Derékszögű koordináta-rendszer
a matematikában a derékszögű koordinátarendszert (vagy téglalap alakú koordinátarendszert) használják arra, hogy minden pontot egyedileg határozzanak meg egy síkban két számon keresztül, általában a pont x-koordinátája és y-koordinátája. A koordináták meghatározásához két merőleges irányított vonalat (az x tengelyt vagy az abszcisszát, valamint az y tengelyt vagy ordinátát) kell megadni, valamint az egységhosszt, amelyet a két tengelyen ki kell jelölni (lásd az 1.ábrát). A derékszögű koordinátarendszereket a térben (ahol három koordinátát használnak) és a magasabb dimenziókban is használják.
a derékszögű koordinátarendszer segítségével a geometriai alakzatok (például görbék) algebrai egyenletekkel írhatók le, nevezetesen az alakzaton fekvő pontok koordinátáival kielégített egyenletekkel. Például egy 2 sugarú kört az X2 + y2 = 4 egyenlettel írhatunk le (lásd a 2.ábrát).
történelem
Descartes francia matematikusra és filozófusra vonatkozik (latinul: Cartesius), aki többek között az algebra és az euklideszi geometria egyesítésén dolgozott. Ez a munka hatással volt az analitikus geometria, a kalkulus és a térképészet fejlődésére.
ennek a rendszernek az ötletét 1637-ben Descartes két írásában dolgozta ki. A módszerről szóló diskurzusának második részében Descartes bemutatja azt az új ötletet, hogy meghatározza egy pont vagy tárgy helyzetét a felületen, két metsző tengelyt használva mérővezetőként. A La G XXL-ben a fenti fogalmakat vizsgálja tovább.
kétdimenziós koordináta-rendszer
a derékszögű koordináta-rendszert két dimenzióban általában két tengely határozza meg, egymáshoz merőlegesen, síkot alkotva (egy xy-sík). A vízszintes tengelyt általában X, a függőleges tengelyt pedig általában y jelöléssel látják el. háromdimenziós koordinátarendszerben egy másik, általában z jelöléssel ellátott tengely kerül hozzáadásra, amely a térmérés harmadik dimenzióját biztosítja. A tengelyeket általában úgy definiálják, hogy kölcsönösen ortogonálisak egymással (mindegyik derékszögben van a másikhoz képest). (A korai rendszerek lehetővé tették a “ferde” tengelyeket, vagyis azokat a tengelyeket, amelyek nem találkoztak derékszögben, és ezeket a rendszereket néha használják ma, bár többnyire elméleti gyakorlatokként.) A derékszögű koordinátarendszer összes pontja együttesen úgynevezett derékszögű síkot alkot. A derékszögű koordinátarendszert használó egyenleteket derékszögű egyenleteknek nevezzük.
a metszéspontot, ahol a tengelyek találkoznak, általában O-val jelölt eredetnek nevezzük.Az x és y tengelyek olyan síkot határoznak meg, amelyet xy síknak nevezünk.Adott minden tengely, válasszon egy egység hossza, és jelölje ki minden egység a tengely mentén, amely egy grid.To adjon meg egy adott pontot egy kétdimenziós koordinátarendszeren, jelölje meg először az x egységet (abszcissza), majd az y egységet (ordináta) (x, y) formában, rendezett párban.
a betűk megválasztása konvencióból származik, hogy az ábécé második részét ismeretlen értékek jelzésére használják. Ezzel szemben az ábécé első részét az ismert értékek kijelölésére használták.
a rendszer P pontjának példáját a 3. ábra mutatja, a (3,5) koordinátát használva.
a két tengely metszéspontja négy régiót hoz létre, az úgynevezett kvadránsokat, amelyeket a római számok jelölnek I ( + ,+), II ( − ,+), III ( − ,−) és IV (+,−). Hagyományosan a negyedeket az óramutató járásával ellentétes irányban jelölik, a jobb felső (“északkeleti”) negyedtől kezdve. Az első kvadránsban mindkét koordináta pozitív, a második kvadránsban az x-koordináták negatívak, az y-koordináták pozitívak, a harmadik negyedben mindkét koordináták negatívak, a negyedik negyedben pedig az x-koordináták pozitívak, az y-koordináták pedig negatívak (lásd az alábbi táblázatot.)
háromdimenziós koordináta-rendszer
a háromdimenziós Derékszögű koordináta—rendszer biztosítja a tér három fizikai dimenzióját-hosszúság, szélesség és magasság. A 4.és 5. ábra két közös ábrázolási módot mutat.
a rendszert meghatározó három derékszögű tengely merőleges egymásra. A megfelelő koordináták (x,y,z) formában vannak. Például a 4. ábra két pontot ábrázol egy háromdimenziós derékszögű koordinátarendszerben: P(3,0,5) és Q(-5,-5,7). A tengelyeket “világkoordináták” tájolással ábrázolják, a z tengely felfelé mutat.
egy pont x-, y-és z-koordinátái az yz-síktól, xz-síktól és xy-síktól való távolságként is felfoghatók. Az 5. ábra A P pont távolságát mutatja a síkoktól.
az xy-, yz-és xz-síkok a háromdimenziós teret nyolc, oktánsként ismert alosztályra osztják, hasonlóan a 2D tér negyedeihez. Míg egyezményeket hoztak létre az x-y sík négy negyedének címkézésére, csak a háromdimenziós tér első oktánját címkézik. Minden olyan pontot tartalmaz, amelynek X, y és z koordinátái pozitívak.
A z-koordináta is nevezik applicate.
orientáció és kezesség
Lásd még: jobb oldali szabály
két dimenzióban
Az x tengely rögzítése vagy kiválasztása határozza meg az y tengelyt az irányig. Nevezetesen, az y tengely szükségszerűen merőleges az x tengelyre az x tengelyen 0-val jelölt ponton keresztül. De van egy választás, hogy a merőleges két félvonal közül melyiket jelöljük pozitívnak, és melyiket negatívnak. E két választás mindegyike meghatározza a derékszögű sík eltérő orientációját (más néven handedness).
a tengelyek orientálásának szokásos módja, a pozitív x tengely jobbra, a pozitív y tengely pedig felfelé mutat (és az x tengely az “első”, az y tengely pedig a “második” tengely) pozitív vagy standard orientációnak tekinthető, más néven jobbkezes orientációnak.
a pozitív orientáció meghatározásához általánosan használt emlékeztető a jobb kéz szabálya. Kissé zárt jobb kezét a síkra helyezve a hüvelykujjával felfelé, az ujjak az x tengelyről az y tengelyre mutatnak, pozitívan orientált koordinátarendszerben.
a tengelyek irányításának másik módja a bal kéz szabályának követése,a bal kezét a síkra helyezve a hüvelykujjával felfelé.
A tengelyek orientálására használt szabálytól függetlenül a koordinátarendszer elforgatása megőrzi a tájolást. Az x és y szerepének megváltoztatása megfordítja a tájolást.
három dimenzióban
Az x és y tengelyek megadása után meghatározzák azt a vonalat, amelyen a z tengelynek feküdnie kell, de ezen a vonalon két lehetséges irány van. A két lehetséges koordináta-rendszert “jobbkezesnek” és “balkezesnek” nevezzük.”A standard orientációt, ahol az xy-sík vízszintes és a z-tengely felfelé mutat (és az x – és az y-tengely pozitívan orientált kétdimenziós koordináta-rendszert alkot az xy-síkban, ha az xy-sík felett megfigyeljük) jobbkezesnek vagy pozitívnak nevezzük.
a név a jobb oldali szabályból származik. Ha a jobb kéz mutatóujja előre mutat, a középső ujj derékszögben befelé hajlik, a hüvelykujj pedig mindkettőhöz derékszögben helyezkedik el, akkor a három ujj jelzi az x -, y-és z-tengely relatív irányát egy jobbkezes rendszerben. A hüvelykujj az x tengelyt, a mutatóujj az y tengelyt, a középső ujj pedig a z tengelyt jelöli. Ezzel szemben, ha ugyanez történik a bal kezével, akkor Balkezes rendszer jön létre.
a különböző tudományágak a koordináta-rendszerek különböző variációit használják. Például a matematikusok általában jobbkezes koordinátarendszert használnak, az y tengely felfelé mutat, míg a mérnökök általában Balkezes koordinátarendszert használnak, a z tengely felfelé mutat. Ez zavart okozhat, amikor a mérnökök és a matematikusok ugyanazon a projekten dolgoznak.
a 7.ábra egy bal – és jobbkezes koordináta-rendszer ábrázolására tett kísérlet. Mivel egy háromdimenziós objektum jelenik meg a kétdimenziós képernyőn, a torzítás és a kétértelműség eredménye. A lefelé (és jobbra) mutató tengely szintén a megfigyelő felé mutat, míg a “középső” tengely a megfigyelőtől távol mutat. A piros kör párhuzamos a vízszintes XY-síkkal, és az x tengelyről az y tengelyre történő forgást jelzi (mindkét esetben). Ezért a piros nyíl áthalad a z tengely előtt.
a 8. ábra egy másik kísérlet a jobbkezes koordináta-rendszer ábrázolására. Ismét van egy kétértelműség, amelyet a háromdimenziós koordinátarendszer síkba vetítése okoz. Sok megfigyelő úgy látja, hogy a 8. ábra egy konvex kocka és egy konkáv “sarok között” be-és kifordul. “Ez megfelel a koordinátarendszer két lehetséges irányának. Ha az ábrát konvexnek tekintjük, Balkezes koordináta-rendszert kapunk. Így a 8. ábra megtekintésének” helyes ” módja az, ha elképzeljük, hogy az x tengely a megfigyelő felé mutat, és így konkáv sarkot lát.
a fizikában
a fenti vita a derékszögű koordinátarendszerekre vonatkozik a matematikában, ahol gyakori, hogy nem használnak mértékegységeket. A fizikában fontos megjegyezni, hogy a dimenzió egyszerűen valaminek a mértéke, és hogy a mérendő jellemzők minden osztályához hozzá lehet adni egy másik dimenziót. A dimenziók vizualizálásához való ragaszkodás kizárja a mérhető sokféle dimenzió megértését (idő, tömeg, szín, költség stb.). A többdimenziós objektumok algebrai módon kiszámíthatók és manipulálhatók.
Vektor ábrázolása derékszögű jelöléssel
a derékszögű koordinátarendszerben a tér egy pontját egy vektor is ábrázolhatja, amely úgy tekinthető, mint egy nyíl, amely a koordinátarendszer eredetétől a pontig mutat. Ha a koordináták térbeli pozíciókat (elmozdulásokat) jelölnek, akkor gyakori, hogy a vektort az eredettől az érdekes pontig r {\displaystyle \mathbf {r} } 
r = x i + y j + z k {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }
where i {\displaystyle \mathbf {i} } 
ezt a jelölést általában derékszögű jelölésnek nevezik. Az I {\displaystyle \mathbf {i} }
További megjegyzések
a számítógépes geometriában a derékszögű koordinátarendszer az alapja a geometriai alakzatok algebrai manipulációjának. Descartes óta számos más koordináta-rendszert fejlesztettek ki. Az egyik gyakori rendszerkészlet poláris koordinátákat használ; a csillagászok gyakran használják gömb koordináták, egyfajta poláris koordinátarendszer.
Lásd még:
- görbe
- geometria
- grafikon
- vonal (matematika)
- matematika
- szám
- sík (matematika)
- pont (geometria)
- Ren Decartes
Megjegyzések
- David J. Griffith (1999). Bevezetés Az Elektromágnesességbe. Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
- Descartes, Ren++. 2001. Diskurzus a módszerről, az optikáról, a geometriáról és a meteorológiáról. Trans. Paul J. Olscamp. Indianapolis, ban ben: Hackett Pub. ISBN 0872205673.
- Gel, I. M., E. G. Glagoleva és A. A. Kirillov. 1990. A koordináták módszere. Birkhauser. ISBN 0817635335.
- Kline, Morris. 1985. Matematika a nem matematikus számára. New York: Dover. ISBN 0817635335.
minden link letöltve január 16, 2017.
- Derékszögű koordináta-rendszer.
- nyomtatható derékszögű koordináták.
- derékszögű koordináták. PlanetMath.
Credits
A New World Encyclopedia írói és szerkesztői A New World Encyclopedia szabványainak megfelelően átírták és kiegészítették a Wikipedia cikket. Ez a cikk betartja a Creative Commons CC-by-sa feltételeit 3.0 licenc (CC-by-sa), amely megfelelő hozzárendeléssel használható és terjeszthető. A jóváírás a jelen licenc feltételei szerint esedékes, amely hivatkozhat mind a New World Encyclopedia közreműködőire, mind a Wikimedia Alapítvány önzetlen önkéntes közreműködőire. A cikk idézéséhez kattintson ide az elfogadható idézési formátumok listájához.A wikipédisták korábbi hozzájárulásainak története itt érhető el a kutatók számára:
- Derékszögű koordináta-rendszer története
a cikk története, mióta importálták a New World Encyclopedia-ba:
- a “derékszögű koordináta-rendszer” története
megjegyzés: bizonyos korlátozások vonatkozhatnak a külön licencelt egyedi képek használatára.