Kalkulus II-szekvenciák
Mobil Értesítés megjelenítése az összes jegyzet megjelenítése az összes jegyzet elrejtése
4-1. szakasz : Szekvenciák
kezdjük ezt a részt azzal a vitával, hogy mi a szekvencia. A szekvencia nem más, mint egy meghatározott sorrendben írt számok listája. A listában lehet, hogy végtelen számú kifejezés van benne, bár ebben az osztályban kizárólag végtelen szekvenciákkal foglalkozunk. Az Általános szekvencia kifejezéseket a következőképpen jelöljük,
\
mert végtelen szekvenciákkal fogunk foglalkozni a szekvencia minden egyes kifejezését egy másik kifejezés követi, amint azt fentebb megjegyeztük. A fenti jelölésben nagyon óvatosnak kell lennünk az előfizetőkkel. Az \(n + 1\) index a következő kifejezést jelöli a sorrendben, nem pedig egy plusz az \(n^{\mbox{th}}\) kifejezést! Más szavakkal,
\
ezért legyen nagyon óvatos az indexek írásakor, hogy megbizonyosodjon arról, hogy a” +1 ” nem vándorol ki az indexből! Ez egy könnyű hiba, hogy amikor először elkezd foglalkozik az ilyen jellegű dolog.
a szekvencia jelölésének számos módja van. Az alábbiak mindegyike egyenértékű módszer a szekvencia jelölésére.
\
Az an feletti második és harmadik jelölésben általában egy képlet adja meg.
néhány megjegyzés most rendben van ezekről a jelölésekről. Először vegye figyelembe a fenti második és harmadik jelölés közötti különbséget. Ha a kiindulási pont nem fontos, vagy valamilyen módon a probléma implikálja, akkor gyakran nem írják le, mint a harmadik jelölésben. Ezután egy \(n = 1\) kiindulási pontot használtunk a harmadik jelölésben, hogy csak egyet írhassunk le. Egyáltalán nincs ok azt hinni, hogy egy szekvencia \(n = 1\) – nél kezdődik. A sorozat ott kezdődik, ahol valaha is el kell kezdeni.
vessünk egy pillantást néhány szekvenciára.
- \(\displaystyle \ left \ { {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \ right\} _ {n = 1}^\infty\)
- \(\displaystyle \ left \ { {\frac {{{\left( { – 1} \ right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), ahol \({b_n} = {n^{th}} {\mbox{ számjegye}} \pi \)
összes megoldás megjelenítése az összes megoldás elrejtése
ahhoz, hogy az első néhány szekvencia kifejezést itt megkapjuk, csak be kell dugnunk a \(n\) értékeket a megadott képletbe, és megkapjuk a sorrendet feltételek.
\
vegye figyelembe a “…” beillesztését a végén! Ez egy fontos darab jelölés, mivel ez az egyetlen dolog, ami azt mondja nekünk, hogy a szekvencia folytatódik, és nem fejeződik be az utolsó ciklusban.
b \(\displaystyle \ left \ { {\frac {{{\left( { – 1} \ right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}} \ right\} _ {n = 0}^ \ infty\) megoldás megjelenítése
Ez hasonló az elsőhöz. A fő különbség az, hogy ez a szekvencia nem kezdődik \(n = 1\).
\
vegye figyelembe, hogy az ebben a sorrendben szereplő kifejezések jelekben váltakoznak. Az ilyen típusú szekvenciákat néha váltakozó szekvenciáknak nevezik.
c \(\left \{{{b_n}}\right\}_{n = 1}^ \ infty\), ahol\({b_n} = {n^{th}} {\mbox{ számjegye}} \ pi\) megoldás megjelenítése
Ez a szekvencia abban az értelemben különbözik az első kettőtől, hogy nincs külön képlete az egyes kifejezésekhez. Ez azonban megmondja nekünk, hogy mi legyen az egyes kifejezések. Minden kifejezésnek \(\pi\) n-edik számjegyének kell lennie. Tehát tudjuk, hogy \(\pi = 3.14159265359 \ ldots\)
a sorrend ezután
\
az előző példa első két részében megjegyezzük, hogy a képleteket valóban olyan függvényként kezeltük, amelyekbe csak egész számok csatlakozhatnak. Vagy
\
Ez egy fontos ötlet a szekvenciák (és sorozatok) tanulmányozásában. A szekvencia kifejezések függvényértékelésként történő kezelése lehetővé teszi számunkra, hogy sok olyan dolgot tegyünk olyan szekvenciákkal, amelyeket másképp nem tudnánk megtenni. Mielőtt mélyebbre ezt az elképzelést azonban meg kell, hogy egy pár ötleteket az útból.
először egy szekvencia “ábrázolására” szeretnénk gondolni. A \(\left\ {{{{a_n}} \right\}\) szekvencia ábrázolásához a \(\left( {n,{a_n}} \right)\) pontokat \(n\) tartományként ábrázoljuk a grafikon összes lehetséges értékén. Például ábrázoljuk a \(\left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty\) szekvenciát. A grafikon első néhány pontja,
\
a grafikon, a szekvencia első 30 tagjára, akkor,
Ez a grafikon egy fontos ötlethez vezet a szekvenciákról. Figyeljük meg, hogy az AS \(n\) növeli a szekvenciaszekvenciákat a szekvenciánkban, ebben az esetben egyre közelebb kerülünk a nullához. Ezután azt mondjuk, hogy a nulla a szekvencia határértéke (vagy néha a határérték), és írjuk,
\
Ez a jelölés ismerősnek tűnik. Ugyanaz a jelölés, amelyet akkor használtunk, amikor egy függvény határáról beszéltünk. Valójában, ha emlékszel, korábban azt mondtuk, hogy a szekvenciákat valamilyen módon funkcióknak tekinthetjük, ezért ez a jelölés nem lehet túl meglepő.
a funkciók korlátaira kifejlesztett ötletek felhasználásával a következő munkadefiníciót írhatjuk le a szekvenciák korlátaira.
A határérték működési meghatározása
- azt mondjuk, hogy \
ha olyan közel tudunk \(L\) – t készíteni, amennyit akarunk minden kellően nagy \(n\) esetében. Más szavakkal, a \({a_n}\) \(L\) megközelítésének értéke \(n\) megközelíti a végtelent.
- azt mondjuk, hogy \
ha minden kellően nagy \(n\) számára olyan nagyat tudunk készíteni, amennyit akarunk. Más szavakkal, a\({a_n}\) értéke egyre nagyobb lesz kötés nélkül, amikor\ (n\) megközelíti a végtelent.
- azt mondjuk, hogy \
ha minden kellően nagy \(n\) esetében olyan nagy és negatív értéket tudunk létrehozni, amennyit akarunk. Más szóval, a \({a_n}\) értéke negatív, és egyre nagyobb lesz kötés nélkül, amikor \(n\) megközelíti a végtelent.
a különböző szekvencia-határértékek működő definíciói szépek, mivel segítenek nekünk elképzelni, hogy mi a határ valójában. Csakúgy, mint a funkciók korlátai, ezeknek a korlátoknak is pontos meghatározása van. Adjuk meg azokat, mielőtt folytatnánk
A határ pontos meghatározása
- azt mondjuk, hogy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) ha minden számra \(\varepsilon > 0\) van egy egész \(n\) olyan, hogy \
- azt mondjuk, hogy \(\hogy \(\mathop {\Lim} \limits_{N \to \ infty } {a_n} = \infty\) ha minden számra \(m > 0\) van egy egész \ (n\) olyan, hogy \
- azt mondjuk, hogy \(\mathop {\Lim} \limits_{n \to \ infty } {A_n} = – \infty\) ha minden szám \ (m < 0\) van egy egész szám \(N\) olyan, hogy \
nem fogjuk gyakran használni a pontos definíciót, de alkalmanként megjelenik.
vegye figyelembe, hogy mindkét definíció azt mondja nekünk, hogy ahhoz, hogy egy határ létezzen és véges értéke legyen, az összes szekvencia kifejezésnek egyre közelebb kell kerülnie ahhoz a véges értékhez, ahogy \(n\) növekszik.
most, hogy a szekvenciák határának definíciói az útból vannak, van egy kis terminológiánk, amelyet meg kell vizsgálnunk. Ha \(\mathop {\lim } \ limits_{n \ to \ infty } {a_n}\) létezik és véges, akkor azt mondjuk, hogy a szekvencia konvergens. Ha \(\mathop {\lim } \ limits_{n \ to \ infty } {a_n}\) nem létezik, vagy végtelen, akkor azt mondjuk, hogy a szekvencia eltér. Ne feledje, hogy néha azt mondjuk, hogy a szekvencia eltér \(\infty\) if \(\mathop {\lim} \limits_{n \to \infty } {a_n} = \ infty\), és ha \(\mathop {\Lim} \limits_{n \to \infty } {a_n} = – \ infty\), néha azt mondjuk, hogy a szekvencia eltér \(- \infty\).
szokja meg a “konvergens” és a “divergens” kifejezéseket, mivel ebben a fejezetben egy kicsit látni fogjuk őket.
tehát hogyan találjuk meg a szekvenciák határait? A legtöbb szekvencia legtöbb határa megtalálható a következő tételek egyikével.
1.tétel
adott sorrendben \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) ha van egy függvényünk \(f\left( x \right)\), hogy \(f\left( n \right)\) és \(\mathop {\lim} \limits_ {x \to \infty} F\left( x \right) = L\) akkor \(\mathop {\Lim}} \limits_ {N \to \infty} {a_n} = l\)
Ez a tétel alapvetően azt mondja nekünk, hogy a szekvenciák határait ugyanúgy vesszük, mint a függvények határát. Valójában a legtöbb esetben nem is igazán használjuk ezt a tételt egy függvény kifejezett leírásával. Gyakrabban csak úgy kezeljük a korlátot, mintha egy függvény határa lenne, és vesszük a korlátot, mint mindig az I. kalkulusban, amikor a függvények határait vettük.
tehát most, hogy tudjuk, hogy egy szekvencia határának felvétele majdnem megegyezik egy függvény határának felvételével, azt is tudjuk, hogy a függvények határainak összes tulajdonsága is megmarad.
tulajdonságok
Ha \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) és \(\left\{ {{b_n}} \right\}\) mindkettő konvergens szekvencia, akkor
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n} \pm {b_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \PM \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}\)
- \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } C{a_n} = C\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {a_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n}\,{b_n}} \right) = \left( {\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}} \right)\left( {\mathop {\Lim} \ right }\limits_{N \to \infty } {b_n}} \right)\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \frac{{\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}}}{{\mathop {\Lim }\limits_{N \to \infty } {b_n}}},\,\,\,\,\,{\mbox{provided }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} \ne 0\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n^p = {\left^p}\) provided \({a_n} \ge 0\)
ezek a tulajdonságok bizonyíthatók a fenti 1. tétel és a függvénykorlátozási tulajdonságok segítségével, amelyeket a fenti fűrész kalkulus i vagy tudjuk bizonyítani őket közvetlenül a pontos a határérték meghatározása a függvényhatár tulajdonságainak közel azonos bizonyítékaival.
következő, ahogy volt egy Squeeze tétel a függvény határértékek is van egy szekvenciák, és ez nagyjából megegyezik a függvény limit változat.
szorító tétel a
if \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) Összes \(n > N\) egyes \(N\) és \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \To \infty } {b_n} = l\) majd \(\Mathop {\Lim }\limits_{N \to \infty } {c_n} = l\).
vegye figyelembe, hogy ebben a tételben az “all \(n > N\) néhány \(N\)” valójában csak azt mondja nekünk, hogy \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) minden kellően nagy \(n\), de ha ez nem igaz az első néhány \(n\), amely nem érvényteleníti a tételt.
mint látni fogjuk, nem minden szekvenciát lehet olyan függvényként írni, amelynek valójában a határát tudjuk venni. Ez különösen igaz a jelekben váltakozó szekvenciákra. Bár ezeket a szekvencia kifejezéseket mindig függvényként írhatjuk, egyszerűen nem tudjuk, hogyan kell egy ilyen függvény határát venni. A következő tétel segít ezen szekvenciák némelyikében.
2. tétel
Ha \(\mathop {\lim } \ limits_{n \ to \infty} \ left / {{a_n}} \ right / = 0\) akkor \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\).
Megjegyzendő, hogy ahhoz, hogy ez a tétel, hogy tartsa a határnak nullának kell lennie, és ez nem fog működni egy sorozatot, amelynek határa nem nulla. Ezt a tételt elég könnyű bizonyítani, ezért tegyük ezt.
A 2.tétel igazolása
ennek a bizonyítéknak a legfontosabb megjegyezni, hogy
\
majd vegye figyelembe, hogy
\
akkor van \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( { – \left| {{a_n}} \right|} \right) = \mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\) és így a squeeze tételnek is kell lennie,
\
a következő tétel egy hasznos tétel, amely megadja a konvergenciát/divergenciát és értéket (amikor konvergens) egy alkalmanként felmerülő szekvenciának.
3. tétel
a \(\left\{ {{r^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) szekvencia konvergál, ha \( – 1 < r \le 1\) és eltér az összes többi \(r\) értéktől. Is,
\
itt van egy gyors (nos, nem olyan gyors, de határozottan egyszerű) részleges bizonyítéka ennek a tételnek.
A 3. tétel részleges igazolása
ezt esetek sorozatával fogjuk megtenni, bár az utolsó eset nem lesz teljesen bizonyított.
1. eset : \(r > 1\)
az I számításból tudjuk, hogy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = \infty \) ha \(r > 1\), így a fenti 1.tétel alapján azt is tudjuk, hogy \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = \infty\), így a szekvencia eltér, ha \(r > 1\).
2. eset: \(r = 1\)
ebben az esetben
\
tehát a szekvencia konvergál \(r = 1\) értékre, és ebben az esetben a határa 1.
3. eset : \(0 < r < 1\)
az I számításból tudjuk, hogy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = 0\) Ha \(0 < r < 1\) és így a fenti 1.tétel szerint azt is tudjuk, hogy \(\mathop {\Lim }\limits_{N \to \infty } {R^N} = 0\), és így a szekvencia konvergál, ha \(0 < r < 1\) és ebben a ha a határ nulla.
4. eset: \(r = 0\)
ebben az esetben
\
tehát a szekvencia konvergál \(r = 0\) értékre, és ebben az esetben a határa nulla.
5.eset : \( – 1 < r < 0\)
először megjegyezzük, hogy ha \( – 1 < r < 0\) majd \(0 < \left| r \right| < 1\) akkor a fenti 3. esetben van,
\
a fenti 2. tétel most azt mondja nekünk, hogy nekünk is kell, \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {r^n} = 0\) és így ha \( – 1 < r < 0\) a szekvencia konvergál, és a határértéke 0.
6. eset : \(r = – 1\)
ebben az esetben a sorrend
\
és remélhetőleg egyértelmű, hogy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 1} \right)^n}\) nem létezik. Emlékezzünk arra, hogy ennek a korlátnak a létezéséhez a kifejezéseknek egyetlen értéket kell megközelíteniük, mivel \(n\) növekszik. Ebben az esetben azonban a kifejezések csak váltakoznak 1 és -1 között, így a határ nem létezik.
tehát a szekvencia eltér \(r = – 1\) értékre.
7. eset: \(r < – 1\)
ebben az esetben nem fogunk teljes bizonyításon átmenni. Lássuk, mi történik, ha például hagyjuk \(r = – 2\). Ha ezt tesszük, akkor a sorrend
\
lesz, tehát ha \(r = – 2\) kapunk egy olyan kifejezéssorozatot, amelynek értékei váltakoznak a jelben, és egyre nagyobbak lesznek, és így \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 2} \right)^n}\) nem létezik. Nem rendezi le egyetlen értékre, mivel \(n\) növekszik, és a kifejezések sem közelítik meg a végtelent. Tehát a szekvencia eltér a \(r = – 2\).
bármilyen \(r\) értékre tehetünk valami hasonlót, hogy \(r < – 1\), így a sorrend eltér \(r < – 1\).
vessünk egy pillantást néhány példára a szekvenciák korlátaira.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{3{n^2} – 1}}{{10N + 5{n^2}}}} \right\}_{n = 2}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}} {n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac {{{\left ({- 1} \right)}^n}}} {n}} \right\}_{N = 1}^\infty \)
- \(\left\ {{{\left ({- 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
összes megoldás megjelenítése az összes megoldás elrejtése
ebben az esetben csak vissza kell hívnunk azt a módszert, amely az I. kalkulusban fejlesztették ki a racionális függvények határainak kezelésére. Lásd a korlátokat a végtelenben, a kalkulus I. részének I. része megjegyzi ennek áttekintését, ha szükséges.
ahhoz, hogy ebben a formában korlátot csináljunk, csak annyit kell tennünk, hogy a számlálóból és a nevezőből kiszámoljuk a \(n\) legnagyobb teljesítményét, töröljük, majd vegyük a korlátot.
\
tehát a szekvencia konvergál, határértéke pedig \(\frac{3}{5}\).
b \(\left \ { {\displaystyle \ frac {{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \ right\} _ {n = 1}^\infty \) megoldás megjelenítése
ezzel óvatosnak kell lennünk. Ehhez a L ‘ Hospital szabályát kell használnunk. A probléma az, hogy a L ‘ Hospital szabálya csak függvényeken működik, szekvenciákon nem. Általában ez lenne a probléma, de megvan tétel 1 felülről, hogy segítsen nekünk. Határozzuk meg a
\
– t, és jegyezzük meg, hogy a
\
1.tétel azt mondja, hogy csak annyit kell tennünk, hogy a függvény határát vesszük.
\
tehát ebben a részben a sorrend eltér (\(\infty\) – ig).
gyakran csak a L ‘ Hospital szabályát végezzük a szekvencia kifejezésekre anélkül, hogy először \(x\)’S-re konvertálnánk, mivel a munka azonos lesz, függetlenül attól, hogy \(x\) vagy \(n\) – t használunk. Azonban valóban emlékeznünk kell arra, hogy technikailag nem tudjuk megtenni a származékokat, miközben a szekvencia kifejezésekkel foglalkozunk.
c \(\left \ { {\displaystyle \ frac {{{\left ({- 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) megoldás megjelenítése
ezzel a sorozattal is óvatosnak kell lennünk. Kísértésbe eshetünk, hogy csak azt mondjuk, hogy a szekvencia kifejezések határa nulla (és igazunk lenne). Technikailag azonban nem vehetjük fel azoknak a szekvenciáknak a határát, amelyek kifejezései váltakoznak a jelben, mert nem tudjuk, hogyan kell elvégezni az azonos viselkedést mutató funkciók korlátait. Emellett nagyon óvatosnak kell lennünk, hogy ne hagyatkozzunk túl sokat az intuícióra ezekkel a problémákkal. Amint azt a következő részben és a későbbi szakaszokban látni fogjuk, intuíciónk félrevezethet minket ezekben a problémákban, ha nem vagyunk óvatosak.
tehát dolgozzunk ezt a könyv szerint. A 2. tételt kell használnunk erre a problémára. Ehhez először ki kell számolnunk,
\
Ezért, mivel a szekvencia kifejezések határa abszolút értéksávokkal nulla, a 2.tételből tudjuk, hogy
\
ami azt is jelenti, hogy a szekvencia nulla értékre konvergál.
d \(\left \ { {{\left ({- 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) show megoldás
ehhez a tételhez vegye figyelembe, hogy csak annyit kell tennünk, hogy felismerjük, hogy ez a fenti 3.tétel sorrendje a \(r = – 1\) használatával. Tehát a 3. tétel szerint ez a szekvencia eltér.
most figyelmeztetést kell adnunk a 2.tétel visszaéléséről. A 2. tétel csak akkor működik, ha a határ nulla. Ha a szekvencia kifejezések abszolút értékének határa nem nulla, akkor a tétel nem fog tartani. Az előző példa utolsó része jó példa erre (és valójában ez a figyelmeztetés az egész oka annak, hogy a rész ott van). Figyeljük meg, hogy
\
és mégis, \(\mathop {\lim} \limits_{n \to\infty} {\left ({- 1}\ right)^n}\) még csak nem is létezik, nemhogy egyenlő 1. Tehát legyen óvatos a 2. tétel használatával. Mindig emlékezni kell arra, hogy csak akkor működik, ha a határ nulla.
mielőtt továbblépnénk a következő szakaszra, meg kell adnunk még egy tételt, amelyre szükségünk lesz egy bizonyítékhoz az úton.
4.tétel
a \(\left\ {{{{a_n}} \right\}\) sorrendre, ha mindkettő \(\mathop {\lim }\limits_ {n \to \infty} {a_ {2n}} = L\) és \(\mathop {\lim }\limits_ {n \to \infty} {a_ {2n + 1}} = L\), akkor \(\left\ {{{{{a_n}} \right\}\) konvergens és \(\mathop {\Lim }\limits_ {n \to \infty} {a_n} = l\).
a 4.tétel igazolása
Let \(\varepsilon > 0\).
majd mivel \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) van egy \({n_1} > 0\) olyan, hogy ha \(n > {N_1}\) tudjuk, hogy,
\
hasonlóképpen, mert \(\Mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = l\) van egy \({n_2} > 0\) olyan,hogy ha \(n > {n_2}\) tudjuk, hogy
\
most, legyen \(N = \Max \left\{ {2{n_1}, 2{n_2} + 1} \Right\}\) és legyen \(n > n\). Aztán vagy \({a_n} = {a_{2K}}\) néhány \(k > {N_1}\) vagy \({a_n} = {a_{2K + 1}}\) néhány \(k > {N_2}\), így mindkét esetben megvan,
\
ezért \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = l\) és így \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) konvergens.