Physics

Passiamo ora dalla considerazione delle forze che influenzano il movimento di un oggetto (come attrito e resistenza) a quelle che influenzano la forma di un oggetto. Se un bulldozer spinge un’auto contro un muro, l’auto non si muoverà ma cambierà notevolmente forma. Un cambiamento di forma dovuto all’applicazione di una forza è una deformazione. Anche le forze molto piccole sono note per causare una certa deformazione. Per piccole deformazioni, si osservano due caratteristiche importanti. Innanzitutto, l’oggetto ritorna alla sua forma originale quando la forza viene rimossa, cioè la deformazione è elastica per piccole deformazioni. In secondo luogo, la dimensione della deformazione è proporzionale alla forza—cioè, per piccole deformazioni, la legge di Hooke viene obbedita. Equazione In forma, la legge di Hooke è dato da

F = kΔL,

dove ∆ L è la quantità di deformazione (il cambiamento di lunghezza, per esempio), prodotta dalla forza F, e k è una costante di proporzionalità che dipende dalla forma e composizione dell’oggetto e la direzione della forza. Si noti che questa forza è una funzione della deformazione ΔL-non è costante come una forza di attrito cinetico è. Riorganizzando questo in

\displaystyle\Delta{L}=\frac{F}{k}

chiarisce che la deformazione è proporzionale alla forza applicata. La figura 1 mostra la relazione della legge di Hooke tra l’estensione ΔL di una molla o di un osso umano. Per metalli o molle, la regione retta in cui si riferisce la legge di Hooke è molto più grande. Le ossa sono fragili e la regione elastica è piccola e la frattura improvvisa. Alla fine uno stress abbastanza grande per il materiale causerà la rottura o la frattura.

Figura 1. Un grafico di deformazione ΔL rispetto alla forza applicata F. Il segmento rettilineo è la regione lineare in cui viene obbedita la legge di Hooke. La pendenza della regione retta è \ frac{1} {k}. Per forze più grandi, il grafico è curvo ma la deformazione è ancora elastica—ΔL tornerà a zero se la forza viene rimossa. Forze ancora maggiori deformano permanentemente l’oggetto fino a quando non si rompe definitivamente. La forma della curva vicino alla frattura dipende da diversi fattori, incluso il modo in cui viene applicata la forza F. Si noti che in questo grafico la pendenza aumenta appena prima della frattura, indicando che un piccolo aumento di F sta producendo un grande aumento di L vicino alla frattura.

La costante di proporzionalità k dipende da una serie di fattori per il materiale. Ad esempio, una corda di chitarra in nylon si estende quando viene stretta e l’allungamento ΔL è proporzionale alla forza applicata (almeno per piccole deformazioni). Le corde di nylon più spesse e quelle in acciaio si allungano meno per la stessa forza applicata, il che implica che hanno una k più grande (vedi Figura 2). Infine, tutte e tre le stringhe ritornano alle loro lunghezze normali quando la forza viene rimossa, a condizione che la deformazione sia piccola. La maggior parte dei materiali si comporterà in questo modo se la deformazione è inferiore a circa lo 0,1% o circa 1 parte su 103.

Figura 2. La stessa forza, in questo caso un peso (w), applicata a tre diverse corde di chitarra di identica lunghezza produce le tre diverse deformazioni mostrate come segmenti ombreggiati. La corda a sinistra è in nylon sottile, quella al centro è in nylon più spessa e quella a destra è in acciaio.

Consideriamo ora tre tipi specifici di deformazioni: variazioni di lunghezza (tensione e compressione), taglio laterale (stress) e variazioni di volume. Si presume che tutte le deformazioni siano piccole se non diversamente indicato.

Variazioni di lunghezza-Tensione e compressione: Modulo elastico

Una variazione di lunghezza ΔL viene prodotta quando una forza viene applicata a un filo o un’asta parallela alla sua lunghezza L0, allungandola (una tensione) o comprimendola. (Vedi Figura 3.)

Figura 3. (tensione. L’asta viene allungata di una lunghezza ΔL quando viene applicata una forza parallela alla sua lunghezza. (b) Compressione. La stessa asta è compressa da forze con la stessa grandezza nella direzione opposta. Per deformazioni molto piccole e materiali uniformi, ΔL è approssimativamente lo stesso per la stessa grandezza di tensione o compressione. Per deformazioni più grandi, l’area della sezione trasversale cambia man mano che l’asta viene compressa o allungata.

Gli esperimenti hanno dimostrato che la variazione di lunghezza (ΔL) dipende solo da poche variabili. Come già notato, ΔL è proporzionale alla forza F e dipende dalla sostanza da cui è fatto l’oggetto. Inoltre, la variazione di lunghezza è proporzionale alla lunghezza originale L0 e inversamente proporzionale all’area della sezione trasversale del filo o dell’asta. Ad esempio, una corda di chitarra lunga si allungherà più di una corta e una corda spessa si allungherà meno di una sottile. Possiamo combinare tutti questi fattori in un’equazione per ΔL:

\displaystyle\Delta{L}=\frac{1}{Y}\text{ }\frac{F}{A}L_0,

dove ∆ L è il cambiamento di lunghezza, F la forza applicata, Y è un fattore, chiamato modulo di elasticità o modulo di Young, che dipende dalla sostanza, A è l’area della sezione trasversale, e L0 è la lunghezza originale. Tabella 1 elenca i valori di Y per diversi materiali-quelli con una grande Y sono detto di avere una grande resistenza alla trazione perché deformano meno per una data tensione o compressione.

Young moduli non sono elencati per liquidi e gas nella Tabella 1, in quanto non può essere allungato o compresso in una sola direzione. Si noti che si presume che l’oggetto non acceleri, quindi ci sono in realtà due forze applicate di grandezza F che agiscono in direzioni opposte. Ad esempio, le stringhe in Figura 3 vengono tirate giù da una forza di magnitudine w e trattenute dal soffitto, che esercita anche una forza di magnitudine w.

Esempio 1. Il tratto di un cavo lungo

I cavi di sospensione vengono utilizzati per trasportare le gondole nelle stazioni sciistiche. (Vedi Figura 4) Si consideri un cavo di sospensione che include una campata non supportata di 3 km. Calcolare la quantità di tratto nel cavo d’acciaio. Supponiamo che il cavo abbia un diametro di 5,6 cm e che la tensione massima che può sopportare sia 3,0 × 106N.

Figura 4. Le gondole viaggiano lungo i cavi di sospensione presso la stazione sciistica di Gala Yuzawa in Giappone. (credito: Rudy Herman, Flickr)

Strategia

La forza è uguale alla tensione massima, o F = 3,0 × 106N. L’area della sezione trasversale è nr2 = 2,46 × 10-3 m2. L’equazione \ displaystyle \ Delta{L}= \ frac{1} {Y}\text {} \frac{F} {A} L_0 può essere utilizzata per trovare la variazione di lunghezza.

Soluzione

Tutte le quantità sono note. Così,

\begin{array}{lll}\Delta L&& \left(\frac{1}{\text{210}\times {\text{10}}^{9}{\text{N/m}}^{2}}\right)\left(\frac{3\text{.}0\times {\text{10}}^{6}\text{N}}{2.46\times {10}^{-3}{\text{m}}^{2}}\right)\left(\text{3020 m}\right)\\ && \text{18 m}.\ end{array}

Discussione

Questo è un bel tratto, ma solo circa lo 0,6% della lunghezza non supportata. Gli effetti della temperatura sulla lunghezza potrebbero essere importanti in questi ambienti.

Le ossa, nel complesso, non si fratturano a causa di tensione o compressione. Piuttosto generalmente si fratturano a causa di un impatto laterale o di una flessione, con conseguente taglio o rottura dell’osso. Il comportamento delle ossa sotto tensione e compressione è importante perché determina il carico che le ossa possono trasportare. Le ossa sono classificate come strutture portanti come colonne in edifici e alberi. Le strutture portanti hanno caratteristiche speciali; le colonne nell’edificio hanno barre di rinforzo in acciaio mentre gli alberi e le ossa sono fibrosi. Le ossa in diverse parti del corpo servono diverse funzioni strutturali e sono soggette a diversi stress. Così l’osso nella parte superiore del femore è disposto in fogli sottili separati dal midollo mentre in altri luoghi le ossa possono essere cilindriche e riempite di midollo o semplicemente solide. Le persone in sovrappeso hanno una tendenza al danno osseo a causa di compressioni sostenute nelle articolazioni ossee e nei tendini.

Un altro esempio biologico della legge di Hooke si verifica nei tendini. Funzionalmente, il tendine (il tessuto che collega il muscolo all’osso) deve allungarsi facilmente all’inizio quando viene applicata una forza, ma offrire una forza di ripristino molto maggiore per una maggiore tensione. La figura 5 mostra una relazione stress-tensione per un tendine umano. Alcuni tendini hanno un alto contenuto di collagene, quindi c’è relativamente poco sforzo o cambiamento di lunghezza; altri, come i tendini di supporto (come nella gamba) possono cambiare lunghezza fino al 10%. Si noti che questa curva stress-deformazione non è lineare, poiché la pendenza della linea cambia in diverse regioni. Nella prima parte del tratto chiamato regione della punta, le fibre nel tendine iniziano ad allinearsi nella direzione dello stress—questo è chiamato uncrimping. Nella regione lineare, le fibrille saranno allungate e nella regione di guasto le singole fibre iniziano a rompersi. Un semplice modello di questa relazione può essere illustrato da molle in parallelo: diverse molle vengono attivate a diverse lunghezze di allungamento. Esempi di questo sono riportati nei problemi alla fine di questo capitolo. I legamenti (tessuto che collega l’osso all’osso) si comportano in modo simile.

Figura 5. Curva tipica di sforzo-sforzo per il tendine del mammifero. Sono mostrate tre regioni: (1) regione di punta (2) regione lineare e (3) regione di guasto.

A differenza delle ossa e dei tendini, che devono essere forti e elastici, le arterie e i polmoni devono essere molto estensibili. Le proprietà elastiche delle arterie sono essenziali per il flusso sanguigno. La pressione nelle arterie aumenta e le pareti arteriose si allungano quando il sangue viene pompato fuori dal cuore. Quando la valvola aortica si chiude, la pressione nelle arterie diminuisce e le pareti arteriose si rilassano per mantenere il flusso sanguigno. Quando senti il tuo polso, ti senti esattamente questo-il comportamento elastico delle arterie mentre il sangue sgorga attraverso ogni pompa del cuore. Se le arterie fossero rigide, non sentiresti un polso. Il cuore è anche un organo con speciali proprietà elastiche. I polmoni si espandono con sforzo muscolare quando respiriamo, ma rilassano liberamente ed elasticamente quando espiriamo. Le nostre pelli sono particolarmente elastiche, soprattutto per i giovani. Un giovane può andare da 100 kg a 60 kg senza cedimenti visibili nella pelle. L’elasticità di tutti gli organi si riduce con l’età. L’invecchiamento fisiologico graduale attraverso la riduzione dell’elasticità inizia nei primi anni ‘ 20.

L’equazione per il cambiamento di lunghezza è tradizionalmente riorganizzata e scritta nella seguente forma:

\displaystyle\frac{F}{A}=Y\frac{\Delta{L}}{L_0}.

Il rapporto tra forza e area, \frac{F}{A}, è definito come stress (misurato in N/m2) e il rapporto tra la variazione di lunghezza e lunghezza, \frac{\Delta{L}}{L_0}, è definito come sforzo (una quantità senza unità). In altre parole, stress = Y × ceppo.

In questa forma, l’equazione è analoga alla legge di Hooke, con lo stress analogo alla forza e lo sforzo analogo alla deformazione. Se abbiamo di nuovo riorganizzare questa equazione in forma

\displaystyle{F}=YA\frac{\Delta{L}}{L_0},

si vede che è la stessa legge di Hooke con una costante di proporzionalità

\displaystyle{k}=\frac{YA}{L_0}.

Questa idea generale—che la forza e la deformazione che provoca sono proporzionali per piccole deformazioni—si applica alle variazioni di lunghezza, alla flessione laterale e alle variazioni di volume.

Sollecitazione laterale: Modulo di taglio

La figura 6 illustra cosa si intende per sollecitazione laterale o forza di taglio. Qui la deformazione è chiamata Δx ed è perpendicolare a L0, piuttosto che parallela come con tensione e compressione. La deformazione del taglio si comporta in modo simile alla tensione e alla compressione e può essere descritta con equazioni simili. L’espressione per la deformazione di taglio è \displaystyle\Delta{x}=\frac{1}{S}\frac{F}{A}L_0, dove S è il modulo di taglio (vedi Tabella 1) e F è la forza applicata perpendicolarmente a L0 e in parallelo con l’area della sezione trasversale A. Volta, di mantenere l’oggetto dell’accelerazione, ci sono in realtà due, uguali e opposte forze F applicata facce, come illustrato nella Figura 6. L’equazione è logica: ad esempio, è più facile piegare una matita lunga e sottile (piccola A) rispetto a una corta e spessa, ed entrambe sono più facilmente piegate rispetto a barre di acciaio simili (grandi S).

Figura 6. Le forze di taglio vengono applicate perpendicolarmente alla lunghezza L0 e parallelamente all’area A, producendo una deformazione Δx. Le forze verticali non sono mostrate, ma va tenuto presente che oltre alle due forze di taglio, F, devono esserci forze di supporto per impedire all’oggetto di ruotare. Gli effetti distorsivi di queste forze di supporto sono ignorati in questo trattamento. Anche il peso dell’oggetto non viene mostrato, poiché di solito è trascurabile rispetto a forze abbastanza grandi da causare deformazioni significative.

la valutazione del taglio moduli in Tabella 1 mostra alcuni raccontare i modelli. Ad esempio, i moduli di taglio sono inferiori ai moduli di Young per la maggior parte dei materiali. L’osso è un’eccezione notevole. Il suo modulo di taglio non è solo maggiore del modulo di Young, ma è grande quanto quello dell’acciaio. Questa è una ragione per cui le ossa possono essere lunghe e relativamente sottili. Le ossa possono sostenere carichi paragonabili a quelli del calcestruzzo e dell’acciaio. La maggior parte delle fratture ossee non sono causate da compressione, ma da eccessiva torsione e flessione.

La colonna vertebrale (composta da 26 segmenti vertebrali separati da dischi) fornisce il supporto principale per la testa e la parte superiore del corpo. La colonna vertebrale ha una curvatura normale per la stabilità, ma questa curvatura può essere aumentata, portando ad un aumento delle forze di taglio sulle vertebre inferiori. I dischi resistono meglio alle forze di compressione rispetto alle forze di taglio. Poiché la colonna vertebrale non è verticale, il peso della parte superiore del corpo esercita alcuni di entrambi. Le donne incinte e le persone in sovrappeso (con grandi addominali) devono spostare le spalle indietro per mantenere l’equilibrio, aumentando così la curvatura della colonna vertebrale e aumentando così la componente di taglio dello stress. Un angolo aumentato a causa di una maggiore curvatura aumenta le forze di taglio lungo il piano. Queste forze di taglio più elevate aumentano il rischio di lesioni alla schiena attraverso dischi rotti. Il disco lombosacrale (il disco a forma di cuneo sotto le ultime vertebre) è particolarmente a rischio a causa della sua posizione.

I moduli di taglio per calcestruzzo e mattoni sono molto piccoli; sono troppo variabili per essere elencati. Il calcestruzzo utilizzato negli edifici può resistere alla compressione, come nei pilastri e negli archi, ma è molto povero contro il taglio, come si potrebbe incontrare nei pavimenti pesantemente caricati o durante i terremoti. Le strutture moderne sono state rese possibili dall’uso di acciaio e cemento armato. Quasi per definizione, liquidi e gas hanno moduli di taglio vicini allo zero, perché fluiscono in risposta alle forze di taglio.

Esempio 3. Calcolo Forza necessaria per deformare: Quel chiodo non si piega molto sotto un carico

Trovare la massa del quadro appeso ad un chiodo in acciaio come mostrato in Figura 7, dato che il chiodo si piega solo 1,80 µm. (Supponiamo che il modulo di taglio sia noto a due figure significative.)

Figura 7. Vista laterale di un’unghia con un’immagine appesa da esso. L’unghia si flette leggermente (mostrata molto più grande dell’effettiva) a causa dell’effetto di taglio del peso supportato. Viene anche mostrata la forza verso l’alto del muro sull’unghia, che illustra che ci sono forze uguali e opposte applicate su sezioni trasversali opposte dell’unghia. Vedere l’esempio 3 per un calcolo della massa dell’immagine.

Strategia

La forza F sull’unghia (trascurando il peso dell’unghia) è il peso dell’immagine w. Se riusciamo a trovare w, la massa dell’immagine è solo \frac{w}{g}. L’equazione \displaystyle\Delta{x}=\frac{1}{S}\frac{F}{A}L_0 può essere risolto per F.

Soluzione

Risolvere l’equazione \displaystyle\Delta{x}=\frac{1}{S}\frac{F}{A}L_0 per F, vediamo che tutte le altre quantità può essere trovato:

\displaystyle{F}=\frac{SA}{L_0}\Delta{x}

S Tabella 1 e S = 80 × 109 N/m2. Il raggio r è 0,750 mm (come si vede nella figura), quindi l’area della sezione trasversale è A = nr2 = 1,77 × 10-6 m2.

Il valore per L0 è anche mostrato in figura. Così,

\displaystyle{F}=\frac{\left(80\times10^9\text{ N/m}^2\right)\left(1.77\times10^{-6}\text{ m}^2\right)}{\left(5.00\times10^{-3}\text{ m}\right)}\left(1.80\times10^{-6}\text{ m}\right)=51\text{ N}

Questo 51 N forza è il peso w del quadro, in modo che il quadro massa è m=\frac{r}{g}=\frac{F}{g}=5.2\text{ kg}.

Discussione

Questa è un’immagine abbastanza massiccia, ed è impressionante che l’unghia fletta solo 1,80 µm—una quantità non rilevabile a occhio nudo.

Variazioni di volume: Modulo di massa

Un oggetto verrà compresso in tutte le direzioni se le forze interne vengono applicate uniformemente su tutte le sue superfici come in Figura 8. È relativamente facile comprimere i gas ed estremamente difficile comprimere liquidi e solidi. Ad esempio, l’aria in una bottiglia di vino viene compressa quando viene tappata. Ma se si tenta di tappare una bottiglia piena di tesa, non è possibile comprimere il vino – alcuni devono essere rimossi se il tappo deve essere inserito. La ragione di queste diverse compressibilità è che atomi e molecole sono separati da grandi spazi vuoti nei gas ma imballati vicini tra loro in liquidi e solidi. Per comprimere un gas, è necessario forzare i suoi atomi e molecole più vicini. Per comprimere liquidi e solidi, devi effettivamente comprimere i loro atomi e molecole, e forze elettromagnetiche molto forti in essi si oppongono a questa compressione.

Figura 8. Una forza interna su tutte le superfici comprime questo cubo. La sua variazione di volume è proporzionale alla forza per unità di area e al suo volume originale ed è correlata alla comprimibilità della sostanza.

Possiamo descrivere la compressione o la deformazione del volume di un oggetto con un’equazione. Innanzitutto, notiamo che una forza “applicata uniformemente” è definita per avere lo stesso stress o rapporto tra forza e area \frac{F}{A} su tutte le superfici. La deformazione prodotta è un cambiamento nel volume ΔV, che si trova a comportarsi in modo molto simile al taglio, alla tensione e alla compressione precedentemente discussi. (Questo non è sorprendente, poiché una compressione dell’intero oggetto equivale a comprimere ciascuna delle sue tre dimensioni.) La relazione della variazione di volume con altre grandezze fisiche è data da \displaystyle \ Delta{V}= \ frac{1} {B} \ frac{F} {A}V_0, dove B è il modulo di massa (vedi Tabella 1), V0 è il volume originale e \frac{F}{A} è la forza per unità di area applicata uniformemente verso l’interno su tutte le superfici. Si noti che non vengono forniti moduli sfusi per i gas.

Quali sono alcuni esempi di compressione alla rinfusa di solidi e liquidi? Un esempio pratico è la produzione di diamanti industriali comprimendo il carbonio con una forza estremamente elevata per unità di superficie. Gli atomi di carbonio riorganizzano la loro struttura cristallina nel modello più strettamente imballato di diamanti. In natura, un processo simile si verifica in profondità, dove forze estremamente grandi derivano dal peso del materiale sovrastante. Un’altra fonte naturale di grandi forze di compressione è la pressione creata dal peso dell’acqua, specialmente nelle parti profonde degli oceani. L’acqua esercita una forza interiore su tutte le superfici di un oggetto sommerso e persino sull’acqua stessa. A grandi profondità, l’acqua viene compressa misurabilmente, come illustra il seguente esempio.

Al contrario, forze molto grandi vengono create da liquidi e solidi quando cercano di espandersi ma sono costretti a farlo, il che equivale a comprimerli a meno del loro volume normale. Ciò si verifica spesso quando un materiale contenuto si riscalda, poiché la maggior parte dei materiali si espande quando la loro temperatura aumenta. Se i materiali sono strettamente vincolati, deformano o rompono il loro contenitore. Un altro esempio molto comune si verifica quando l’acqua si congela. L’acqua, a differenza della maggior parte dei materiali, si espande quando si congela e può facilmente fratturare un masso, rompere una cellula biologica o rompere un blocco motore che si intromette.

Altri tipi di deformazioni, come la torsione o la torsione, si comportano in modo analogo alle deformazioni di tensione, taglio e massa considerate qui.

Sezione di Riepilogo

• la legge di Hooke è data da F=k\Delta{L} dove \Delta{L} è la quantità di deformazione (il cambiamento di lunghezza), F è la forza applicata, e k è una costante di proporzionalità che dipende dalla forma e composizione dell’oggetto e la direzione della forza. Il rapporto tra la deformazione e la forza applicata può anche essere scritto come \displaystyle\Delta L=\frac{1}{Y}\frac{F}{A}{L}_{0}, dove Y è il modulo di Young, che dipende dalla sostanza, A è l’area della sezione trasversale, e {L}_{0} è la lunghezza originale.
• Il rapporto tra forza e area, \ frac{F} {A}, è definito come stress, misurato in N / m2.
• Il rapporto tra la variazione di lunghezza e lunghezza, \ frac{\Delta L} {{L} _ {0}}, è definito come ceppo (una quantità senza unità). In altre parole, \ text {stress} = Y \ times \ text{strain}.
• L’espressione per la deformazione da taglio è \displaystyle\Delta x=\frac{1}{S}\frac{F}{A}{L}_{0}, dove S è il modulo di taglio e F è la forza applicata perpendicolarmente a {L}_{\text{0}} e parallela all’area della sezione trasversale A.
• Il rapporto della variazione del volume di altre grandezze fisiche è dato da \displaystyle\Delta V=\frac{1}{B}\frac{F}{A}{V}_{0}, dove B è il modulo di compressibilità, {V}_{\text{0}} è il volume originale, e \frac{F}{A} è la forza per unità di superficie applicata in modo uniforme verso l’interno su tutte le superfici.

Problemi& Esercizi

1. Durante un atto circense, un esecutore oscilla a testa in giù appeso a un trapezio tenendo un altro, anche a testa in giù, esecutore per le gambe. Se la forza ascendente sull’esecutore inferiore è tre volte il suo peso, quanto si allungano le ossa (i femori) nella parte superiore delle gambe? Si può supporre che ciascuno sia equivalente a un’asta uniforme lunga 35,0 cm e con un raggio di 1,80 cm. La sua massa è di 60,0 kg.
2. Durante un incontro di wrestling, un lottatore di 150 kg si trova brevemente su una mano durante una manovra progettata per confondere il suo già moribondo avversario. Di quanto si accorcia l’osso del braccio superiore in lunghezza? L’osso può essere rappresentato da un’asta uniforme di 38,0 cm di lunghezza e 2,10 cm di raggio.
3. (a) Il “piombo” nelle matite è una composizione di grafite con modulo di Young di circa 1 × 109 N/m2. Calcola la variazione di lunghezza del piombo in una matita automatica se lo tocchi direttamente nella matita con una forza di 4,0 N. Il piombo ha un diametro di 0,50 mm e una lunghezza di 60 mm. (b) La risposta è ragionevole? Cioè, sembra essere coerente con ciò che hai osservato quando usi le matite?
4. Le antenne di trasmissione TV sono le strutture artificiali più alte della Terra. Nel 1987, un fisico di 72,0 kg mise se stesso e 400 kg di equipaggiamento in cima a un’antenna alta 610 m per eseguire esperimenti di gravità. Di quanto è stata compressa l’antenna, se la consideriamo equivalente a un cilindro di acciaio di 0,150 m di raggio?
5. (a) Di quanto un alpinista di 65,0 kg allunga la sua corda di nylon di 0,800 cm di diametro quando si blocca 35,0 m sotto una roccia affiorante? (b) Sembra che la risposta sia coerente con ciò che avete osservato per le corde di nylon? Avrebbe senso se la corda fosse in realtà una corda elastica?
6. Un pennone in alluminio cavo alto 20,0 m equivale in rigidità a un cilindro solido di 4,00 cm di diametro. Un forte vento piega il palo come farebbe una forza orizzontale di 900 N esercitata in alto. Quanto lontano al lato fa la parte superiore del palo flex?
7. Mentre un pozzo di petrolio è perforato, ogni nuova sezione del tubo di trivellazione sostiene il proprio peso e quello del tubo e del tagliente sotto esso. Calcola il tratto in un nuovo 6.00 m di lunghezza del tubo in acciaio che supporta 3,00 km di tubo con una massa di 20,0 kg / m e una punta da 100 kg. Il tubo è equivalente in rigidità a un cilindro solido di 5,00 cm di diametro.
8. Calcola la forza che un accordatore di pianoforte applica per allungare un filo di pianoforte in acciaio di 8,00 mm, se il filo è originariamente di 0,850 mm di diametro e 1,35 m di lunghezza.
9. Una vertebra è sottoposta a una forza di taglio di 500 N. Trova la deformazione di taglio, portando la vertebra ad essere un cilindro alto 3,00 cm e di 4,00 cm di diametro.
10. Un disco tra le vertebre della colonna vertebrale è sottoposto a una forza di taglio di 600 N. Trova la sua deformazione di taglio, portandola ad avere il modulo di taglio di 1 × 109 N / m2. Il disco è equivalente a un cilindro solido di 0,700 cm di altezza e 4,00 cm di diametro.
11. Quando si utilizza una gomma da matita, si esercita una forza verticale di 6,00 N ad una distanza di 2,00 cm dal giunto di gomma dura. La matita ha un diametro di 6,00 mm ed è tenuta con un angolo di 20,0 º rispetto all’orizzontale. (a) Di quanto il legno si piega perpendicolarmente alla sua lunghezza? (b) Quanto è compresso longitudinalmente?
12. Per considerare l’effetto dei fili appesi ai pali, prendiamo i dati dalla Figura 9, in cui sono state calcolate le tensioni nei fili che sostengono un semaforo. Il filo sinistro ha un angolo di 30,0 º sotto l’orizzontale con la parte superiore del suo palo e ha una tensione di 108 N. Il palo di alluminio cavo alto 12,0 m è equivalente in rigidità a un cilindro solido di 4,50 cm di diametro. (a) Fino a che punto è piegato di lato? (b) Di quanto è compresso?
    

    Figura 9. Un semaforo è sospeso da due fili. (b) Alcune delle forze coinvolte. (c) Qui sono mostrate solo le forze che agiscono sul sistema. Viene anche mostrato lo schema a corpo libero per il semaforo. d) Le forze proiettate sugli assi verticale (y) e orizzontale (x). Le componenti orizzontali delle tensioni devono annullarsi e la somma delle componenti verticali delle tensioni deve essere uguale al peso del semaforo. e) Il diagramma a corpo libero mostra le forze verticali e orizzontali che agiscono sul semaforo.

13. Un contadino che produce succo d’uva riempie una bottiglia di vetro fino all’orlo e la chiude ermeticamente. Il succo si espande più del vetro quando si scalda, in modo tale che il volume aumenti dello 0,2% (cioè \frac{\Delta V}{V}_{0}=2\times {\text{10}}^{-3}) rispetto allo spazio disponibile. Calcola l’entità della forza normale esercitata dal succo per centimetro quadrato se il suo modulo di massa è 1,8 × 109 N/m2, supponendo che la bottiglia non si rompa. In considerazione della tua risposta, pensi che la bottiglia sopravviverà?
14. (a) Quando l’acqua si congela, il suo volume aumenta del 9,05% (cioè, \frac{\Delta V}{V}_{0}=9\text{.} \ text{05}\times {\text{10}}^{-2}). Quale forza per unità di superficie è in grado di esercitare l’acqua su un contenitore quando si congela? (È accettabile utilizzare il modulo di massa dell’acqua in questo problema.) (b) Sorprende che tali forze possano fratturare blocchi motore, massi e simili?
15. Questo problema ritorna al funambolo studiato in Figura 10, che ha creato una tensione di 3,94 × 103 N in un filo facendo un angolo 5,0 º sotto l’orizzontale con ogni palo di supporto. Calcola quanto questa tensione allunga il filo di acciaio se originariamente era lungo 15 m e di 0,50 cm di diametro.
    

    Figura 10. il peso di un funambolo provoca un abbassamento del filo di 5,0 gradi. Il sistema di interesse qui è il punto del filo in cui si trova il funambolo.

16. Il polo in Figura 11 si trova ad una curva di 90,0 º in una linea elettrica ed è quindi sottoposto a più forza di taglio rispetto ai poli in parti diritte della linea. La tensione in ogni linea è 4,00 × 104 N, agli angoli mostrati. Il palo è alto 15,0 m, ha un diametro di 18,0 cm e può essere considerato avere la metà della rigidità del legno duro. (a) Calcolare la compressione del palo. (b) Trova quanto si piega e in quale direzione. (c) Trovi la tensione in un cavo del ragazzo usato per tenere il palo diritto se è attaccato alla cima del palo ad un angolo di 30.0 º con la verticale. (Chiaramente, il filo del ragazzo deve essere nella direzione opposta della curva.)

Figura 11. Questo palo del telefono è ad una curva di 90º in una linea elettrica. Un filo di guy è attaccato alla parte superiore del palo con un angolo di 30º con la verticale.

Glossario

la forza di trascinamento: FD, trovato per essere proporzionale al quadrato della velocità dell’oggetto; matematicamente

\begin{array}\\F_{\text{D}}\propto{v}^2\\F_{\text{D}}=\frac{1}{2}C\rho{Av}^2\end{array},

dove C è il coefficiente di resistenza, A è l’area dell’oggetto di fronte a fluido, e r è la densità del fluido.

Legge di Stokes: Fs = 6nrnv, dove r è il raggio dell’oggetto, η è la viscosità del fluido e v è la velocità dell’oggetto.

Soluzioni ai problemi& Esercizi

1. 1,90 × 10-3 cm

3. (a) 1 mm; (b) Questo sembra ragionevole, dal momento che il piombo sembra ridursi un po ‘ quando si preme su di esso.

5. (a)9 cm; (b) Questo sembra ragionevole per la corda da arrampicata in nylon, dal momento che non dovrebbe allungarsi più di tanto.

7. 8,59 mm

9. 1,49 × 10-7 m

11. a) 3,99 × 10-7 m; b) 9,67 × 10-8 m

13. 4 × 106 N / m2. Si tratta di circa 36 atm, maggiore di un tipico barattolo in grado di sopportare.

15. 1,4 cm

1. Valori approssimativi e medi. I moduli di Young per la tensione e la compressione a volte differiscono ma sono mediati qui. L’osso ha moduli di Young significativamente diversi per tensione e compressione. ↵