a binomiális tétel

binomiális Expanziók Pascal háromszögét használva

vegye figyelembe az (a + b)N következő kibővített hatványait, ahol a + b bármely binomiális és n egész szám. Keresse meg a mintákat.

Minden expanzió polinom. Van néhány minta, amelyet meg kell jegyezni.

1. Van még egy kifejezés, mint az exponens ereje, n. vagyis vannak kifejezések az (a + b)n kiterjesztésében.

2. Minden kifejezésben az exponensek összege n, az a hatalom, amelyre a binomiális felemelkedik.

3. A kitevők a kezdet n, a hatalom a binomiális, és csökken a 0. Az utolsó tagnak nincs a tényezője. az első tagnak nincs B tényezője, így B hatványai 0-val kezdődnek és N-re nőnek.

4. Az együtthatók 1-nél kezdődnek, és bizonyos értékeken keresztül körülbelül “fél”módon növekednek, majd ugyanezen értékek révén 1-re csökkennek.

vizsgáljuk meg tovább az együtthatókat. Tegyük fel, hogy meg akarjuk találni az (a + b)6 kiterjesztését. Az imént megfigyelt minták azt jelzik, hogy a bővítésben 7 kifejezés van:
A6 + c1a5b + c2a4b2 + c3a3b3 + c4a2b4 + c5ab5 + b6.
Hogyan határozhatjuk meg az egyes együtthatók értékét, ci? Ezt kétféleképpen tehetjük meg. Az első módszer az együtthatók háromszög alakú tömbben történő írását jelenti, az alábbiak szerint. Ezt Pascal háromszögének nevezik:

sok minta van a háromszögben. Találj meg annyit, amennyit csak tudsz.
talán felfedezte a következő számsor írásának módját, tekintettel a fölötte lévő sor számaira. Kívül mindig 1 van. Minden fennmaradó szám a felette lévő két szám összege. Próbáljuk meg megtalálni az (a + b)6 bővítését egy másik sor hozzáadásával a felfedezett minták segítségével:

látjuk, hogy az utolsó sorban

az 1.és az utolsó szám 1;
a 2. szám 1 + 5 vagy 6;
a 3. szám 5 + 10 vagy 15;
a 4. szám 10 + 10, vagy 20;
az 5. szám 10 + 5, vagy 15; és
a 6. szám 5 + 1, vagy 6.

így az (a + b)6 kiterjesztése
(a + b)6 = 1A6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1B6.

az (a + b)8 kiterjesztésének megtalálásához Pascal háromszögének további két sorát fejezzük be:

így az is kiterjesztése
(a + b)8 = a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8.

eredményeinket az alábbiak szerint általánosíthatjuk.

a binomiális tétel Pascal

háromszögét használva bármely binomiális A + b és bármely természetes számra n,
(a + b) n = c0anb0 + c1an-1B1 + c2an-2B2 + …. + cn-1a1bn-1 + cna0bn,
ahol a számok c0, c1, c2,…., cn-1, cn A (N + 1)-st sor Pascal háromszöge.

1. példa Kibontás: (u-v) 5.

megoldás van (a + b)n, ahol a = u, b = -v és n = 5. A Pascal háromszögének 6. sorát használjuk:
1 5 10 10 5 1
akkor van
(u – v)5 = 5 = 1(u)5 + 5(u)4(-v)1 + 10(u)3(-v)2 + 10(u)2(-v)3 + 5(u) (- v)4 + 1 (- v)5 = u5-5u4v + 10u3v2-10u2v3 + 5uv4-v5.
vegye figyelembe, hogy a kifejezések jelei váltakoznak a + és a-között. Amikor a-v ereje páratlan, a jel -.

2. példa Kibontás: (2t + 3 / t) 4.

megoldás van (a + b) n, ahol a = 2T, b = 3/t és n = 4. A Pascal háromszögének 5. sorát használjuk:
1 4 6 4 1
akkor van

binomiális terjeszkedés faktoriális jelöléssel

tegyük fel, hogy meg akarjuk találni az (a + b)11 kiterjesztését. A Pascal-háromszög használatának hátránya, hogy ki kell számolnunk a háromszög összes előző sorát, hogy megkapjuk a bővítéshez szükséges sort. A következő módszer ezt elkerüli. Azt is lehetővé teszi számunkra, hogy megtaláljunk egy konkrét kifejezést — mondjuk a 8.kifejezést — anélkül, hogy kiszámolnánk a bővítés összes többi kifejezését. Ez a módszer hasznos olyan kurzusokban, mint a véges matematika, a kalkulus és a statisztika, és a binomiális együttható jelölését használja .
a binomiális tételt a következőképpen állíthatjuk újra.

a binomiális tétel faktoriális jelöléssel

bármely binomiális (a + b) és bármely természetes számra n,
.

a binomiális tétel matematikai indukcióval bizonyítható. (Lásd: 63. gyakorlat.) Ez az űrlap megmutatja, hogy miért nevezzük binomiális együttható.

3. példa Kibontás: (x2 – 2Y) 5.

megoldás van (a + b)n,ahol a = x2, b = -2Y és n = 5. Ezután a binomiális tétel használatával

végül (x2 – 2Y)5 = x10 – 10x8y + 40x6y2 – 80x4y3 + 80x2y4 – 32y5.

4. példa bontsa ki: (2 / x + 3 ++ x) 4.

megoldásunk van (a + b)n, ahol a = 2 / x, b = 3 ezer X és n = 4. Ezután a binomiális tételt használva

végül (2 / x + 3 ++ x) 4 = 16 / x4 + 96 / x5/2 + 216/x + 216×1/2 + 81×2.

egy adott kifejezés keresése

tegyük fel, hogy csak egy adott bővítési kifejezést akarunk meghatározni. Az általunk kifejlesztett módszer lehetővé teszi számunkra, hogy ilyen kifejezést találjunk anélkül, hogy Kiszámolnánk Pascal háromszögének összes sorát vagy az összes előző együtthatót.

vegye figyelembe, hogy a binomiális tételben megadja az 1.kifejezést, megadja a 2. kifejezést, megadja a 3. kifejezést stb. Ezt a következőképpen lehet általánosítani.

A (k + 1)-st kifejezés megkeresése

az (A + b) n (k + 1)-st kifejezése .

5. példa keresse meg az 5.kifejezést a (2x – 5y)6 kiterjesztésében.

megoldás először megjegyezzük, hogy 5 = 4 + 1. Így k = 4, a = 2x, b = -5y és n = 6. Ezután a bővítés 5.kifejezése

6. példa keresse meg a 8. kifejezést a (3x – 2)10 kiterjesztésében.

megoldás először megjegyezzük, hogy 8 = 7 + 1. Így k = 7, a = 3x, b = -2 és n = 10. Ezután a bővítés 8. kifejezése

részhalmazok teljes száma

tegyük fel, hogy egy halmaznak n objektuma van. A K elemeket tartalmazó részhalmazok száma . A halmaz részhalmazainak teljes száma a 0 elemet tartalmazó részhalmazok száma, plusz az 1 elemet tartalmazó részhalmazok száma, plusz a 2 elemet tartalmazó részhalmazok száma stb. Az n elemekkel rendelkező halmaz részhalmazainak teljes száma
.
most fontolja meg az (1 + 1)n kiterjesztését:
.
így a részhalmazok teljes száma (1 + 1) n vagy 2N. a következőket bizonyítottuk.

részhalmazok teljes száma

az n elemekkel rendelkező halmaz részhalmazainak teljes száma 2N.

7. példa az {A, B, C, D, E} halmaznak hány részhalmaza van?

megoldás a halmaznak 5 eleme van, tehát az részhalmazok száma 25 vagy 32.

8. példa a Wendy ‘ s, egy nemzeti étteremlánc a következő önteteket kínálja hamburgereihez:
{catsup, mustár, majonéz, paradicsom, saláta, hagyma, savanyúság, élvezet, sajt}.
hány különböző hamburgert szolgálhat fel a Wendy ‘ s, kivéve a hamburger méretét vagy a pogácsák számát?

megoldás az egyes hamburgerek öntetei az összes lehetséges öntetek halmazának egy részhalmazának elemei, az üres készlet sima hamburger. A lehetséges hamburgerek teljes száma

így a Wendy ‘ S 512 különböző módon szolgál fel hamburgert.