a rejtett csavar, hogy egy M XXL-Bius csík

területén szimplektikus geometria, a központi kérdés magában foglalja, hogyan kell számolni a metszéspontok két bonyolult geometriai terek. Ez a számolási kérdés a terület egyik leghíresebb problémájának, az Arnold-sejtésnek a középpontjában áll, és alapvető technika kérdése is: a matematikusoknak tudniuk kell, hogyan kell ezeket a számításokat elvégezni más típusú kutatások elvégzéséhez.

ahogy az “a harc a geometria alapjainak rögzítéséért” című cikkemben leírom, egy módszer kidolgozása ezeknek a metszéspontoknak a számlálására egy elhúzódó és néha vitatott folyamat volt. A megbízható, széles körben ismert, hibamentes megközelítés számos okból kihívást jelentett, kezdve a közös szókincs hiányától, amikor egy új terület elindul (a szimplektikus geometria csak az 1990-es években indult el igazán), egészen a probléma természetéig: egyszerűen fogalmazva, nehéz.

a nehézség abban rejlik, hogy finom okokból nem lehet egyszerre számolni a metszéspontokat. Ehelyett a matematikusoknak le kell bontaniuk a teret “helyi” régiókra, meg kell számolniuk az egyes régiók metszéspontjait, és össze kell adniuk azokat, hogy megkapják a “globális” számot. A helyi számok összerakása finomabb és technikailag igényesebb feladatnak bizonyult, mint a matematikusok először rájöttek: ha nem vigyázunk arra, hogyan rajzoljuk meg a helyi régiókat, könnyen elhagyhatjuk az egyik metszéspontot, vagy kétszer megszámolhatjuk a másikat.

a következő illusztrációk a feladat nehézségét tárják fel egy M (kétdimenziós, kör alakú, csavarral ellátott) csík segítségével. Az M XXL-Bius szalag két körrel rendelkezik, amelyek áthaladnak a felületén. A kérdés az, hogy hányszor keresztezi egymást a két kör? Mint látni fogja, a válasz úgy tűnik, hogy egy dolog, ha egyszerre nézzük a szalagot, és egy másik, ha nem vigyázunk, amikor két részre vágjuk az M. A. B. csíkot.

számlálási Puzzle

a matematikusok meg akarják számolni a metszéspontokat, de bizonyos akadályok megakadályozzák őket abban, hogy ezeket a pontokat közvetlenül megszámolják. Ezeknek az akadályoknak a leküzdése érdekében az elosztót harapás méretű “helyi” régiókra osztják, megszámolják az egyes kereszteződéseket, és összeadják azokat, hogy megszámolják az egész elosztót.

Ha azonban a matematikusok nem vigyáznak arra, hogyan kombinálják a helyi régiók számát, akkor könnyen rosszul számolhatnak az egész sokaságra. A helyi számok összeadásának finomsága ebben az egyszerű példában nyilvánvaló.

M XXL-Bius Rip

Vegyünk egy M. XXL-Bius csíkot. Rajzoljon rajta két kört. Ha megnézzük az egész M. A. B. B. csíkot, a két körnek legalább egyszer kereszteznie kell egymást: az egyik kör a másik felett kezdődik, de a szalag csavaró jellege miatt alatta végződik.

most vágja le ugyanazt az M XXL-Bius csíkot két darabra. A vágások eltávolítják a csavart a szalagban. Rajzoljon két körszegmenst minden darabra. A csavarás nélkül könnyű rajzolni a körszakaszokat úgy, hogy egymással párhuzamosan futjanak, és soha ne keresztezzék egymást. Ennek következtében tévesen azt a következtetést vonhatja le, hogy a kereszteződések száma az egész M. A. B. sávon nulla. A szimplektikus geometria matematikusai megtanulták, hogy a “helyi” darabok összeragasztása a “globális” kereszteződések számának helyreállításához sokkal összetettebb folyamat, mint azt először elképzelték.