Il Teorema binomiale

Espansioni binomiali usando il Triangolo di Pascal

Considera le seguenti potenze espanse di (a + b)n, dove a + b è un binomio qualsiasi e n è un numero intero. Cerca i modelli.

Ogni espansione è un polinomio. Ci sono alcuni modelli da notare.

1. C’è un altro termine rispetto alla potenza dell’esponente, n. Cioè, ci sono termini nell’espansione di (a + b)n.

2. In ogni termine, la somma degli esponenti è n, la potenza a cui viene sollevato il binomio.

3. Gli esponenti di a iniziano con n, la potenza del binomio e diminuiscono a 0. L’ultimo termine non ha fattore di a. Il primo termine non ha fattore di b, quindi le potenze di b iniziano con 0 e aumentano a n.

4. I coefficienti iniziano da 1 e aumentano attraverso determinati valori a circa”metà” e quindi diminuiscono attraverso questi stessi valori fino a 1.

Esploriamo ulteriormente i coefficienti. Supponiamo di voler trovare un’espansione di (a + b)6. I modelli che abbiamo appena notato indicano che ci sono 7 termini nell’espansione:
a6 + c1a5b + c2a4b2 + c3a3b3 + c4a2b4 + c5ab5 + b6.
Come possiamo determinare il valore di ogni coefficiente, ci? Possiamo farlo in due modi. Il primo metodo prevede la scrittura dei coefficienti in una matrice triangolare, come segue. Questo è noto come triangolo di Pascal:

Ci sono molti modelli nel triangolo. Trova il maggior numero possibile.
Forse hai scoperto un modo per scrivere la riga successiva di numeri, dati i numeri nella riga sopra di esso. Ci sono sempre 1 all’esterno. Ogni numero rimanente è la somma dei due numeri sopra di esso. Cerchiamo di trovare un’espansione per (a + b)6 da aggiungere un’altra riga, utilizzando i modelli che hanno scoperto:

vediamo che nell’ultima riga

il 1 ° e ultimi numeri sono 1;
il 2 ° numero è 1 + 5, o 6;
il 3 ° numero è 5 + 10, o 15;
il 4 ° numero è 10 + 10, o 20;
il 5 ° numero è di 10 + 5 o 15; e
6 ° numero è 5 + 1 o 6.

Quindi l’espansione per (a + b)6 è
(a + b)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6.

Per trovare un’espansione per (a + b)8, completiamo altre due righe del triangolo di Pascal:

Quindi l’espansione di è
(a + b)8 = a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8.

Possiamo generalizzare i nostri risultati come segue.

Il teorema binomiale Usando il triangolo di Pascal

Per qualsiasi binomio a + b e qualsiasi numero naturale n,
(a + b)n = c0anb0 + c1an-1b1 + c2an-2b2 + …. + cn-1a1bn – 1 + cna0bn,
dove i numeri c0, c1, c2,…., cn-1, cn sono dalla riga (n + 1)-st del triangolo di Pascal.

Esempio 1 Espandi: (u-v) 5.

Soluzione Abbiamo (a + b)n, dove a = u, b = – v e n = 5. Usiamo la sesta riga del triangolo di Pascal:
1 5 10 10 5 1
Quindi abbiamo
(uv)5 = 5 = 1(u)5 + 5(u)4 (- v) 1 + 10 (u)3 (- v)2 + 10 (u)2 (- v)3 + 5 (u) (- v)4 + 1 (- v) 5 = u5 – 5u4v + 10u3v2-10u2v3 + 5uv4-v5.
Si noti che i segni dei termini si alternano tra + e -. Quando la potenza di-v è dispari, il segno è -.

Esempio 2 Espandi: (2t + 3/t)4.

Soluzione Abbiamo (a + b)n, dove a = 2t, b = 3 / t e n = 4. Usiamo la 5a riga del triangolo di Pascal:
1 4 6 4 1
Allora abbiamo

Espansione binomiale usando la notazione fattoriale

Supponiamo di voler trovare l’espansione di (a + b)11. Lo svantaggio nell’usare il triangolo di Pascal è che dobbiamo calcolare tutte le righe precedenti del triangolo per ottenere la riga necessaria per l’espansione. Il seguente metodo evita questo. Ci permette anche di trovare un termine specifico-diciamo, l’ottavo termine-senza calcolare tutti gli altri termini dell’espansione. Questo metodo è utile in corsi come matematica finita, calcolo e statistica e utilizza la notazione del coefficiente binomiale .
Possiamo ribadire il teorema binomiale come segue.

Il teorema binomiale che utilizza la notazione fattoriale

Per qualsiasi binomio (a + b) e qualsiasi numero naturale n,
.

Il teorema binomiale può essere dimostrato dall’induzione matematica. (CFR. Esercizio 63.) Questo modulo mostra perché è chiamato coefficiente binomiale.

Esempio 3 Espandi: (x2-2y)5.

Soluzione Abbiamo (a + b)n, dove a = x2, b = – 2y e n = 5. Quindi usando il teorema binomiale, abbiamo

Infine (x2 – 2y)5 = x10 – 10x8y + 40x6y2 – 80x4y3 + 80x2y4 – 32y5.

Esempio 4 Espandi: (2 / x + 3√x) 4.

Soluzione Abbiamo (a + b)n, dove a = 2 / x, b = 3√x e n = 4. Quindi usando il teorema binomiale, abbiamo

Infine (2/x + 3√x)4 = 16 / x4 + 96 / x5/2 + 216/x + 216×1/2 + 81×2.

Trovare un termine specifico

Supponiamo di voler determinare solo un particolare termine di un’espansione. Il metodo che abbiamo sviluppato ci permetterà di trovare un tale termine senza calcolare tutte le righe del triangolo di Pascal o tutti i coefficienti precedenti.

si noti che il teorema binomiale, ci dà il 1 ° termine, ci dà il 2 ° termine, ci dà il 3 ° termine, e così via. Questo può essere generalizzato come segue.

Trovare il termine (k + 1)-st

Il termine (k + 1)-st di (a + b)n è.

Esempio 5 Trova il 5 ° termine nell’espansione di (2x – 5y)6.

Soluzione In primo luogo, notiamo che 5 = 4 + 1. Quindi, k = 4, a = 2x, b = – 5y e n = 6. Quindi il 5 ° termine dell’espansione è

Esempio 6 Trova l’8 ° termine nell’espansione di (3x – 2)10.

Soluzione In primo luogo, notiamo che 8 = 7 + 1. Quindi, k = 7, a = 3x, b = -2 e n = 10. Quindi l’ottavo termine dell’espansione è

Numero totale di sottoinsiemi

Supponiamo che un set abbia n oggetti. Il numero di sottoinsiemi contenenti elementi k . Il numero totale di sottoinsiemi di un set è il numero di sottoinsiemi con 0 elementi, più il numero di sottoinsiemi con 1 elemento, più il numero di sottoinsiemi con 2 elementi e così via. Il numero totale di sottoinsiemi di un insieme con n elementi è
.
Ora considera l’espansione di (1 + 1)n:
.
Quindi il numero totale di sottoinsiemi è (1 + 1)n, o 2n. Abbiamo dimostrato quanto segue.

Numero totale di sottoinsiemi

Il numero totale di sottoinsiemi di un insieme con n elementi è 2n.

Esempio 7 L’insieme {A, B, C, D, E} ha quanti sottoinsiemi?

Soluzione Il set ha 5 elementi, quindi il numero di sottoinsiemi è 25 o 32.

Esempio 8 Wendy’s, una catena di ristoranti nazionale, offre i seguenti condimenti per i suoi hamburger:
{catsup, senape, maionese, pomodoro, lattuga, cipolle, sottaceto, gusto, formaggio}.
Quanti diversi tipi di hamburger possono servire Wendy’s, escluse le dimensioni dell’hamburger o il numero di polpette?

Soluzione I condimenti su ogni hamburger sono gli elementi di un sottoinsieme dell’insieme di tutti i condimenti possibili, il set vuoto è un semplice hamburger. Il numero totale di hamburger possibili è

Quindi Wendy’s serve hamburger in 512 modi diversi.