Odds
In statistica, le probabilità sono un’espressione delle probabilità relative, generalmente quotate come le probabilità a favore. Le probabilità (a favore) di un evento o di una proposizione sono il rapporto tra la probabilità che l’evento accada e la probabilità che l’evento non accada. Matematicamente, questo è un processo di Bernoulli, in quanto ha esattamente due risultati. Nel caso di uno spazio campione finito di risultati altrettanto probabili, questo è il rapporto tra il numero di risultati in cui si verifica l’evento e il numero di risultati in cui l’evento non si verifica; questi possono essere rappresentati come W e L (per Vittorie e sconfitte) o S e F (per Successo e Fallimento). Ad esempio, le probabilità che un giorno della settimana scelto a caso sia un fine settimana sono da due a cinque (2:5), poiché i giorni della settimana formano uno spazio campione di sette risultati e l’evento si verifica per due dei risultati (sabato e domenica) e non per gli altri cinque. Al contrario, date le probabilità come un rapporto di numeri interi, questo può essere rappresentato da uno spazio di probabilità di un numero finito di risultati altrettanto probabili. Queste definizioni sono equivalenti, poiché dividendo entrambi i termini nel rapporto per il numero di risultati si ottengono le probabilità: 2 : 5 = ( 2 / 7 ) : ( 5 / 7 ) . {\stile di visualizzazione 2:5=(2/7):(5/7).}
Al contrario, le probabilità contro è il rapporto opposto. Ad esempio, le probabilità rispetto a un giorno casuale della settimana che è un fine settimana sono 5:2.
le probabilità di vincita può essere espresso in prosa via le preposizioni a e in: “le probabilità di tanti a tanti (o contro)” si riferisce alla probabilità – il rapporto di numeri di (altrettanto probabile) risultati a favore e contro (o viceversa); “le probabilità di tanti , in tanti” si riferisce alla probabilità, il numero di (altrettanto come) risultati a favore in relazione al numero e contro combinato. Ad esempio,” le probabilità di un fine settimana sono da 2 a 5″, mentre”le probabilità di un fine settimana sono 2 su 7″. Nell’uso casuale, le parole odds e chances (o chance) sono spesso usate in modo intercambiabile per indicare vagamente una certa misura di probabilità o probabilità, anche se il significato previsto può essere dedotto notando se la preposizione tra i due numeri è to o in.
Relazioni matematichemodifica
Le quote possono essere espresse come un rapporto di due numeri, nel qual caso non è univoco – scalare entrambi i termini per lo stesso fattore non cambia le proporzioni: 1:1 odds e 100:100 odds sono uguali (pari odds). Le probabilità possono anche essere espresse come un numero, dividendo i termini nel rapporto – in questo caso è unico (diverse frazioni possono rappresentare lo stesso numero razionale). Le probabilità come rapporto, le probabilità come numero e la probabilità (anche un numero) sono correlate da semplici formule, e allo stesso modo le probabilità a favore e le probabilità contro, e la probabilità di successo e la probabilità di fallimento hanno relazioni semplici. Le probabilità vanno da 0 a infinito, mentre le probabilità vanno da 0 a 1, e quindi sono spesso rappresentate come una percentuale compresa tra 0% e 100%: invertendo il rapporto passa quote per con probabilità contro, e allo stesso modo probabilità di successo con probabilità di fallimento.
Data la probabilità (a favore) come il rapporto W:L (Vittorie:Perdite), le probabilità a favore (come numero) o f {\displaystyle o_{f}}
e probabilità contro (come numero) o {\displaystyle o_{a}}
può essere calcolato semplicemente dividendo, e sono inversi moltiplicativi: o f = W / L = 1 / o a o a = L / W = 1 / o f o f ⋅ r = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=W/L=1/o_{a}\\o_{a}&=L/W=1/o_{f}\\o_{f}\cdot o_{a}&=1\end{aligned}}}
Analogamente, data la probabilità come rapporto, la probabilità di successo o fallimento può essere calcolata dividendo, e le probabilità di successo e la probabilità di guasto somma di unità (uno), in quanto sono i soli possibili esiti. In caso di un numero finito di altrettanto probabile che i risultati, questo può essere interpretato come il numero di risultati in cui si verifica l’evento diviso per il numero totale di eventi:
p = W / ( L + L ) = 1 − q q = L / ( L + L ) = 1 − p p + q = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}p&=W/(L+L)=1-q\\q&=L/(L+L)=1-p\\p+q&=1\end{aligned}}}
Dato una probabilità p, la probabilità come rapporto p : q {\displaystyle p:q}
(probabilità di successo a probabilità di fallimento), e le probabilità come numeri possono essere calcolate dividendo: o f = p / q = p / ( 1 − p ) = ( 1 − q ) / q o = q / p = ( 1 − p ) / p = q / ( 1 − q ) {\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{aligned}}}
al contrario, data la probabilità che un numero o f , {\displaystyle o_{f},}
questo può essere rappresentato come rapporto o f : 1 , {\displaystyle o_{f}:1,}
o viceversa 1 : ( 1/o f ) = 1 : o a , {\displaystyle 1:(1/o_{f})=1:o_{a},}
da cui è possibile calcolare la probabilità di successo o fallimento: p = o / f ( o f + 1 ) = 1 / ( r + 1 ) q = r / ( r + 1 ) = 1 / ( o f + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}p&=o_{f}/(o_{f}+1)=1/(o_{a}+1)\\q&=o_{a}/(o_{a}+1)=1/(o_{f}+1)\end{aligned}}}
Quindi, se espresso come una frazione con numeratore 1, la probabilità e le probabilità differiscono da esattamente 1 al denominatore: una probabilità di 1 su 100 (1/100 = 1%) è la stessa probabilità di 1 a 99 (n. 1/99 = 0.0101… = 0.01), mentre le probabilità di 1 a 100 (1/100 = 0.01) è la stessa di una probabilità di 1 su 101 (1/101 = 0.00990099… = 0.0099). Questa è una differenza minore se la probabilità è piccola (vicino a zero, o “quote lunghe”), ma è una differenza importante se la probabilità è grande (vicino a uno).
Questi sono elaborati per alcune quote semplici:
| odds (ratio) | o f {\displaystyle o_{f}}
|
o a {\displaystyle o_{a}}
|
p {\displaystyle p}
 |
q {\displaystyle q}
 |
|---|---|---|---|---|
| 1:1 | 1 | 1 | 50% | 50% |
| 0:1 | 0 | ∞ | 0% | 100% |
| 1:0 | ∞ | 0 | 100% | 0% |
| 2:1 | 2 | 0.5 | 67% | 33% |
| 1:2 | 0.5 | 2 | 33% | 67% |
| 4:1 | 4 | 0.25 | 80% | 20% |
| 1:4 | 0.25 | 4 | 20% | 80% |
| 9:1 | 9 | 0.1 | 90% | 10% |
| 10:1 | 10 | 0.1 | 90.90% | 9.09% |
| 99:1 | 99 | 0.01 | 99% | 1% |
| 100:1 | 100 | 0.01 | 99.0099% | 0.9900% |
Queste trasformazioni hanno particolari proprietà geometriche: le conversioni tra probabilità e probabilità contro (risp. probabilità di successo con probabilità di fallimento) e tra probabilità e probabilità sono tutte le trasformazioni di Möbius (trasformazioni lineari frazionarie). Sono quindi specificati da tre punti (bruscamente 3-transitivi). Swapping odds for e odds against swaps 0 e infinity, fixing 1, mentre swapping probabilità di successo con probabilità di fallimento swap 0 e 1, fixing .5; questi sono entrambi ordine 2, quindi trasformazioni circolari. La conversione delle probabilità in correzioni di probabilità 0, invia infinito a 1 e invia 1 a .5 (anche le probabilità sono 50% probabile), e viceversa; questa è una trasformazione parabolica.
applicazionimodifica
Nella teoria della probabilità e nelle statistiche, le probabilità e i rapporti simili possono essere più naturali o più convenienti delle probabilità. In alcuni casi vengono utilizzati i log-odds, che è il logit della probabilità. Più semplicemente, le probabilità sono spesso moltiplicate o divise e log converte la moltiplicazione in addizione e la divisione in sottrazioni. Ciò è particolarmente importante nel modello logistico, in cui le log-odds della variabile target sono una combinazione lineare delle variabili osservate.
Rapporti simili sono usati altrove nelle statistiche; di importanza centrale è il rapporto di verosimiglianza nelle statistiche likelihoodist, che viene utilizzato nelle statistiche bayesiane come fattore di Bayes.
Le probabilità sono particolarmente utili nei problemi del processo decisionale sequenziale, come ad esempio nei problemi di come fermarsi (online) su un ultimo evento specifico che viene risolto dall’algoritmo delle probabilità.
Le probabilità sono un rapporto di probabilità; un rapporto di probabilità è un rapporto di probabilità, cioè un rapporto di rapporti di probabilità. Odds-ratio sono spesso utilizzati in analisi di studi clinici. Mentre hanno utili proprietà matematiche, possono produrre risultati contro-intuitivi: un evento con una probabilità dell ‘ 80% di verificarsi è quattro volte più probabile che accada di un evento con una probabilità del 20%, ma le probabilità sono 16 volte più alte sull’evento meno probabile (4-1 contro, o 4) rispetto a quello più probabile (1-4, o 4-1 su, o 0.25).
Esempio # 1 Ci sono 5 biglie rosa, 2 biglie blu e 8 biglie viola. Quali sono le probabilità a favore di scegliere un marmo blu?
Risposta: Le probabilità a favore di un marmo blu sono 2: 13. Si può equivalentemente dire, che le probabilità sono 13: 2 contro. Ci sono 2 su 15 possibilità a favore di blu, 13 su 15 contro blu.
Nella teoria della probabilità e statistica, in cui la variabile p è la probabilità a favore di un binario di un evento e la probabilità contro l’evento è quindi 1-p, la “probabilità” dell’evento sono il quoziente di due o p 1 − p {\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}
. Tale valore può essere considerato come la probabilità relativa che l’evento si verifichi, espressa come una frazione (se è inferiore a 1) o un multiplo (se è uguale o maggiore di uno) della probabilità che l’evento non si verifichi.
Nel primo esempio in alto, dicendo che le probabilità di una domenica sono “da uno a sei” o, meno comunemente, “un sesto” significa che la probabilità di scegliere una domenica in modo casuale è di un sesto la probabilità di non scegliere una domenica. Mentre la probabilità matematica di un evento ha un valore nell’intervallo da zero a uno, “le probabilità” a favore di quello stesso evento si trovano tra zero e infinito. Le probabilità rispetto all’evento con probabilità data come p sono 1 − p p {\displaystyle {\frac {1-p}{p}}}
. Le probabilità contro domenica sono 6:1 o 6/1 = 6. È 6 volte più probabile che un giorno casuale non sia una domenica.