Physique

Nous passons maintenant de la considération des forces qui affectent le mouvement d’un objet (telles que la friction et la traînée) à celles qui affectent la forme d’un objet. Si un bulldozer pousse une voiture dans un mur, la voiture ne bougera pas mais elle changera sensiblement de forme. Un changement de forme dû à l’application d’une force est une déformation. Même de très petites forces sont connues pour provoquer une certaine déformation. Pour les petites déformations, deux caractéristiques importantes sont observées. Tout d’abord, l’objet reprend sa forme d’origine lorsque la force est supprimée, c’est—à-dire que la déformation est élastique pour les petites déformations. Deuxièmement, la taille de la déformation est proportionnelle à la force — c’est-à-dire que pour les petites déformations, la loi de Hooke est respectée. Sous forme d’équation, la loi de Hooke est donnée par

F =kΔL,

où ΔL est la quantité de déformation (le changement de longueur, par exemple) produite par la force F, et k est une constante de proportionnalité qui dépend de la forme et de la composition de l’objet et de la direction de la force. Notez que cette force est fonction de la déformation ΔL — elle n’est pas constante comme l’est une force de frottement cinétique. Réorganiser ceci en

\displaystyle\Delta{L}= \frac{F}{k}

indique clairement que la déformation est proportionnelle à la force appliquée. La figure 1 montre la relation de loi de Hooke entre l’extension ΔL d’un ressort ou d’un os humain. Pour les métaux ou les ressorts, la région de la ligne droite dans laquelle se rapporte la loi de Hooke est beaucoup plus grande. Les os sont fragiles et la région élastique est petite et la fracture abrupte. Finalement, une contrainte suffisamment importante sur le matériau le fera se casser ou se fracturer.

Figure 1. Un graphe de déformation ΔL par rapport à la force appliquée F. Le segment droit est la région linéaire où la loi de Hooke est respectée. La pente de la région droite est \frac{1}{k}. Pour des forces plus importantes, le graphe est incurvé mais la déformation est toujours élastique – ΔL reviendra à zéro si la force est supprimée. Des forces encore plus importantes déforment en permanence l’objet jusqu’à ce qu’il se fracture enfin. La forme de la courbe près de la fracture dépend de plusieurs facteurs, y compris la façon dont la force F est appliquée. Notez que dans ce graphique, la pente augmente juste avant la fracture, ce qui indique qu’une faible augmentation de F produit une forte augmentation de L près de la fracture.

La constante de proportionnalité k dépend d’un certain nombre de facteurs pour le matériau. Par exemple, une corde de guitare en nylon s’étire lorsqu’elle est serrée, et l’allongement ΔL est proportionnel à la force appliquée (au moins pour les petites déformations). Les cordes en nylon plus épaisses et celles en acier s’étirent moins pour la même force appliquée, ce qui implique qu’elles ont un k plus grand (voir Figure 2). Enfin, les trois cordes reviennent à leur longueur normale lorsque la force est supprimée, à condition que la déformation soit faible. La plupart des matériaux se comporteront de cette manière si la déformation est inférieure à environ 0,1% ou environ 1 partie sur 103.

Figure 2. La même force, en l’occurrence un poids (w), appliquée à trois cordes de guitare différentes de longueur identique produit les trois déformations différentes représentées sous forme de segments ombrés. La ficelle de gauche est en nylon fin, celle du milieu est en nylon plus épais et celle de droite en acier.

Nous considérons maintenant trois types de déformations spécifiques: les changements de longueur (tension et compression), le cisaillement latéral (contrainte) et les changements de volume. Toutes les déformations sont supposées être faibles, sauf indication contraire.

Changements de Longueur – Tension et Compression: Module élastique

Un changement de longueur ΔL se produit lorsqu’une force est appliquée sur un fil ou une tige parallèlement à sa longueur L0, soit en l’étirant (une tension), soit en le comprimant. (Voir Figure 3.)

Figure 3. (tension. La tige est étirée d’une longueur ΔL lorsqu’une force est appliquée parallèlement à sa longueur. b) Compression. La même tige est comprimée par des forces de même amplitude dans la direction opposée. Pour de très petites déformations et des matériaux uniformes, ΔL est approximativement le même pour la même amplitude de tension ou de compression. Pour les déformations plus importantes, la section transversale change à mesure que la tige est comprimée ou étirée.

Des expériences ont montré que le changement de longueur (ΔL) ne dépend que de quelques variables. Comme déjà noté, ΔL est proportionnel à la force F et dépend de la substance à partir de laquelle l’objet est fabriqué. De plus, le changement de longueur est proportionnel à la longueur d’origine L0 et inversement proportionnel à la section transversale du fil ou de la tige. Par exemple, une longue corde de guitare s’étirera plus qu’une courte et une corde épaisse s’étirera moins qu’une corde fine. Nous pouvons combiner tous ces facteurs en une équation pour ΔL:

\displaystyle\Delta{L} = \frac{1}{Y}\text{}\frac{F}{A}L_0,

où ΔL est le changement de longueur, F la force appliquée, Y est un facteur, appelé module d’élasticité ou module de Young, qui dépend de la substance, A est la section transversale et L0 est la longueur d’origine. Le tableau 1 répertorie les valeurs de Y pour plusieurs matériaux — ceux avec un grand Y ont une grande résistance à la traction car ils se déforment moins pour une tension ou une compression donnée.

Les modules de Young ne sont pas répertoriés pour les liquides et les gaz dans le tableau 1 car ils ne peuvent pas être étirés ou comprimés dans une seule direction. Notez qu’il existe une hypothèse selon laquelle l’objet n’accélère pas, de sorte qu’il existe en fait deux forces appliquées de magnitude F agissant dans des directions opposées. Par exemple, les cordes de la figure 3 sont tirées vers le bas par une force de magnitude w et maintenues par le plafond, qui exerce également une force de magnitude w.

Exemple 1. L’étirement d’un Long câble

Les câbles de suspension sont utilisés pour transporter les télécabines dans les stations de ski. (Voir la figure 4) Considérons un câble de suspension qui comprend une portée non supportée de 3 km. Calculez la quantité d’étirement dans le câble en acier. Supposons que le câble ait un diamètre de 5,6 cm et que la tension maximale qu’il peut supporter soit de 3,0 × 106N.

Figure 4. Les gondoles voyagent le long de câbles de suspension dans la station de ski Gala Yuzawa au Japon. (crédit: Rudy Herman, Flickr)

Stratégie

La force est égale à la tension maximale, soit F = 3,0 × 106N. La section transversale est nr2 = 2,46 × 10-3 m2. L’équation \displaystyle\Delta{L} = \frac{1}{Y}\text{}\frac{F}{A}L_0 peut être utilisée pour trouver le changement de longueur.

Solution

Toutes les quantités sont connues. Ainsi,

\begin{array}{lll}\Delta L &&\left(\frac{1}{\text{210}\times{\text{10}}^{9}{\ texte {N /m}} ^{2}} \ droite) \ gauche (\frac{3\texte {.}0\times {\text{10}}^{6}\text{N}}{2.46\times{10}^{-3} {\text{m}}^{2}}\right)\left(\text{3020 m}\right) \\&&\text{18 m}.\end{array}

Discussion

C’est tout à fait un étirement, mais seulement environ 0,6% de la longueur non prise en charge. Les effets de la température sur la longueur peuvent être importants dans ces environnements.

Les os, dans l’ensemble, ne se fracturent pas en raison de la tension ou de la compression. Au contraire, ils se fracturent généralement en raison d’un impact latéral ou d’une flexion, entraînant un cisaillement ou un claquement de l’os. Le comportement des os sous tension et compression est important car il détermine la charge que les os peuvent supporter. Les os sont classés comme des structures porteuses telles que des colonnes dans les bâtiments et les arbres. Les structures portantes ont des caractéristiques spéciales; les colonnes du bâtiment ont des tiges de renforcement en acier tandis que les arbres et les os sont fibreux. Les os dans différentes parties du corps remplissent différentes fonctions structurelles et sont sujets à différentes contraintes. Ainsi, l’os au sommet du fémur est disposé en fines feuilles séparées par la moelle tandis qu’à d’autres endroits, les os peuvent être cylindriques et remplis de moelle ou simplement solides. Les personnes en surpoids ont tendance à subir des lésions osseuses dues à des compressions soutenues dans les articulations et les tendons osseux.

Un autre exemple biologique de la loi de Hooke se produit dans les tendons. Fonctionnellement, le tendon (le tissu reliant le muscle à l’os) doit s’étirer facilement au début lorsqu’une force est appliquée, mais offrir une force de restauration beaucoup plus grande pour une plus grande tension. La figure 5 montre une relation stress-tension pour un tendon humain. Certains tendons ont une teneur élevée en collagène, il y a donc relativement peu de tension ou de changement de longueur; d’autres, comme les tendons de soutien (comme dans la jambe) peuvent changer de longueur jusqu’à 10%. Notez que cette courbe contrainte-déformation est non linéaire, car la pente de la ligne change dans différentes régions. Dans la première partie de l’étirement appelée région des orteils, les fibres du tendon commencent à s’aligner dans la direction du stress — c’est ce qu’on appelle le désincrustation. Dans la région linéaire, les fibrilles seront étirées et, dans la région de défaillance, des fibres individuelles commenceront à se casser. Un modèle simple de cette relation peut être illustré par des ressorts en parallèle: différents ressorts sont activés à différentes longueurs d’étirement. Des exemples en sont donnés dans les problèmes à la fin de ce chapitre. Les ligaments (tissu reliant l’os à l’os) se comportent de la même manière.

Figure 5. Courbe de contrainte-déformation typique pour le tendon de mammifère. Trois régions sont affichées: (1) région de toe (2) région linéaire et (3) région de défaillance.

Contrairement aux os et aux tendons, qui doivent être solides et élastiques, les artères et les poumons doivent être très extensibles. Les propriétés élastiques des artères sont essentielles à la circulation sanguine. La pression dans les artères augmente et les parois artérielles s’étirent lorsque le sang est pompé hors du cœur. Lorsque la valve aortique se ferme, la pression dans les artères diminue et les parois artérielles se détendent pour maintenir le flux sanguin. Lorsque vous ressentez votre pouls, vous ressentez exactement cela — le comportement élastique des artères lorsque le sang jaillit à chaque pompe du cœur. Si les artères étaient rigides, vous ne sentiriez pas de pouls. Le cœur est également un organe aux propriétés élastiques spéciales. Les poumons se dilatent avec un effort musculaire lorsque nous inspirons, mais se détendent librement et élastiquement lorsque nous expirons. Nos peaux sont particulièrement élastiques, surtout pour les jeunes. Un jeune peut aller de 100 kg à 60 kg sans affaissement visible de sa peau. L’élasticité de tous les organes diminue avec l’âge. Le vieillissement physiologique progressif par réduction de l’élasticité commence au début des années 20.

L’équation pour le changement de longueur est traditionnellement réarrangée et écrite sous la forme suivante:

\displaystyle\frac{F}{A}=Y\frac{\Delta{L}}{L_0}.

Le rapport de la force à la surface, \frac{F}{A}, est défini comme une contrainte (mesurée en N / m2), et le rapport du changement de longueur à la longueur, \frac{\Delta{L}}{L_0}, est défini comme une contrainte (une quantité sans unité). En d’autres termes, contrainte = Y × contrainte.

Sous cette forme, l’équation est analogue à la loi de Hooke, avec une contrainte analogue à la force et une contrainte analogue à la déformation. Si nous réorganisons à nouveau cette équation sous la forme

\displaystyle{F} = YA\frac{\Delta{L}}{L_0},

nous voyons qu’elle est la même que la loi de Hooke avec une constante de proportionnalité

\displaystyle {k} = \frac{YA}{ L_0}.

Cette idée générale — que la force et la déformation qu’elle provoque sont proportionnelles aux petites déformations – s’applique aux changements de longueur, de flexion latérale et de volume.

Contrainte latérale : Module de cisaillement

La figure 6 illustre ce qu’on entend par contrainte latérale ou force de cisaillement. Ici, la déformation est appelée Δx et elle est perpendiculaire à L0, plutôt que parallèle comme pour la tension et la compression. La déformation par cisaillement se comporte de manière similaire à la tension et à la compression et peut être décrite avec des équations similaires. L’expression de déformation par cisaillement est \displaystyle\Delta{x} = \frac{1}{S}\frac{F}{A}L_0, où S est le module de cisaillement (voir Tableau 1) et F est la force appliquée perpendiculairement à L0 et parallèlement à la section transversale A. Encore une fois, pour empêcher l’objet d’accélérer, il y a en fait deux forces égales et opposées F appliquées sur des faces opposées, comme illustré à la figure 6. L’équation est logique — par exemple, il est plus facile de plier un crayon long et fin (petit A) qu’un crayon court et épais, et les deux sont plus facilement pliés que des tiges d’acier similaires (grands S).

Figure 6. Des efforts de cisaillement sont appliqués perpendiculairement à la longueur L0 et parallèlement à la zone A, produisant une déformation Δx. Les forces verticales ne sont pas représentées, mais il faut garder à l’esprit qu’en plus des deux forces de cisaillement, F, il doit y avoir des forces d’appui pour empêcher l’objet de tourner. Les effets de distorsion de ces forces d’appui sont ignorés dans ce traitement. Le poids de l’objet n’est pas non plus représenté, car il est généralement négligeable par rapport à des efforts suffisamment importants pour provoquer des déformations importantes.

Examen de la les modules de cisaillement du tableau 1 révèlent quelques motifs révélateurs. Par exemple, les modules de cisaillement sont inférieurs aux modules de Young pour la plupart des matériaux. L’os est une exception remarquable. Son module de cisaillement est non seulement supérieur à son module d’Young, mais il est aussi grand que celui de l’acier. C’est l’une des raisons pour lesquelles les os peuvent être longs et relativement minces. Les os peuvent supporter des charges comparables à celles du béton et de l’acier. La plupart des fractures osseuses ne sont pas causées par une compression mais par une torsion et une flexion excessives.

La colonne vertébrale (composée de 26 segments vertébraux séparés par des disques) constitue le support principal de la tête et de la partie supérieure du corps. La colonne vertébrale a une courbure normale pour la stabilité, mais cette courbure peut être augmentée, entraînant une augmentation des forces de cisaillement sur les vertèbres inférieures. Les disques résistent mieux aux forces de compression qu’aux forces de cisaillement. Parce que la colonne vertébrale n’est pas verticale, le poids du haut du corps exerce une partie des deux. Les femmes enceintes et les personnes en surpoids (avec un gros abdomen) doivent reculer leurs épaules pour maintenir l’équilibre, augmentant ainsi la courbure de leur colonne vertébrale et augmentant ainsi la composante de cisaillement du stress. Un angle accru dû à une courbure accrue augmente les forces de cisaillement le long du plan. Ces forces de cisaillement plus élevées augmentent le risque de blessure au dos par rupture des disques. Le disque lombo-sacré (le disque en forme de coin sous les dernières vertèbres) est particulièrement à risque en raison de son emplacement.

Les modules de cisaillement pour le béton et la brique sont très petits; ils sont trop variables pour être répertoriés. Le béton utilisé dans les bâtiments peut résister à la compression, comme dans les piliers et les arches, mais est très faible contre le cisaillement, comme cela peut être rencontré dans les sols fortement chargés ou lors de tremblements de terre. Les structures modernes ont été rendues possibles par l’utilisation d’acier et de béton armé. Presque par définition, les liquides et les gaz ont des modules de cisaillement proches de zéro, car ils s’écoulent en réponse aux forces de cisaillement.

Exemple 3. Calcul de la Force Nécessaire pour se déformer: Ce Clou Ne se plie Pas Beaucoup Sous une Charge

Trouvez la masse de l’image suspendue à un clou en acier comme le montre la Figure 7, étant donné que le clou ne plie que de 1,80 µm. (Supposons que le module de cisaillement soit connu de deux chiffres significatifs.)

Figure 7. Vue latérale d’un clou avec une image accrochée à celle-ci. L’ongle fléchit très légèrement (montré beaucoup plus grand que réel) en raison de l’effet de cisaillement du poids supporté. La force ascendante de la paroi sur l’ongle est également représentée, illustrant qu’il existe des forces égales et opposées appliquées sur des sections transversales opposées de l’ongle. Voir l’exemple 3 pour un calcul de la masse de l’image.

Stratégie

La force F sur l’ongle (en négligeant le propre poids de l’ongle) est le poids de l’image w. Si nous pouvons trouver w, alors la masse de l’image est juste \frac{w}{g}. L’équation \displaystyle\Delta{x} = \frac{1}{S}\frac{F}{A}L_0 peut être résolue pour F.

Solution

Résoudre l’équation \displaystyle\Delta{x} = \frac{1}{S}\frac{F}{A}L_0 pour F, nous voyons que toutes les autres quantités peuvent être trouvées:

div>\displaystyle{F}= \frac{SA}{L_0}\Delta{x}

S se trouve dans le tableau 1 et est S= 80 × 109 N/m2. Le rayon r est de 0,750 mm (comme on le voit sur la figure), donc la section transversale est A = nr2 = 1,77 × 10-6 m2.

La valeur de L0 est également indiquée sur la figure. Ainsi,

\displaystyle{F}=\frac{\left(80\times10^9\text{N/m}^2\right)\left(1,77\times10^{-6}\text{m}^2\right)}{\left(5,00\times10^{-3}\text{m}\right) } \left(1,80 \times10^{-6}\text{m}\right) = 51\text{N}

Cette force de 51 N est le poids w de l’image, donc la masse de l’image est m = \frac{w}{g} = \frac{F}{g} = 5.2\text{kg}.

Discussion

C’est une image assez massive, et il est impressionnant que l’ongle ne fléchisse que de 1,80 µm — une quantité indétectable à l’œil nu.

Changements de volume: Module de masse

Un objet sera comprimé dans toutes les directions si des forces vers l’intérieur sont appliquées uniformément sur toutes ses surfaces comme sur la figure 8. Il est relativement facile de comprimer les gaz et extrêmement difficile de comprimer les liquides et les solides. Par exemple, l’air dans une bouteille de vin est comprimé lorsqu’il est bouché. Mais si vous essayez de boucher une bouteille à bord plein, vous ne pouvez pas compresser le vin — certains doivent être retirés si le bouchon doit être inséré. La raison de ces différentes compressibilités est que les atomes et les molécules sont séparés par de grands espaces vides dans les gaz mais serrés les uns contre les autres dans les liquides et les solides. Pour comprimer un gaz, vous devez rapprocher ses atomes et ses molécules. Pour comprimer les liquides et les solides, vous devez en fait comprimer leurs atomes et leurs molécules, et de très fortes forces électromagnétiques s’y opposent.

Figure 8. Une force vers l’intérieur sur toutes les surfaces comprime ce cube. Son changement de volume est proportionnel à la force par unité de surface et à son volume d’origine, et est lié à la compressibilité de la substance.

Nous pouvons décrire la compression ou la déformation volumique d’un objet avec une équation. Tout d’abord, nous notons qu’une force « appliquée uniformément” est définie pour avoir la même contrainte, ou rapport de force à l’aire \frac{F}{A} sur toutes les surfaces. La déformation produite est un changement de volume ΔV, qui se comporte de manière très similaire au cisaillement, à la tension et à la compression précédemment discutés. (Ce n’est pas surprenant, car une compression de l’objet entier équivaut à comprimer chacune de ses trois dimensions.) La relation entre le changement de volume et d’autres grandeurs physiques est donnée par \displaystyle\Delta{V} = \frac{1}{B}\frac{F}{A}V_0, où B est le module de masse (voir tableau 1), V0 est le volume d’origine et \frac{F}{A} est la force par unité de surface appliquée uniformément vers l’intérieur sur toutes les surfaces. Notez qu’aucun module de masse n’est donné pour les gaz.

Quels sont quelques exemples de compression en vrac de solides et de liquides? Un exemple pratique est la fabrication de diamants de qualité industrielle en comprimant le carbone avec une force par unité de surface extrêmement importante. Les atomes de carbone réorganisent leur structure cristalline en un motif de diamants plus serré. Dans la nature, un processus similaire se produit profondément sous terre, où des forces extrêmement importantes résultent du poids du matériau sus-jacent. Une autre source naturelle de grandes forces de compression est la pression créée par le poids de l’eau, en particulier dans les parties profondes des océans. L’eau exerce une force vers l’intérieur sur toutes les surfaces d’un objet immergé, et même sur l’eau elle-même. À de grandes profondeurs, l’eau est comprimée de manière mesurable, comme l’illustre l’exemple suivant.

Inversement, des forces très importantes sont créées par les liquides et les solides lorsqu’ils essaient de se dilater mais sont contraints de le faire — ce qui équivaut à les comprimer à un volume inférieur à leur volume normal. Cela se produit souvent lorsqu’un matériau contenu se réchauffe, car la plupart des matériaux se dilatent lorsque leur température augmente. Si les matériaux sont étroitement contraints, ils déforment ou cassent leur récipient. Un autre exemple très courant se produit lorsque l’eau gèle. L’eau, contrairement à la plupart des matériaux, se dilate lorsqu’elle gèle et peut facilement fracturer un rocher, rompre une cellule biologique ou fissurer un bloc moteur qui se met en travers de son chemin.

D’autres types de déformations, telles que la torsion ou la torsion, se comportent de manière analogue aux déformations de tension, de cisaillement et d’encombrement considérées ici.

Résumé de la section

• La loi de Hooke est donnée par F = k \Delta{L}, où \Delta{L} est la quantité de déformation (le changement de longueur), F est la force appliquée et k est une constante de proportionnalité qui dépend de la forme et de la composition de l’objet et de la direction de la force. La relation entre la déformation et la force appliquée peut également être écrite comme \displaystyle\Delta L = \frac{1}{Y} \frac{F}{A}{L}_{0}, où Y est le module de Young, qui dépend de la substance, A est la section transversale et {L}_{0} est la longueur d’origine.
• Le rapport de la force à la surface, \frac{F}{A}, est défini comme une contrainte, mesurée en N/m2.
• Le rapport de la variation de longueur sur longueur, \frac{\Delta L}{{L}_{0}}, est défini comme une déformation (une quantité sans unité). En d’autres termes, \text{stress} = Y\times\text {strain}.
• L’expression de la déformation par cisaillement est \displaystyle\Delta x = \frac{1}{S}\frac{F}{A}{L}_{0}, où S est le module de cisaillement et F est la force appliquée perpendiculairement à {L}_{\text{0}} et parallèlement à la section transversale A.
• La relation entre le changement de volume et d’autres grandeurs physiques est donnée par \displaystyle\Delta V = \frac{1}{B}\frac{F}{A}{V}_{0}, où B est le module de masse, {V}_{\text{0}} est le volume d’origine, et \frac{F}{A} est la force par unité de surface appliquée uniformément vers l’intérieur sur toutes les surfaces.

Problèmes &Exercices

1. Pendant un numéro de cirque, un interprète se balance à l’envers suspendu à un trapèze en tenant un autre interprète, également à l’envers, par les jambes. Si la force ascendante sur l’interprète inférieur est trois fois son poids, combien les os (les fémurs) de la partie supérieure de ses jambes s’étirent-ils? Vous pouvez supposer que chacun équivaut à une tige uniforme de 35,0 cm de long et de 1,80 cm de rayon. Sa masse est de 60,0 kg.
2. Lors d’un match de lutte, un lutteur de 150 kg se tient brièvement d’une main lors d’une manœuvre destinée à laisser perplexe son adversaire déjà moribond. De combien l’os du bras raccourcit-il en longueur? L’os peut être représenté par une tige uniforme de 38,0 cm de longueur et de 2,10 cm de rayon.
3. (a) Le « plomb » dans les crayons est une composition de graphite avec un module d’Young d’environ 1 × 109 N/m2. Calculez le changement de longueur du plomb dans un crayon automatique si vous le tapotez directement dans le crayon avec une force de 4,0 N. Le plomb a un diamètre de 0,50 mm et une longueur de 60 mm. b) La réponse est-elle raisonnable? Autrement dit, cela semble-t-il cohérent avec ce que vous avez observé lors de l’utilisation de crayons?
4. Les antennes de diffusion TV sont les structures artificielles les plus hautes de la Terre. En 1987, un physicien de 72,0 kg s’est placé avec 400 kg d’équipement au sommet d’une antenne de 610 m de haut pour effectuer des expériences de gravité. De combien l’antenne a-t-elle été comprimée, si l’on considère qu’elle équivaut à un cylindre en acier de 0,150 m de rayon?
5. (a) De combien une alpiniste de 65,0 kg étire-t-elle sa corde en nylon de 0,800 cm de diamètre lorsqu’elle est suspendue à 35,0 m sous un affleurement rocheux? b) La réponse semble-t-elle être conforme à ce que vous avez observé pour les cordes en nylon? Serait-il logique que la corde soit en fait une corde élastique?
6. Un mât de drapeau creux en aluminium de 20,0 m de hauteur est équivalent en rigidité à un cylindre solide de 4,00 cm de diamètre. Un vent fort plie le pôle autant qu’une force horizontale de 900 N exercée au sommet le ferait. À quelle distance sur le côté le haut du poteau fléchit-il?
7. Au fur et à mesure qu’un puits de pétrole est foré, chaque nouvelle section de tige de forage supporte son propre poids et celui du tuyau et du foret en dessous. Calculez l’étirement dans un nouveau 6.00 m de longueur de tuyau en acier supportant 3,00 km de tuyau d’une masse de 20,0 kg / m et un foret de 100 kg. Le tuyau a une rigidité équivalente à un cylindre plein de 5,00 cm de diamètre.
8. Calculez la force qu’un accordeur de piano applique pour étirer un fil de piano en acier de 8,00 mm, si le fil a à l’origine un diamètre de 0,850 mm et une longueur de 1,35 m.
9. Une vertèbre est soumise à une force de cisaillement de 500 N. Trouvez la déformation de cisaillement, en prenant la vertèbre comme un cylindre de 3,00 cm de haut et de 4,00 cm de diamètre.
10. Un disque entre les vertèbres de la colonne vertébrale est soumis à une force de cisaillement de 600 N. Trouver sa déformation en cisaillement, en lui donnant le module de cisaillement de 1 × 109 N / m2. Le disque équivaut à un cylindre plein de 0,700 cm de haut et de 4,00 cm de diamètre.
11. Lorsque vous utilisez une gomme à effacer, vous exercez une force verticale de 6,00 N à une distance de 2,00 cm du joint gomme à effacer. Le crayon mesure 6,00 mm de diamètre et est maintenu à un angle de 20,0 º par rapport à l’horizontale. a) Dans quelle mesure le bois fléchit-il perpendiculairement à sa longueur? b) Dans quelle mesure est-il comprimé dans le sens de la longueur?
12. Pour considérer l’effet des fils accrochés aux poteaux, nous prenons des données de la figure 9, dans laquelle les tensions dans les fils supportant un feu de circulation ont été calculées. Le fil gauche faisait un angle de 30,0 º sous l’horizontale avec le sommet de son poteau et portait une tension de 108 N. Le poteau creux en aluminium de 12,0 m de hauteur est équivalent en rigidité à un cylindre plein de 4,50 cm de diamètre. a) Jusqu’où est-il plié sur le côté? b) Dans quelle mesure est-il comprimé?
    

    Figure 9. Un feu de circulation est suspendu à deux fils. b) Certaines des forces impliquées. (c) Seules les forces agissant sur le système sont indiquées ici. Le diagramme du corps libre pour le feu de circulation est également illustré. d) Les forces projetées sur les axes vertical (y) et horizontal (x). Les composantes horizontales des tensions doivent s’annuler et la somme des composantes verticales des tensions doit être égale au poids du feu de circulation. e) Le diagramme du corps libre montre les forces verticales et horizontales agissant sur le feu de signalisation.

13. Un agriculteur qui fabrique du jus de raisin remplit une bouteille en verre à ras bord et la couvre hermétiquement. Le jus se dilate plus que le verre lorsqu’il se réchauffe, de telle sorte que le volume augmente de 0,2% (c’est-à-dire, \frac{\Delta V}{V}_{0} = 2\times{\text{10}}^{-3}) par rapport à l’espace disponible. Calculer l’amplitude de la force normale exercée par le jus par centimètre carré si son module volumique est de 1,8 × 109 N / m2, en supposant que la bouteille ne se casse pas. Au vu de votre réponse, pensez-vous que la bouteille survivra?
14. (a) Lorsque l’eau gèle, son volume augmente de 9,05% (c’est-à-dire, \frac{\Delta V}{V}_{0} = 9\text{.}\text {05}\times {\text{10}}^{-2}). Quelle force par unité de surface l’eau est-elle capable d’exercer sur un récipient lorsqu’elle gèle? (Il est acceptable d’utiliser le module de masse de l’eau dans ce problème.) b) Est-il surprenant que de telles forces puissent fracturer des blocs moteurs, des rochers, etc.?
15. Ce problème revient au funambule étudié dans la figure 10, qui a créé une tension de 3,94 × 103 N dans un fil faisant un angle de 5,0 º sous l’horizontale avec chaque poteau de support. Calculez combien cette tension étire le fil d’acier s’il mesurait à l’origine 15 m de long et 0,50 cm de diamètre.
    

    Figure 10. le poids d’un funambule fait fléchir un fil de 5,0 degrés. Le système d’intérêt ici est le point du fil auquel se tient le funambule.

16. Le poteau de la figure 11 est à une courbure de 90,0 º dans une ligne électrique et est donc soumis à une force de cisaillement supérieure à celle des poteaux dans les parties droites de la ligne. La tension dans chaque ligne est de 4,00 × 104 N, aux angles indiqués. Le poteau mesure 15,0 m de haut, a un diamètre de 18,0 cm et peut être considéré comme ayant la moitié de la rigidité du bois dur. (a) Calculer la compression du pôle. (b) Trouvez dans quelle mesure il se plie et dans quelle direction. (c) Trouver la tension dans un hauban utilisé pour maintenir le poteau droit s’il est fixé au sommet du poteau à un angle de 30,0 º avec la verticale. (Il est clair que le hauban doit être dans la direction opposée du virage.)

Figure 11. Ce poteau téléphonique est à un virage de 90º dans une ligne électrique. Un hauban est fixé au sommet du poteau à un angle de 30º avec la verticale.

Glossaire

force de traînée: FD, jugée proportionnelle au carré de la vitesse de l’objet; mathématiquement

\begin{array}\\F_{\text{D}}\propto{v}^2\\F_{\text{D}}=\frac{1}{2}C\rho{Av}^2\end{array},

où C est le coefficient de traînée, A est la surface de l’objet faisant face au fluide et ρ est la densité du fluide.

Loi de Stokes: Fs = 6nrnv, où r est le rayon de l’objet, η est la viscosité du fluide et v est la vitesse de l’objet.