Calculus II-Sequenze
Mostra avviso mobile Mostra tutte le note Nascondi tutte le note
Sezione 4-1 : Sequenze
Iniziamo questa sezione con una discussione su cosa sia una sequenza. Una sequenza non è altro che un elenco di numeri scritti in un ordine specifico. La lista può o non può avere un numero infinito di termini in essi, anche se avremo a che fare esclusivamente con sequenze infinite in questa classe. I termini di sequenza generali sono indicati come segue,
\
Perché avremo a che fare con sequenze infinite ogni termine nella sequenza sarà seguito da un altro termine come notato sopra. Nella notazione sopra dobbiamo stare molto attenti con i pedici. Il pedice di \(n + 1\) indica il termine successivo nella sequenza e NON uno più il termine \(n^{\mbox{th}}\)! In altre parole,
\
quindi fai molta attenzione quando scrivi pedici per assicurarti che il “+1” non migri fuori dal pedice! Questo è un errore facile da fare quando si inizia a trattare con questo genere di cose.
Esiste una varietà di modi per denotare una sequenza. Ciascuno dei seguenti sono modi equivalenti di denotare una sequenza.
\
Nella seconda e terza notazione sopra an è solitamente dato da una formula.
Un paio di note sono ora in ordine su queste notazioni. Innanzitutto, nota la differenza tra la seconda e la terza notazione sopra. Se il punto di partenza non è importante o è implicito in qualche modo dal problema, spesso non viene scritto come abbiamo fatto nella terza notazione. Successivamente, abbiamo usato un punto di partenza di \(n = 1\) nella terza notazione solo per poterne scrivere uno. Non c’è assolutamente motivo di credere che una sequenza inizierà da \(n = 1\). Una sequenza inizierà dove mai deve iniziare.
Diamo un’occhiata a un paio di sequenze.
- \(\displaystyle \left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\displaystyle \left\{ {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), dove \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ cifra di }}\pi \)
Mostra Tutte le Soluzioni Nascondere Tutte le Soluzioni
Per ottenere i primi sequenza di termini qui tutti abbiamo bisogno di fare è collegare i valori di \(n\) nella formula data ed otteniamo la sequenza termine.
\
Nota l’inclusione di ” … ” alla fine! Questo è un importante pezzo di notazione in quanto è l’unica cosa che ci dice che la sequenza continua e non termina all’ultimo termine.
b \ (\displaystyle \ left \ { {\frac {{{{\left ({- 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Show Solution
Questo è simile al primo. La differenza principale è che questa sequenza non inizia da \(n = 1\).
\
Si noti che i termini in questa sequenza si alternano in segni. Sequenze di questo tipo sono talvolta chiamate sequenze alternate.
c \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), dove \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ digit of }}\pi \) Mostra la soluzione
Questa sequenza è diversa dalle prime due nel senso che non ha una formula specifica per ogni termine. Tuttavia, ci dice quale dovrebbe essere ogni termine. Ogni termine dovrebbe essere l’ennesima cifra di \(\pi\). Quindi sappiamo che \(\pi = 3.14159265359 \ ldots\)
La sequenza è quindi,
\
Nelle prime due parti dell’esempio precedente si noti che stavamo davvero trattando le formule come funzioni che possono avere solo numeri interi collegati a loro. Oppure,
\
Questa è un’idea importante nello studio delle sequenze (e delle serie). Trattare i termini della sequenza come valutazioni di funzioni ci permetterà di fare molte cose con sequenze che non potremmo fare altrimenti. Prima di approfondire ulteriormente questa idea, tuttavia, abbiamo bisogno di ottenere un paio di idee in più.
In primo luogo, vogliamo pensare a “rappresentare graficamente” una sequenza. Per tracciare la sequenza \(\left \ { {{a_n}} \ right\}\) tracciamo i punti \(\left ({n,{a_n}} \right)\) come intervalli \ (n\) su tutti i valori possibili su un grafico. Ad esempio, facciamo un grafico della sequenza \(\left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty \). I primi punti sul grafico sono,
\
Il grafico, per i primi 30 termini della sequenza, è quindi,
Questo grafico ci porta a un’idea importante sulle sequenze. Si noti che quando\ (n\) aumenta i termini della sequenza nella nostra sequenza, in questo caso, si avvicina sempre di più a zero. Quindi diciamo che zero è il limite (o talvolta il valore limite) della sequenza e scriviamo,
\
Questa notazione dovrebbe sembrarti familiare. È la stessa notazione che abbiamo usato quando abbiamo parlato del limite di una funzione. In effetti, se ricordi, abbiamo detto prima che potremmo pensare alle sequenze come funzioni in qualche modo e quindi questa notazione non dovrebbe essere troppo sorprendente.
Usando le idee che abbiamo sviluppato per i limiti delle funzioni possiamo scrivere la seguente definizione di lavoro per i limiti delle sequenze.
Definizione di lavoro del limite
- Diciamo che \
se possiamo fare un vicino a \(L\) come vogliamo per tutti sufficientemente grande \(n\). In altre parole, il valore dell’approccio\({a_n}\) \ (L\) come \(n\) si avvicina all’infinito.
- Diciamo che \
se possiamo fare un grande come vogliamo per tutti sufficientemente grande \(n\). Di nuovo, in altre parole, il valore di \({a_n}\) diventa sempre più grande senza limiti mentre \(n\) si avvicina all’infinito.
- Diciamo che \
se possiamo fare un grande e negativo come vogliamo per tutti sufficientemente grandi \(n\). Di nuovo, in altre parole, il valore di \({a_n}\) è negativo e diventa sempre più grande senza limiti poiché \(n\) si avvicina all’infinito.
Le definizioni di lavoro dei vari limiti di sequenza sono belle in quanto ci aiutano a visualizzare quale sia effettivamente il limite. Proprio come con i limiti di funzioni, tuttavia, c’è anche una definizione precisa per ciascuno di questi limiti. Proviamo a dare a coloro che prima di procedere
Precisa Definizione di Limite
- diciamo che \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) se per ogni numero \(\varepsilon > 0\) c’è un intero \(N\) tale \
- diciamo che \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \) se per ogni numero \(M > 0\) c’è un intero \(N\) tale che \
- diciamo che \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = – \infty \) se per ogni numero \(M < 0\) c’è un intero \(N\) tale che \
Non useremo spesso la definizione precisa, ma verrà visualizzata occasionalmente.
Si noti che entrambe le definizioni ci dicono che affinché un limite esista e abbia un valore finito tutti i termini della sequenza devono essere sempre più vicini a quel valore finito man mano che \(n\) aumenta.
Ora che abbiamo le definizioni del limite di sequenze fuori dal modo in cui abbiamo un po ‘ di terminologia che dobbiamo guardare. Se \(\mathop {\lim} \limits_ {n \to\ infty} {a_n}\) esiste ed è finito diciamo che la sequenza è convergente. Se \ (\mathop {\lim} \ limits_{n \ to \ infty} {a_n}\) non esiste o è infinito diciamo che la sequenza diverge. Si noti che a volte diremo che la sequenza diverge in \(\infty\) se \ (\mathop {\lim} \ limits_{n \ to \ infty } {a_n} = \ infty\) e se \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = – \infty\) a volte diremo che la sequenza diverge in \( – \infty\).
Abituati ai termini “convergenti” e “divergenti” come li vedremo un po’ in questo capitolo.
Quindi come troviamo i limiti delle sequenze? La maggior parte dei limiti della maggior parte delle sequenze può essere trovata usando uno dei seguenti teoremi.
Teorema 1
Data la sequenza \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) se abbiamo una funzione \(f\left( x \right)\) tale che \(f\left( n \right) = {a_n}\) e \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = L\) allora \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\)
Questo teorema è fondamentalmente dicendo a noi che prendiamo i limiti di sequenze molto simile prendiamo il limite di funzioni. Infatti, nella maggior parte dei casi non useremo davvero questo teorema scrivendo esplicitamente una funzione. Più spesso tratteremo il limite come se fosse un limite di una funzione e prenderemo il limite come abbiamo sempre fatto nel Calcolo I quando stavamo prendendo i limiti delle funzioni.
Quindi, ora che sappiamo che prendere il limite di una sequenza è quasi identico a prendere il limite di una funzione, sappiamo anche che tutte le proprietà dei limiti delle funzioni rimarranno valide.
Proprietà
Se \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) e \(\left\{ {{b_n}} \right\}\) sono entrambi successione convergente allora,
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n} \pm {b_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \pm \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } c{a_n} = c\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n}\,{b_n}} \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}} \right)\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}} \right)\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}}},\,\,\,\,\,{\mbox{condizione }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} \ne 0\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n^p = {\left^p}\), a condizione \({a_n} \ge 0\)
Queste proprietà può essere dimostrato utilizzando il Teorema di 1 di cui sopra e la funzione limite di proprietà che abbiamo visto in matematica I o siamo in grado di dimostrare direttamente tramite il preciso definizione di un limite utilizzando prove quasi identiche delle proprietà del limite della funzione.
Quindi, proprio come avevamo un teorema di compressione per i limiti di funzione, ne abbiamo anche uno per le sequenze ed è praticamente identico alla versione con limite di funzione.
Squeeze Teorema per le Sequenze
Se \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) per ogni \(n >\ N\) per alcuni \(N\) e \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = L\) allora \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {c_n} = L\).
Nota che in questo teorema “for all \(n > N\) for some \(N\)” ci sta solo dicendo che dobbiamo avere \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) per tutti sufficientemente grandi \(n\), ma se non è vero per i primi \(n\) questo non invaliderà il teorema.
Come vedremo non tutte le sequenze possono essere scritte come funzioni che possiamo effettivamente prendere il limite di. Questo sarà particolarmente vero per le sequenze che si alternano nei segni. Mentre possiamo sempre scrivere questi termini di sequenza come una funzione, semplicemente non sappiamo come prendere il limite di una funzione del genere. Il seguente teorema aiuterà con alcune di queste sequenze.
Teorema 2
Se \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\) allora \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\).
Si noti che affinché questo teorema mantenga il limite DEVE essere zero e non funzionerà per una sequenza il cui limite non è zero. Questo teorema è abbastanza facile da dimostrare, quindi facciamolo.
la Prova del Teorema 2
La cosa principale di questa prova è da notare che,
\
si noti che,
\
Abbiamo quindi \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( { – \left| {{a_n}} \right|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\) e in modo da Spremere il Teorema di noi dobbiamo avere,
\
Il prossimo teorema è un utile teorema di dare la convergenza/divergenza e di valore (per quando è convergente) di una sequenza che presenta l’occasione.
Teorema 3
La sequenza \(\left\{ {{r^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) converge se \( – 1< r \le 1\) e diverge per tutti gli altri valori di \(r\). Inoltre,
\
Ecco una prova parziale veloce (beh non così veloce, ma sicuramente semplice) di questo teorema.
Prova parziale del teorema 3
Lo faremo con una serie di casi anche se l’ultimo caso non sarà completamente provato.
Caso 1 : \(r > 1\)
sappiamo dal Calcolo I che \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = \infty \) se \(r > 1\) e quindi dal Teorema 1 sopra sappiamo anche che \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = \infty \) e quindi la sequenza diverge se \(r > 1\).
Caso 2 : \(r = 1\)
In questo caso abbiamo,
\
Quindi, la sequenza converge per \(r = 1\) e in questo caso il suo limite è 1.
Caso 3 : \(0 < r < 1\)
sappiamo dal Calcolo I che \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = 0\) se \(0 < r < 1\) e quindi, dal Teorema 1 sopra sappiamo anche che \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\) e quindi la sequenza converge se \(0 < r < 1\) e in questo caso il limite è zero.
Caso 4 : \(r = 0\)
In questo caso abbiamo,
\
Quindi, la sequenza converge per \(r = 0\) e in questo caso il suo limite è zero.
Case 5 : \( – 1 < r < 0\)
in Primo luogo notiamo che se \( – 1 < r < 0\) quindi \(0 < \left| r \right| < 1\), poi per Caso 3 di cui sopra abbiamo,
\
Teorema 2 di cui sopra, ora ci dice che noi dobbiamo avere, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\) e così, se \( – 1 < r < 0\) la sequenza converge e ha un limite di 0.
Caso 6 : \(r = – 1\)
In questo caso la sequenza è,
\
e si spera che sia chiaro che \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 1} \right)^n}\) non esiste. Ricordiamo che in ordine di questo limite di esistere i termini devono essere avvicinando un singolo valore come \ (n\) aumenta. In questo caso tuttavia i termini si alternano tra 1 e -1 e quindi il limite non esiste.
Quindi, la sequenza diverge per \(r = – 1\).
Caso 7: \(r < – 1\)
In questo caso non abbiamo intenzione di passare attraverso una prova completa. Vediamo cosa succede se lasciamo \(r = – 2\) per esempio. Se lo facciamo la sequenza diventa,
\
Quindi, se \(r = – 2\) otteniamo una sequenza di termini i cui valori si alternano nel segno e diventano sempre più grandi e così \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 2} \right)^n}\) non esiste. Non si assesta su un singolo valore quando\ (n\) aumenta né i termini si avvicinano TUTTI all’infinito. Quindi, la sequenza diverge per \(r = – 2\).
Potremmo fare qualcosa di simile per qualsiasi valore di \(r\) tale che \(r< – 1\) e quindi la sequenza diverge per \(r< – 1\).
Diamo un’occhiata a un paio di esempi di limiti di sequenze.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{3{n^2} – 1}}{{10n + 5{n^2}}}} \right\}_{n = 2}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
Mostra Tutte le Soluzioni Nascondere Tutte le Soluzioni
In questo caso, tutto quello che dobbiamo fare è richiamare il metodo che è stato sviluppato in Calcolo I per affrontare i limiti delle funzioni razionali. Vedi i limiti all’infinito, Parte I sezione del Calcolo I note per una revisione di questo se necessario.
Per fare un limite in questa forma tutto quello che dobbiamo fare è fattore dal numeratore e denominatore la più grande potenza di \(n\), annullare e quindi prendere il limite.
\
Quindi, la sequenza converge e il suo limite è \(\frac{3}{5}\).
b \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Mostra Soluzione
Dovremo stare attenti con questo. Dovremo usare la regola di L’Hospital su questa sequenza. Il problema è che la regola di L’Hospital funziona solo su funzioni e non su sequenze. Normalmente questo sarebbe un problema, ma abbiamo il Teorema 1 dall’alto per aiutarci. Definiamo
\
e notiamo che,
\
Teorema 1 dice che tutto ciò che dobbiamo fare è prendere il limite della funzione.
\
Quindi, la sequenza in questa parte diverge (a \(\infty \)).
Il più delle volte eseguiamo la Regola di L’Hospital sui termini della sequenza senza prima convertire in \(x\) poiché il lavoro sarà identico indipendentemente dal fatto che usiamo \(x\) o \(n\). Tuttavia, dovremmo davvero ricordare che tecnicamente non possiamo fare i derivati mentre trattiamo i termini di sequenza.
c \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Show Solution
Dovremo anche stare attenti con questa sequenza. Potremmo essere tentati di dire semplicemente che il limite dei termini della sequenza è zero (e saremmo corretti). Tuttavia, tecnicamente non possiamo prendere il limite delle sequenze i cui termini si alternano nel segno, perché non sappiamo come fare limiti di funzioni che mostrano lo stesso comportamento. Inoltre, vogliamo essere molto attenti a non fare troppo affidamento sull’intuizione con questi problemi. Come vedremo nella prossima sezione, e nelle sezioni successive, la nostra intuizione può portarci fuori strada in questi problemi se non stiamo attenti.
Quindi, lavoriamo questo secondo il libro. Avremo bisogno di usare il Teorema 2 su questo problema. Per questo dovremo prima calcolare,
\
Quindi, poiché il limite dei termini di sequenza con barre di valore assoluto su di essi va a zero sappiamo dal Teorema 2 che,
\
che significa anche che la sequenza converge a un valore di zero.
d \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Show Solution
Per questo teorema si noti che tutto ciò che dobbiamo fare è rendersi conto che questa è la sequenza del Teorema 3 sopra usando \(r = – 1\). Quindi, per Teorema 3 questa sequenza diverge.
Ora dobbiamo dare un avvertimento sull’uso improprio del Teorema 2. Il teorema 2 funziona solo se il limite è zero. Se il limite del valore assoluto dei termini della sequenza non è zero, il teorema non reggerà. L’ultima parte dell’esempio precedente è un buon esempio di questo (e in effetti questo avviso è l’intera ragione per cui quella parte è lì). Si noti che
\
eppure, \(\mathop {\lim} \limits_{n \to\infty} {\left( { – 1}\ right)^n}\) non esiste nemmeno per non parlare di uguale 1. Quindi, fai attenzione usando questo Teorema 2. Devi sempre ricordare che funziona solo se il limite è zero.
Prima di passare alla sezione successiva dobbiamo dare un altro teorema di cui avremo bisogno per una dimostrazione lungo la strada.
Teorema 4
Per la successione \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) se sia \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) e \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) quindi \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) è convergente e \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\).
Dimostrazione del teorema 4
Let \(\varepsilon> 0\).
Quindi, dato che \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) è \({N_1} > 0\) tale che se \(n > {N_1}\) sappiamo che,
\
allo stesso modo, poiché \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) è \({N_2} > 0\) tale che se \(n > {N_2}\) sappiamo che,
\
Ora, lasciate che \(N = \max \left\{ {2{N_1},2{N_2} + 1} \right\}\) e sia \(n >\N\). Quindi \({a_n} = a_ {{2k}}\) per alcuni \(k > {N_1}\) o \({a_n} = a_ {{2k + 1}}\) per alcuni \(k > {N_2}\) e quindi, in entrambi i casi abbiamo che,
\
Quindi, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) e quindi \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) è convergente.