Système de coordonnées cartésiennes

Fig. 1 – Système de coordonnées cartésiennes. Quatre points sont marqués : (2,3) en vert, (-3,1) en rouge, (-1,5, -2,5) en bleu et (0,0), l’origine, en jaune.

En mathématiques, le système de coordonnées cartésiennes (ou système de coordonnées rectangulaires) est utilisé pour déterminer chaque point de manière unique dans un plan à l’aide de deux nombres, généralement appelés coordonnées x et coordonnées y du point. Pour définir les coordonnées, deux droites perpendiculaires (l’axe des abscisses ou des abscisses et l’axe des ordonnées ou des ordonnées) sont spécifiées, ainsi que l’unité de longueur, qui est marquée sur les deux axes (voir Figure 1). Les systèmes de coordonnées cartésiennes sont également utilisés dans l’espace (où trois coordonnées sont utilisées) et dans des dimensions supérieures.

Fig. 2 – Système de coordonnées cartésiennes avec le cercle de rayon 2 centré à l’origine marqué en rouge. L’équation du cercle est x2 + y2 = 4.

En utilisant le système de coordonnées cartésiennes, les formes géométriques (telles que les courbes) peuvent être décrites par des équations algébriques, à savoir des équations satisfaites par les coordonnées des points situés sur la forme. Par example, un cercle de rayon 2 peut être décrit par l’équation x2 + y2 = 4 (voir Figure 2).

Histoire

Moyens cartésiens relatifs au mathématicien et philosophe français René Descartes (latin: Cartesius), qui, entre autres, a travaillé à la fusion de l’algèbre et de la géométrie euclidienne. Ce travail a eu une influence sur le développement de la géométrie analytique, du calcul et de la cartographie.

L’idée de ce système a été développée en 1637 dans deux écrits de Descartes. Dans la deuxième partie de son Discours sur la méthode, Descartes introduit l’idée nouvelle de spécifier la position d’un point ou d’un objet sur une surface, en utilisant deux axes qui se croisent comme guides de mesure. Dans La Géométrie, il approfondit les concepts mentionnés ci-dessus.

Système de coordonnées bidimensionnel

Fig. 3 – Les quatre quadrants d’un système de coordonnées cartésiennes. Les flèches sur les axes indiquent qu’elles s’étendent éternellement dans leurs directions respectives (c’est-à-dire à l’infini).

Un système de coordonnées cartésiennes en deux dimensions est généralement défini par deux axes, perpendiculaires l’un à l’autre, formant un plan (un plan xy). L’axe horizontal est normalement étiqueté x et l’axe vertical est normalement étiqueté y. Dans un système de coordonnées tridimensionnelles, un autre axe, normalement étiqueté z, est ajouté, fournissant une troisième dimension de mesure de l’espace. Les axes sont généralement définis comme mutuellement orthogonaux les uns aux autres (chacun à angle droit l’un par rapport à l’autre). (Les premiers systèmes permettaient des axes « obliques », c’est-à-dire des axes qui ne se rencontraient pas à angle droit, et de tels systèmes sont parfois utilisés aujourd’hui, bien que principalement comme exercices théoriques.) Tous les points d’un système de coordonnées cartésiennes pris ensemble forment un plan dit cartésien. Les équations qui utilisent le système de coordonnées cartésiennes sont appelées équations cartésiennes.

Le point d’intersection, où les axes se rencontrent, est appelé l’origine normalement étiquetée O.Les axes x et y définissent un plan appelé plan xy.Étant donné chaque axe, choisissez une longueur unitaire et marquez chaque unité le long de l’axe, formant un grid.To spécifiez un point particulier sur un système de coordonnées à deux dimensions, indiquez d’abord l’unité x (abscisse), suivie de l’unité y (ordonnée) sous la forme (x, y), une paire ordonnée.

Le choix des lettres vient d’une convention, d’utiliser la dernière partie de l’alphabet pour indiquer des valeurs inconnues. En revanche, la première partie de l’alphabet a été utilisée pour désigner des valeurs connues.

Un exemple de point P sur le système est indiqué sur la figure 3, en utilisant la coordonnée (3,5).

L’intersection des deux axes crée quatre régions, appelées quadrants, indiquées par les chiffres romains I (+, +), II (−, +), III (−,−) et IV (+,−). Classiquement, les quadrants sont marqués dans le sens antihoraire en partant du quadrant supérieur droit (« nord-est »). Dans le premier quadrant, les deux coordonnées sont positives, dans le deuxième quadrant, les coordonnées x sont négatives et les coordonnées y positives, dans le troisième quadrant, les deux coordonnées sont négatives et dans le quatrième quadrant, les coordonnées x sont positives et les coordonnées y négatives (voir tableau ci-dessous.)

Système de coordonnées tridimensionnelles

Fig. 4 – Système de coordonnées cartésiennes tridimensionnelles avec l’axe des y pointant loin de l’observateur.

Fig. 5 – Système de coordonnées cartésiennes tridimensionnelles avec l’axe des abscisses pointant vers l’observateur.

Le système de coordonnées cartésiennes tridimensionnelles fournit les trois dimensions physiques de l’espace – longueur, largeur et hauteur. Les figures 4 et 5 montrent deux façons courantes de le représenter.

Les trois axes cartésiens définissant le système sont perpendiculaires l’un à l’autre. Les coordonnées pertinentes sont de la forme (x, y, z). A titre d’exemple, la figure 4 montre deux points tracés dans un système de coordonnées cartésiennes tridimensionnelles: P(3,0,5) et Q(-5, -5,7). Les axes sont représentés dans une orientation « coordonnées du monde » avec l’axe z pointé vers le haut.

Les coordonnées x, y et z d’un point peuvent également être prises comme les distances du plan yz, du plan xz et du plan xy respectivement. La figure 5 montre les distances du point P par rapport aux plans.

Les plans xy-, yz- et xz-divisent l’espace tridimensionnel en huit subdivisions appelées octants, similaires aux quadrants de l’espace 2D. Alors que des conventions ont été établies pour l’étiquetage des quatre quadrants du plan x-y, seul le premier octant de l’espace tridimensionnel est étiqueté. Il contient tous les points dont les coordonnées x, y et z sont positives.

La coordonnée z est également appelée applicate.

Orientation et maniabilité

voir aussi : règle de droite

En deux dimensions

La règle de droite.

La fixation ou le choix de l’axe des abscisses détermine l’axe des ordonnées jusqu’à la direction. A savoir, l’axe des ordonnées est nécessairement la perpendiculaire à l’axe des abscisses par le point marqué 0 sur l’axe des abscisses. Mais il y a un choix de laquelle des deux demi-lignes sur la perpendiculaire à désigner comme positive et laquelle comme négative. Chacun de ces deux choix détermine une orientation différente (également appelée handedness) du plan cartésien.

La manière habituelle d’orienter les axes, l’axe x positif pointant vers la droite et l’axe y positif pointant vers le haut (et l’axe x étant le « premier » et l’axe y le « deuxième » axe) est considérée comme l’orientation positive ou standard, également appelée orientation droitière.

Un mnémonique couramment utilisé pour définir l’orientation positive est la règle de la main droite. En plaçant une main droite quelque peu fermée sur le plan avec le pouce pointé vers le haut, les doigts pointent de l’axe des abscisses à l’axe des ordonnées, dans un système de coordonnées orienté positivement.

L’autre façon d’orienter les axes est de suivre la règle de la main gauche, en plaçant la main gauche sur le plan avec le pouce pointé vers le haut.

Quelle que soit la règle utilisée pour orienter les axes, la rotation du système de coordonnées préservera l’orientation. Changer le rôle de x et y inversera l’orientation.

En trois dimensions

Fig. 7 – L’orientation gaucher est indiquée à gauche et la droitière à droite.

Fig. 8 – Le système de coordonnées cartésiennes à droite indiquant les plans de coordonnées.

Une fois que les axes x et y sont spécifiés, ils déterminent la ligne le long de laquelle l’axe z doit se trouver, mais il y a deux directions possibles sur cette ligne. Les deux systèmes de coordonnées possibles qui en résultent sont appelés « droitiers » et « gauchers. »L’orientation standard, où le plan xy est horizontal et l’axe z pointe vers le haut (et les axes x et y forment un système de coordonnées bidimensionnelles orientées positivement dans le plan xy s’il est observé du dessus du plan xy) est appelée droitière ou positive.

Le nom dérive de la règle de droite. Si l’index de la main droite est pointé vers l’avant, le majeur plié vers l’intérieur à angle droit et le pouce placé à angle droit par rapport aux deux, les trois doigts indiquent les directions relatives des axes x, y et z dans un système droitier. Le pouce indique l’axe des abscisses, l’index l’axe des ordonnées et le majeur l’axe des z. Inversement, si la même chose est faite avec la main gauche, il en résulte un système gaucher.

Différentes disciplines utilisent différentes variations des systèmes de coordonnées. Par exemple, les mathématiciens utilisent généralement un système de coordonnées droitier avec l’axe y pointant vers le haut, tandis que les ingénieurs utilisent généralement un système de coordonnées gaucher avec l’axe z pointant vers le haut. Cela peut conduire à la confusion lorsque des ingénieurs et des mathématiciens travaillent sur le même projet.

La figure 7 est une tentative de représentation d’un système de coordonnées gaucher et droitier. Comme un objet tridimensionnel est représenté sur l’écran bidimensionnel, il en résulte une distorsion et une ambiguïté. L’axe pointant vers le bas (et vers la droite) est également destiné à pointer vers l’observateur, tandis que l’axe « moyen » est destiné à pointer loin de l’observateur. Le cercle rouge est parallèle au plan xy horizontal et indique la rotation de l’axe x à l’axe y (dans les deux cas). Par conséquent, la flèche rouge passe devant l’axe z.

La figure 8 est une autre tentative de représentation d’un système de coordonnées droitier. Encore une fois, il y a une ambiguïté causée par la projection du système de coordonnées tridimensionnelles dans le plan. De nombreux observateurs voient la figure 8 comme un « retournement » entre un cube convexe et un coin concave. »Cela correspond aux deux orientations possibles du système de coordonnées. Voir la figure comme convexe donne un système de coordonnées gaucher. Ainsi, la façon « correcte » de voir la figure 8 est d’imaginer l’axe des abscisses comme pointant vers l’observateur et voyant ainsi un coin concave.

En physique

La discussion ci-dessus s’applique aux systèmes de coordonnées cartésiennes en mathématiques, où il est courant de ne pas utiliser d’unités de mesure. En physique, il est important de noter qu’une dimension est simplement une mesure de quelque chose, et que, pour chaque classe de caractéristiques à mesurer, une autre dimension peut être ajoutée. L’attachement à la visualisation des dimensions empêche de comprendre les nombreuses dimensions différentes qui peuvent être mesurées (temps, masse, couleur, coût, etc.). Les objets multidimensionnels peuvent être calculés et manipulés algébriquement.

Représentant un vecteur avec notation cartésienne

Un point dans l’espace dans un système de coordonnées cartésiennes peut également être représenté par un vecteur, qui peut être considéré comme une flèche pointant de l’origine du système de coordonnées au point. Si les coordonnées représentent des positions spatiales (déplacements), il est courant de représenter le vecteur de l’origine au point d’intérêt sous la forme r {\displaystyle\mathbf{r}} . En utilisant des coordonnées cartésiennes, le vecteur de l’origine au point (x, y,z) {\displaystyle(x, y,z)} peut être écrit comme suit:

r = x i + y j + z k {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }

where i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } , and k {\displaystyle \mathbf {k} } are unit vectors that point the same direction as the x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y}, et z {\displaystyle z} axes, respectivement.

Cette notation est généralement appelée notation cartésienne. Les vecteurs unitaires i {\displaystyle\mathbf{i}} , j {\displaystyle\mathbf{j}} , et k {\displaystyle\mathbf{k}} sont appelés les verseurs du système de coordonnées et représentent un exemple de base standard.

Notes supplémentaires

En géométrie informatique, le système de coordonnées cartésiennes est le fondement de la manipulation algébrique des formes géométriques. De nombreux autres systèmes de coordonnées ont été développés depuis Descartes. Un ensemble commun de systèmes utilise des coordonnées polaires; les astronomes utilisent souvent des coordonnées sphériques, un type de système de coordonnées polaires.

Voir aussi

• Courbe
• Géométrie
• Graphe
• Ligne (Mathématiques)
• Mathématiques
• Nombre
• Plan (mathématiques)
• Point (géométrie)
• René Descartes

Notes

• Descartes, René. 2001. Discours sur la Méthode, l’Optique, la Géométrie et la Météorologie. Trans. Paul J. Olscamp. Indianapolis, DANS: Pub Hackett. Numéro ISBN 0872205673.
• GelʹFand, I. M., E. G. Glagoleva et A. A. Kirillov. 1990. La Méthode des Coordonnées. Boston : Birkhauser. Numéro ISBN 0817635335.
• Kline, Morris. 1985. Mathématiques pour le Non-mathématicien. New York : Douvres. Numéro ISBN 0817635335.

Tous les liens récupérés le 16 janvier 2017.

• Système de coordonnées cartésiennes.
• Coordonnées cartésiennes imprimables.
• Coordonnées cartésiennes. PlanetMath.