Calcolo I-Derivati di funzioni iperboliche
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Sezione 3-8 : Derivate di funzioni iperboliche
L’ultimo insieme di funzioni che vedremo in questo capitolo sono le funzioni iperboliche. In molte situazioni fisiche le combinazioni di \({{\bf{e}} ^ x}\) e \({{\bf{e}}^{ – x}}\) sorgono abbastanza spesso. Per questo motivo a queste combinazioni vengono dati nomi. Ci sono sei funzioni iperboliche e sono definite come segue.
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Ecco i grafici delle tre principali funzioni iperboliche.
Abbiamo anche i seguenti fatti sulle funzioni iperboliche.
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Noterai che queste sono simili, ma non esattamente uguali, ad alcune delle identità trigonometriche più comuni, quindi fai attenzione a non confondere le identità qui con quelle delle funzioni trigonometriche standard.
Poiché le funzioni iperboliche sono definite in termini di funzioni esponenziali, trovare le loro derivate è abbastanza semplice a condizione che tu abbia già letto la sezione successiva. Non abbiamo tuttavia quindi avremo bisogno della seguente formula che può essere facilmente dimostrata dopo aver coperto la sezione successiva.
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Con questa formula faremo la derivata per il seno iperbolico e lasceremo il resto a te come esercizio.
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Per il resto possiamo usare la definizione della funzione iperbolica e/o la regola del quoziente. Ecco tutti e sei i derivati.
Ecco un paio di derivate rapide che utilizzano funzioni iperboliche.
- \(f\left( x \right) = 2{x^5}\cosh x\)
- \(\displaystyle p\left( t \right) = \frac{{\sinh t}}{{t + 1}}\)
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