Calcolo I-Derivati di funzioni iperboliche

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Sezione 3-8 : Derivate di funzioni iperboliche

L’ultimo insieme di funzioni che vedremo in questo capitolo sono le funzioni iperboliche. In molte situazioni fisiche le combinazioni di \({{\bf{e}} ^ x}\) e \({{\bf{e}}^{ – x}}\) sorgono abbastanza spesso. Per questo motivo a queste combinazioni vengono dati nomi. Ci sono sei funzioni iperboliche e sono definite come segue.

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Ecco i grafici delle tre principali funzioni iperboliche.

Grafico di \(y=\cosh \left( x \right)\). Sembra vagamente una parabola di apertura verso l'alto con vertice a (0,1).Grafico di \(y= \ sinh \ left (x \right)\). Sembra vagamente un verso l'alto come il grafico di \(y=x^{3}\) che inizia nel terzo quadrante e aumenta attraverso l'origine (dove si appiattisce brevemente) quindi continua ad aumentare nel primo quadrante.
Grafico di \(y=\tanh \left( x \right)\). Il grafico inizia a sinistra all'asintoto orizzontale a \(y = -1\) e aumenta passando attraverso (0,0) e quindi avvicinandosi a un altro asintoto orizzontale a \(y=1\).

Abbiamo anche i seguenti fatti sulle funzioni iperboliche.

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Noterai che queste sono simili, ma non esattamente uguali, ad alcune delle identità trigonometriche più comuni, quindi fai attenzione a non confondere le identità qui con quelle delle funzioni trigonometriche standard.

Poiché le funzioni iperboliche sono definite in termini di funzioni esponenziali, trovare le loro derivate è abbastanza semplice a condizione che tu abbia già letto la sezione successiva. Non abbiamo tuttavia quindi avremo bisogno della seguente formula che può essere facilmente dimostrata dopo aver coperto la sezione successiva.

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Con questa formula faremo la derivata per il seno iperbolico e lasceremo il resto a te come esercizio.

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Per il resto possiamo usare la definizione della funzione iperbolica e/o la regola del quoziente. Ecco tutti e sei i derivati.

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Ecco un paio di derivate rapide che utilizzano funzioni iperboliche.

Esempio 1 Differenziare ciascuna delle seguenti funzioni.

  1. \(f\left( x \right) = 2{x^5}\cosh x\)
  2. \(\displaystyle p\left( t \right) = \frac{{\sinh t}}{{t + 1}}\)
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