\displaystyle o_{f}: 1, }

ou inversement 1:(1/o f) = 1: o a, {\displaystyle 1:(1/o_{f}) = 1: o_{a}, }

à partir duquel la probabilité de succès ou d’échec peut être calculée: p = o f /(o f +1) = 1 /(o a +1) q = o a /(o a+1) = 1 /(o f+1) {\displaystyle {\begin{aligned} p & = o_ {f}/(o_{f}+1) =1/(o_{a}+1) \\q & = o_{a} /(o_{a} +1) = 1/(o_{f} +1) \ end {aligné}}}

Ainsi, si elle est exprimée en fraction avec un numérateur de 1, la probabilité et la cote diffèrent exactement de 1 dans le dénominateur: une probabilité de 1 sur 100 (1/100 = 1%) est la même que les cotes de 1 à 99 (1/99 = 0,0101… = 0.01), alors que la cote de 1 à 100 (1/100 = 0,01) est la même qu’une probabilité de 1 sur 101 (1/101 = 0,00990099… = 0.0099). Il s’agit d’une différence mineure si la probabilité est faible (proche de zéro, ou « cote longue »), mais d’une différence majeure si la probabilité est grande (proche de un).

Ceux-ci sont élaborés pour des cotes simples:

odds (ratio)	o f {\displaystyle o_{f}}	o a {\displaystyle o_{a}}	p {\displaystyle p}	q {\displaystyle q}
1:1	1	1	50%	50%
0:1	0	∞	0%	100%
1:0	∞	0	100%	0%
2:1	2	0.5	67%	33%
1:2	0.5	2	33%	67%
4:1	4	0.25	80%	20%
1:4	0.25	4	20%	80%
9:1	9	0.1	90%	10%
10:1	10	0.1	90.90%	9.09%
99:1	99	0.01	99%	1%
100:1	100	0,01	99,0099%	0,9900%

Ces transformations ont certaines propriétés géométriques particulières : les conversions entre les cotes pour et les cotes contre (resp. probabilité de succès avec probabilité d’échec) et entre les probabilités et les probabilités sont toutes des transformations de Möbius (transformations linéaires fractionnaires). Ils sont ainsi spécifiés par trois points (fortement 3-transitifs). Échanger des cotes pour et des cotes contre des swaps 0 et l’infini, fixant 1, tout en échangeant la probabilité de succès avec la probabilité d’échec des swaps 0 et 1, fixant.5 ; ce sont tous deux d’ordre 2, donc des transformées circulaires. La conversion des cotes en probabilité fixe 0, envoie l’infini à 1 et envoie 1 à.5 (même les probabilités sont de 50%), et inversement; il s’agit d’une transformation parabolique.

ApplicationsEdit

En théorie des probabilités et en statistique, les cotes et les ratios similaires peuvent être plus naturels ou plus pratiques que les probabilités. Dans certains cas, les cotes log sont utilisées, qui est le logit de la probabilité. Plus simplement, les cotes sont fréquemment multipliées ou divisées, et log convertit la multiplication en addition et la division en soustractions. Ceci est particulièrement important dans le modèle logistique, dans lequel les logarithmes de la variable cible sont une combinaison linéaire des variables observées.

Des ratios similaires sont utilisés ailleurs dans les statistiques; d’une importance centrale est le rapport de vraisemblance dans les statistiques likelihoodistes, qui est utilisé dans les statistiques bayésiennes comme facteur de Bayes.

Les cotes sont particulièrement utiles dans les problèmes de prise de décision séquentielle, comme par exemple dans les problèmes d’arrêt (en ligne) sur un dernier événement spécifique qui est résolu par l’algorithme des cotes.

Les cotes sont un rapport de probabilités; un rapport de cotes est un rapport de cotes, c’est-à-dire un rapport de ratios de probabilités. Les rapports de cotes sont souvent utilisés dans l’analyse des essais cliniques. Bien qu’ils aient des propriétés mathématiques utiles, ils peuvent produire des résultats contre-intuitifs: un événement avec une probabilité de 80% de se produire est quatre fois plus susceptible de se produire qu’un événement avec une probabilité de 20%, mais les chances sont 16 fois plus élevées sur l’événement le moins probable (4-1 contre, ou 4) que sur le plus probable (1-4, ou 4-1 sur, ou 0,25).

Exemple #1 Il y a 5 billes roses, 2 billes bleues et 8 billes violettes. Quelles sont les chances en faveur de choisir un marbre bleu?

Réponse : Les chances en faveur d’un marbre bleu sont de 2:13. On peut dire de manière équivalente, que les chances sont de 13:2 contre. Il y a 2 chances sur 15 en faveur du bleu, 13 sur 15 contre le bleu.

En théorie des probabilités et en statistique, où la variable p est la probabilité en faveur d’un événement binaire, et la probabilité contre l’événement est donc de 1-p, « les chances » de l’événement sont le quotient des deux, ou p 1−p {\displaystyle {\frac{p}{1-p}}}

. Cette valeur peut être considérée comme la probabilité relative que l’événement se produise, exprimée comme une fraction (si elle est inférieure à 1), ou un multiple (si elle est égale ou supérieure à un) de la probabilité que l’événement ne se produise pas.

Dans le premier exemple en haut, dire que les chances d’un dimanche sont de « un à six » ou, plus rarement, « un sixième » signifie que la probabilité de choisir un dimanche au hasard est d’un sixième la probabilité de ne pas choisir un dimanche. Alors que la probabilité mathématique d’un événement a une valeur comprise entre zéro et un, les « chances » en faveur de ce même événement se situent entre zéro et l’infini. Les cotes contre l’événement dont la probabilité est donnée comme p sont 1-p p {\displaystyle {\frac{1-p}{p}}}

. Les chances contre dimanche sont de 6:1 ou 6/1 = 6. Il est 6 fois plus probable qu’un jour aléatoire ne soit pas un dimanche.