Sistema di coordinate cartesiane
In matematica, il sistema di coordinate cartesiane (o sistema di coordinate rettangolari) viene utilizzato per determinare ciascun punto in modo univoco in un piano attraverso due numeri, solitamente chiamati la coordinata x e la coordinata y del punto. Per definire le coordinate, vengono specificate due linee dirette perpendicolari (l’asse x o ascissa e l’asse y o ordinata), così come la lunghezza unitaria, che è contrassegnata sui due assi (vedi Figura 1). I sistemi di coordinate cartesiane sono utilizzati anche nello spazio (dove vengono utilizzate tre coordinate) e in dimensioni superiori.
Usando il sistema di coordinate cartesiane, le forme geometriche (come le curve) possono essere descritte da equazioni algebriche, vale a dire equazioni soddisfatte dalle coordinate dei punti che si trovano sulla forma. Ad esempio, un cerchio di raggio 2 può essere descritto dall’equazione x2 + y2 = 4 (vedi Figura 2).
Storia
Cartesiano significa relativo al matematico e filosofo francese René Descartes (Latino: Cartesio), che, tra le altre cose, ha lavorato per fondere algebra e geometria euclidea. Questo lavoro è stato influente nello sviluppo della geometria analitica, calcolo, e cartografia.
L’idea di questo sistema è stato sviluppato nel 1637 in due scritti di Cartesio. Nella seconda parte del suo Discorso sul metodo, Cartesio introduce la nuova idea di specificare la posizione di un punto o di un oggetto su una superficie, usando due assi intersecanti come guide di misurazione. In La Géométrie, esplora ulteriormente i concetti sopra menzionati.
Sistema di coordinate bidimensionale
Un sistema di coordinate cartesiane in due dimensioni è comunemente definito da due assi, ad angolo retto l’uno rispetto all’altro, formando un piano (un piano xy). L’asse orizzontale è normalmente etichettato x e l’asse verticale è normalmente etichettato y. In un sistema di coordinate tridimensionale, viene aggiunto un altro asse, normalmente etichettato z, fornendo una terza dimensione della misurazione dello spazio. Gli assi sono comunemente definiti come reciprocamente ortogonali tra loro (ciascuno ad angolo retto rispetto all’altro). (I primi sistemi consentivano assi “obliqui”, cioè assi che non si incontravano ad angolo retto, e tali sistemi sono occasionalmente usati oggi, anche se per lo più come esercizi teorici.) Tutti i punti di un sistema di coordinate cartesiane presi insieme formano un cosiddetto piano cartesiano. Le equazioni che utilizzano il sistema di coordinate cartesiane sono chiamate equazioni cartesiane.
Il punto di intersezione, dove gli assi si incontrano, è chiamato l’origine normalmente etichettata O.Gli assi x e y definiscono un piano che viene indicato come il piano xy.Dato ogni asse, scegliere una lunghezza unitaria, e segnare ogni unità lungo l’asse, formando un grid.To specificare un punto particolare su un sistema di coordinate bidimensionale, indicare prima l’unità x (ascissa), seguita dall’unità y (ordinata) nella forma (x,y), una coppia ordinata.
La scelta delle lettere deriva da una convenzione, per usare l’ultima parte dell’alfabeto per indicare valori sconosciuti. Al contrario, la prima parte dell’alfabeto è stata utilizzata per designare valori noti.
Un esempio di punto P sul sistema è indicato in Figura 3, utilizzando la coordinata (3,5).
L’intersezione dei due assi crea quattro regioni, chiamate quadranti, indicate dai numeri romani I (+,+), II (−,+), III ( − ,−) e IV (+,−). Convenzionalmente, i quadranti sono etichettati in senso antiorario a partire dal quadrante in alto a destra (“nord-est”). Nel primo quadrante, entrambe le coordinate sono positive, nel secondo quadrante le coordinate x sono negative e le coordinate y positive, nel terzo quadrante entrambe le coordinate sono negative e nel quarto quadrante le coordinate x sono positive e le coordinate y negative (vedi tabella sotto.)
Sistema di coordinate tridimensionale
Il sistema di coordinate cartesiane tridimensionale fornisce le tre dimensioni fisiche dello spazio: lunghezza, larghezza e altezza. Figure 4 e 5, mostrano due modi comuni di rappresentarlo.
I tre assi cartesiani che definiscono il sistema sono perpendicolari tra loro. Le coordinate rilevanti sono della forma (x,y, z). Ad esempio, la figura 4 mostra due punti tracciati in un sistema di coordinate cartesiane tridimensionale: P(3,0,5) e Q(-5,-5,7). Gli assi sono raffigurati in un orientamento “coordinate del mondo” con l’asse z rivolto verso l’alto.
Le coordinate x, y e z di un punto possono anche essere prese come distanze rispettivamente dal piano yz, dal piano xz e dal piano xy. La figura 5 mostra le distanze del punto P dai piani.
I piani xy, yz e xz dividono lo spazio tridimensionale in otto suddivisioni note come ottanti, simili ai quadranti dello spazio 2D. Mentre sono state stabilite convenzioni per l’etichettatura dei quattro quadranti del piano x-y, solo il primo ottante dello spazio tridimensionale è etichettato. Contiene tutti i punti le cui coordinate x, y e z sono positive.
La coordinata z è anche chiamata applicata.
Orientamento e manualità
vedi anche: regola della mano destra
In due dimensioni
Il fissaggio o la scelta dell’asse x determina l’asse y fino alla direzione. Vale a dire, l’asse y è necessariamente la perpendicolare all’asse x attraverso il punto segnato 0 sull’asse X. Ma c’è una scelta di quale delle due mezze linee sulla perpendicolare designare come positivo e quale come negativo. Ognuna di queste due scelte determina un diverso orientamento (chiamato anche manualità) del piano cartesiano.
Il solito modo di orientare gli assi, con l’asse x positivo che punta a destra e l’asse y positivo che punta verso l’alto (e l’asse x che è il “primo” e l’asse y il “secondo”) è considerato l’orientamento positivo o standard, chiamato anche orientamento destrorso.
Un mnemonico comunemente usato per definire l’orientamento positivo è la regola della mano destra. Posizionando una mano destra un po ‘ chiusa sul piano con il pollice rivolto verso l’alto, le dita puntano dall’asse x all’asse y, in un sistema di coordinate orientato positivamente.
L’altro modo di orientare gli assi è seguire la regola della mano sinistra, posizionando la mano sinistra sul piano con il pollice rivolto verso l’alto.
Indipendentemente dalla regola utilizzata per orientare gli assi, la rotazione del sistema di coordinate manterrà l’orientamento. Cambiare il ruolo di x e y invertirà l’orientamento.
In tre dimensioni
Una volta specificati gli assi x e y, determinano la linea lungo la quale dovrebbe trovarsi l’asse z, ma ci sono due possibili direzioni su questa linea. I due possibili sistemi di coordinate che risultano sono chiamati “destrimani” e ” mancini.”L’orientamento standard, in cui il piano xy è orizzontale e l’asse z punta verso l’alto (e l’asse x e l’asse y formano un sistema di coordinate bidimensionale orientato positivamente nel piano xy se osservato dall’alto del piano xy) è chiamato destro o positivo.
Il nome deriva dalla regola di destra. Se l’indice della mano destra è puntato in avanti, il dito medio piegato verso l’interno ad angolo retto rispetto ad esso e il pollice posizionato ad angolo retto rispetto ad entrambi, le tre dita indicano le direzioni relative degli assi x-, y-e z in un sistema destrorso. Il pollice indica l’asse x,l’indice l’asse y e il dito medio l’asse Z. Al contrario, se lo stesso viene fatto con la mano sinistra, risulta un sistema mancino.
Diverse discipline utilizzano diverse varianti dei sistemi di coordinate. Ad esempio, i matematici utilizzano in genere un sistema di coordinate destrorso con l’asse y rivolto verso l’alto, mentre gli ingegneri utilizzano in genere un sistema di coordinate mancino con l’asse z rivolto verso l’alto. Questo ha il potenziale per portare a confusione quando ingegneri e matematici lavorano sullo stesso progetto.
La figura 7 è un tentativo di raffigurare un sistema di coordinate sinistro e destro. Perché un oggetto tridimensionale è rappresentato sullo schermo bidimensionale, distorsione e ambiguità risultato. L’asse che punta verso il basso (e verso destra) ha anche lo scopo di puntare verso l’osservatore, mentre l’asse “medio” ha lo scopo di puntare lontano dall’osservatore. Il cerchio rosso è parallelo al piano xy orizzontale e indica la rotazione dall’asse x all’asse y (in entrambi i casi). Quindi la freccia rossa passa davanti all’asse Z.
La figura 8 è un altro tentativo di raffigurare un sistema di coordinate destrorso. Ancora una volta, c’è un’ambiguità causata dalla proiezione del sistema di coordinate tridimensionale nel piano. Molti osservatori vedono Figura 8 come “flipping dentro e fuori” tra un cubo convesso e un ” angolo concavo.”Ciò corrisponde ai due possibili orientamenti del sistema di coordinate. Vedere la figura come convessa dà un sistema di coordinate mancino. Quindi, il modo” corretto ” per visualizzare la Figura 8 è immaginare l’asse x come rivolto verso l’osservatore e quindi vedere un angolo concavo.
In fisica
La discussione di cui sopra si applica ai sistemi di coordinate cartesiane in matematica, dove è comune non utilizzare alcuna unità di misura. In fisica, è importante notare che una dimensione è semplicemente una misura di qualcosa, e che, per ogni classe di caratteristiche da misurare, un’altra dimensione può essere aggiunta. L’attaccamento alla visualizzazione delle dimensioni preclude la comprensione delle diverse dimensioni che possono essere misurate (tempo, massa, colore, costo, ecc.). Gli oggetti multidimensionali possono essere calcolati e manipolati algebricamente.
Rappresentare un vettore con notazione cartesiana
Un punto nello spazio in un sistema di coordinate cartesiane può anche essere rappresentato da un vettore, che può essere pensato come una freccia che punta dall’origine del sistema di coordinate al punto. Se le coordinate rappresentano posizioni spaziali (spostamenti) è comune rappresentare il vettore dall’origine al punto di interesse come r {\displaystyle \mathbf {r} } 
r = x i + y j + z k {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }
where i {\displaystyle \mathbf {i} } 
Questa notazione è tipicamente indicata come notazione cartesiana. L’unità di vettori i {\displaystyle \mathbf {i} }
Ulteriori note
Nella geometria del computer, il sistema di coordinate cartesiane è il fondamento per la manipolazione algebrica di forme geometriche. Molti altri sistemi di coordinate sono stati sviluppati da Descartes. Un insieme comune di sistemi utilizza coordinate polari; gli astronomi usano spesso coordinate sferiche, un tipo di sistema di coordinate polari.
Vedi anche
- Curva
- Geometria
- Grafico
- Linea (matematica)
- Matematica
- Numero
- Piano (matematica)
- Punto (geometria)
- René Descartes
Note
- David J. Griffith (1999). Introduzione all’elettromagnetismo. Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
- Descartes, René. 2001. Discorso su Metodo, Ottica, Geometria e meteorologia. Trans. Paul J. Olscamp. Indianapolis, IN: Hackett Pub. ISBN 0872205673.
- GelʹFand, I. M., E. G. Glagoleva, e A. A. Kirillov. 1990. Il metodo delle coordinate. Birkhauser. ISBN 0817635335.
- Kline, Morris. 1985. Matematica per il non matematico. New York: Dover. ISBN 0817635335.
Tutti i link recuperati 16 gennaio 2017.
- Sistema di coordinate cartesiane.
- Coordinate cartesiane stampabili.
- Coordinate cartesiane. PlanetMath.
Credits
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- Storia del sistema di coordinate cartesiane
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