Ellisse

Un’ellisse di solito sembra un cerchio schiacciato:

“F” è un focus, “G” è un focus,
e insieme sono chiamati fuochi.
(pronunciato “fo-sospiro”)

La distanza totale da F a P a G rimane lo stesso

In altre parole, si viaggia sempre alla stessa distanza quando si passa da:

  • punto “F”
  • per ogni punto dell’ellisse
  • e poi su per il punto “G”

È Possibile Disegnare voi Stessi

Mettere due pin in una pensione, e quindi …


mettere un loop di stringa intorno a loro,

inserire una matita in loop,

tratto la corda in modo che formi un triangolo,

e disegnare una curva.
È un’ellisse!

Funziona perché la stringa forza naturalmente la stessa distanza da pin-to-pencil-to-other-pin.

Un cerchio è un’ellisse

In effetti un cerchio è un’ellisse, dove entrambi i fuochi sono nello stesso punto (il centro).

In altre parole, un cerchio è un “caso speciale” di un’ellisse. Regola delle ellissi!

Definizione

Un’ellisse è l’insieme di tutti i punti su un piano la cui distanza da due punti fissi F e G si sommano a una costante.

Assi maggiori e minori

L’asse Maggiore è il diametro più lungo. Va da un lato dell’ellisse, attraverso il centro, all’altro lato, nella parte più larga dell’ellisse. E l’Asse Minore è il diametro più corto (nella parte più stretta dell’ellisse).

L’asse Semi-maggiore è metà dell’Asse Maggiore e l’Asse Semi-minore è metà dell’asse Minore.

L’asse maggiore è uguale a f+g

Ricorda dall’alto come la distanza” f+g ” rimane la stessa per un’ellisse?

Bene f + g è uguale alla lunghezza dell’asse maggiore.

Riesci a pensare perché? (Prova a spostare il punto P in alto.)

Calcoli

Area è facile, perimetro non è!

Area

L’area di un’ellisse è:

π × a × b

dove a è la lunghezza dell’Asse Semi-maggiore e b è la lunghezza dell’Asse Semi-minore.

Fai attenzione: a e b sono dal centro verso l’esterno (non fino in fondo).

(Nota: per un cerchio, a e b sono uguali al raggio, e ottieni π × r × r = nr2, che è giusto!)

Approssimazione perimetrale

Stranamente, il perimetro di un’ellisse è molto difficile da calcolare, quindi ho creato una pagina speciale per l’argomento: leggi Perimetro di un’ellisse per maggiori dettagli.

Ma una semplice approssimazione che si trova all’interno di circa il 5% del valore reale (purché a non sia più di 3 volte più lungo di b) è la seguente:

Ricorda, questa è solo un’approssimazione approssimativa! (Ecco perché il “segno di uguale” è ondulato.)

Tangente

Una linea tangente tocca solo una curva in un punto, senza tagliarla.Ecco una tangente a un’ellisse:

Ecco una cosa interessante: la linea tangente ha angoli uguali con le due linee che vanno a ciascuna messa a fuoco!Prova a riunire i due punti di messa a fuoco (quindi l’ellisse è un cerchio)… cosa noti?

Riflessione

La luce o il suono che iniziano da un punto di messa a fuoco si riflettono sull’altro punto di messa a fuoco (perché l’angolo in corrisponde all’angolo fuori):

Gioca con un semplice modello computerizzato di riflessione all’interno di un’ellisse.

Eccentricità

L’eccentricità è una misura di quanto sia “non rotonda” l’ellisse.

La formula (utilizzando semi-major e semi-asse minore) è:

√(a2−b2)un

la Sezione di un Cono

Si può anche ottenere un’ellisse quando si fetta attraverso un cono (ma non troppo ripide, una fetta, o si ottiene una parabola o iperbole).

Infatti l’ellisse è una sezione conica (una sezione di un cono) con un’eccentricità compresa tra 0 e 1.

Equazione

Con l’immissione di un ellisse su un grafico x-y (con il suo asse maggiore sull’asse x e l’asse minore sull’asse y), l’equazione della curva è:

x2a2 + y2b2 = 1

(simile all’equazione dell’iperbole: x2/a2 − y2/b2 = 1, tranne che per un “+” al posto di “−”)

O siamo in grado di “equazioni parametriche”, in cui abbiamo un’altra variabile “t” e calcoliamo x e y da esso, come questo:

  • x = a cos(t)
  • y = b sin(t)

(Immagina solo che” t ” vada da 0° a 360°, quali valori x e y otterremmo?)



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