Ellisse
Un’ellisse di solito sembra un cerchio schiacciato:
“F” è un focus, “G” è un focus,
e insieme sono chiamati fuochi.
(pronunciato “fo-sospiro”)
La distanza totale da F a P a G rimane lo stesso
In altre parole, si viaggia sempre alla stessa distanza quando si passa da:
- punto “F”
- per ogni punto dell’ellisse
- e poi su per il punto “G”
È Possibile Disegnare voi Stessi
Mettere due pin in una pensione, e quindi …
mettere un loop di stringa intorno a loro,
inserire una matita in loop,
tratto la corda in modo che formi un triangolo,
e disegnare una curva.
È un’ellisse!
Funziona perché la stringa forza naturalmente la stessa distanza da pin-to-pencil-to-other-pin.
Un cerchio è un’ellisse
In effetti un cerchio è un’ellisse, dove entrambi i fuochi sono nello stesso punto (il centro).
In altre parole, un cerchio è un “caso speciale” di un’ellisse. Regola delle ellissi!
Definizione
Un’ellisse è l’insieme di tutti i punti su un piano la cui distanza da due punti fissi F e G si sommano a una costante.
Assi maggiori e minori
L’asse Maggiore è il diametro più lungo. Va da un lato dell’ellisse, attraverso il centro, all’altro lato, nella parte più larga dell’ellisse. E l’Asse Minore è il diametro più corto (nella parte più stretta dell’ellisse).
L’asse Semi-maggiore è metà dell’Asse Maggiore e l’Asse Semi-minore è metà dell’asse Minore.
L’asse maggiore è uguale a f+g
Ricorda dall’alto come la distanza” f+g ” rimane la stessa per un’ellisse?
Bene f + g è uguale alla lunghezza dell’asse maggiore.
Riesci a pensare perché? (Prova a spostare il punto P in alto.)
Calcoli
Area è facile, perimetro non è!
Area
L’area di un’ellisse è:
π × a × b
dove a è la lunghezza dell’Asse Semi-maggiore e b è la lunghezza dell’Asse Semi-minore.
Fai attenzione: a e b sono dal centro verso l’esterno (non fino in fondo).
(Nota: per un cerchio, a e b sono uguali al raggio, e ottieni π × r × r = nr2, che è giusto!)
Approssimazione perimetrale
Stranamente, il perimetro di un’ellisse è molto difficile da calcolare, quindi ho creato una pagina speciale per l’argomento: leggi Perimetro di un’ellisse per maggiori dettagli.
Ma una semplice approssimazione che si trova all’interno di circa il 5% del valore reale (purché a non sia più di 3 volte più lungo di b) è la seguente:
Ricorda, questa è solo un’approssimazione approssimativa! (Ecco perché il “segno di uguale” è ondulato.)
Tangente
Una linea tangente tocca solo una curva in un punto, senza tagliarla.Ecco una tangente a un’ellisse:
Ecco una cosa interessante: la linea tangente ha angoli uguali con le due linee che vanno a ciascuna messa a fuoco!Prova a riunire i due punti di messa a fuoco (quindi l’ellisse è un cerchio)… cosa noti?
Riflessione
La luce o il suono che iniziano da un punto di messa a fuoco si riflettono sull’altro punto di messa a fuoco (perché l’angolo in corrisponde all’angolo fuori):
Gioca con un semplice modello computerizzato di riflessione all’interno di un’ellisse.
Eccentricità
L’eccentricità è una misura di quanto sia “non rotonda” l’ellisse.
La formula (utilizzando semi-major e semi-asse minore) è:
√(a2−b2)un
la Sezione di un Cono
Si può anche ottenere un’ellisse quando si fetta attraverso un cono (ma non troppo ripide, una fetta, o si ottiene una parabola o iperbole).
Infatti l’ellisse è una sezione conica (una sezione di un cono) con un’eccentricità compresa tra 0 e 1.
Equazione
Con l’immissione di un ellisse su un grafico x-y (con il suo asse maggiore sull’asse x e l’asse minore sull’asse y), l’equazione della curva è:
x2a2 + y2b2 = 1
(simile all’equazione dell’iperbole: x2/a2 − y2/b2 = 1, tranne che per un “+” al posto di “−”)
O siamo in grado di “equazioni parametriche”, in cui abbiamo un’altra variabile “t” e calcoliamo x e y da esso, come questo:
- x = a cos(t)
- y = b sin(t)
(Immagina solo che” t ” vada da 0° a 360°, quali valori x e y otterremmo?)