オッズ

確率（リスク）対オッズの計算

統計では、オッズは相対確率の表現であり、一般的に有利なオッズとして引用されています。 イベントまたは命題のオッズ（賛成）は、イベントが発生する確率と、イベントが発生しない確率の比です。 数学的には、これはベルヌーイの試験であり、正確に2つの結果があります。 同じ可能性のある結果の有限サンプル空間の場合、これはイベントが発生した結果の数とイベントが発生しない結果の数の比であり、これらはWとL（勝と損失の場合）またはSとF（成功と失敗の場合）として表すことができる。 たとえば、ランダムに選択された曜日が週末である確率は、曜日が7つの結果のサンプル空間を形成し、イベントは2つの結果（土曜日と日曜日）で発生し、他の5つでは発生しないため、2から5（2:5）です。 逆に、オッズを整数の比として考えると、これは有限数の等しく可能性の高い結果の確率空間で表すことができます。 これらの定義は、両方の用語を結果の数で比率で除算すると確率が得られるため、同等です: 2 : 5 = ( 2 / 7 ) : ( 5 / 7 ) . {\displaystyle2:5=(2/7):(5/7).}

逆に、反対のオッズは反対の比率です。 たとえば、週末である週のランダムな曜日に対するオッズは5:2です。

オッズと確率は、前置詞toとinを介して散文で表現することができます：”odds of so many to so many on(or against)”はオッズを指します–賛成と反対の（均等に可能性の高い）結果の数の比（またはその逆）;”chances of so many,in so many”は確率を指します–賛成と反対の数に対する賛成の（均等に好きな）結果の数を指します。 たとえば、”週末のオッズは2から5″、”週末の確率は2で7″です。 偶然の使用では、単語オッズとチャンス（またはチャンス）は、多くの場合、漠然とオッズや確率のいくつかの尺度を示すために互換的に使用されていますが、意図された意味は、二つの数字の間の前置詞がtoまたはinであるかどうかを指摘することによって推論することができます。

数学的関係編集

オッズは、それが一意ではない場合には、二つの数値の比として表現することができます–同じ要因によって両方の項をスケー オッズは、項を比率で割ることによって数として表すこともできます–この場合、それは一意です（異なる分数は同じ有理数を表すことができます）。 比率としてのオッズ、数としてのオッズ、および確率（また数）は、単純な公式によって関連づけられ、同様に賛成のオッズと反対のオッズ、および成功の確率と失敗の確率は単純な関係を有する。 オッズの範囲は0から無限大ですが、確率は0から1の範囲であるため、多くの場合、0％から100の間の割合で表されます%: 比率を逆転させると、オッズに対してオッズを切り替え、同様に成功の確率と失敗の確率を切り替えます。

オッズ（賛成）をw:L（勝利：損失）の比率として考えると、賛成のオッズ（数字として）o f{\displaystyle o_{f}}

と反対のオッズ（数字として）o a{\displaystyle o_{a}}

は単純に除算することで計算でき、乗法逆数です: o f=W/L=1/o a o a=L/W=1/o f o f⁡o a=1{\displaystyle{\begin{aligned}o_{f}&=W/L=1/o_{a}\\o_{a}&=L/W=1/o_{f}\\o_{f}\cdot{\開始{整列}O_{F}=W|L=1|O_{A}\O_{A}=L|w=1|o_{f}\O_{f}\Cdot O_{A}=1\端{整列}}同様に、オッズを比として考えると、成功または失敗の確率は除算によって計算することができ、成功の確率と失敗の確率は、唯一の可能な結果である 同様に可能性の高い結果の有限個の場合、これは事象が発生する結果の数を事象の総数で割ったものと解釈することができる。p=W/(W+L)=1−q q=L/(W+L)=1−p p+q=1{\displaystyle{\begin{aligned}p&=W/(W+L)=1−q\\q&=W/(W+L)=1−q\\q&=W/(W+L)=1−q\\q&=W/(W+L)=1−q\\qiv id=”=1\端{整列}}}

確率pが与えられたとき、比としてのオッズはp:q{\displaystyle p:q}

（成功の確率から失敗の確率まで）、そして数としてのオッズは分割することによって計算することができます: o f=p/q=p/(1−p)=(1−q)/q o a=q/p=(1−p)/p=q/(1−q){\displaystyle{\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1−p)=(1−q)/q\\o_{a}&&&&&&&=q|p=（1−p）|p=q|（1−q）\end{aligned}}}

逆に、オッズを数値o f,{\displaystyle o_{f},}

これは比o f:1,{\displaystyle o_{f}:1,}

あるいは逆に1:(1/o f)=1:o a,{\displaystyle1:(1/o_{f})=1:o_{a},}

そこから成功または失敗の確率を計算することができる: p=o f|(o f+1)=1/(o a+1)q=o a|(o a+1)=1/(o f+1){\displaystyle{\begin{aligned}p&=o_{f}|(o_{f}+1)=1/(o_{a}+1)\q&=o_{f}|(o_{f}+1)=1/(o_{a}+1)\q&=o_{f}|(o_{f}+1)=1/(o_{a}+1)\q&=o_{f}|(o_{f}+1)\q&divしたがって、分子が1の分数として表現された場合、確率とオッズは分母で正確に1だけ異なります：1の確率100（1/100=1％）は、1から99（1/99=0.0101）のオッズと同じです。.. = 0.1から100のオッズ（1/100=0.01）は、1から101の確率（1/101=0.00990099）と同じです。.. = 0.0099). これは、確率が小さい（ゼロに近い、または「長いオッズ」）場合はわずかな違いですが、確率が大きい（1に近い）場合は大きな違いです。

これらはいくつかの単純なオッズのために働いています:

これらの変換は、特定の特別な幾何学的性質を持っています。 成功の確率と失敗の確率）およびオッズと確率の間はすべてメビウス変換（分数線形変換）です。 したがって、それらは三つの点（急激に3-推移的）によって指定されます。 スワップ0と無限大に対するオッズとオッズを交換し、1を固定し、成功の確率と失敗の確率を交換しながら、0と1を交換し、固定します。5;これらは両方とも次数2であり、したがって循環変換である。 オッズを確率に変換すると、0が固定され、無限大が1に送信され、1が送信されます。5（偶数オッズは50％の可能性があります）、逆に、これは放物線変換です。

ApplicationsEdit

確率論と統計学では、オッズと同様の比率は確率よりも自然または便利かもしれません。 いくつかのケースでは、確率のlogitであるlog-oddsが使用されます。 最も単純に、オッズは頻繁に乗算または除算され、logは乗算を加算に変換し、除算を減算に変換します。 これは、ターゲット変数の対数オッズが観測された変数の線形結合であるロジスティックモデルで特に重要です。

同様の比率は、統計の他の場所で使用されています;中心的に重要なのは、ベイズ統計でベイズ因子として使用されている尤度統計における尤度比

オッズは、オッズアルゴリズムによって解決される最後の特定のイベントで（オンライン）停止する方法の問題など、逐次的な意思決定の問題に特

オッズは確率の比であり、オッズ比はオッズの比、すなわち確率の比の比である。 オッズ比は、臨床試験の分析によく使用されます。 それらは有用な数学的性質を持っていますが、直感的ではない結果を生み出すことができます: 80%の確率で発生するイベントは、20%の確率で発生するイベントよりも発生する可能性が4倍高くなりますが、オッズは、可能性の低いイベント（4-1対、または4）では、可能性の高いイベント（1-4、または4-1オン、または0.25）よりも16倍高くなります。

例1ピンクのビー玉が5個、ブルーのビー玉が2個、パープルのビー玉が8個あります。 青い大理石を選ぶことに賛成する確率は何ですか？ 答え：青い大理石を支持する確率は2:13です。 オッズは13：2であると同等に言うことができます。 ブルーに有利な2つのうち15のチャンスがあり、ブルーに対して13のうち15のチャンスがあります。確率論と統計学において、変数pは二進事象に有利な確率であり、その事象に対する確率は1−pであり、事象の「オッズ」は2つの商、つまりp1−p{\displaystyle{\frac{p}{1-p}}}

。 その値は、イベントが発生する相対確率とみなされ、イベントが発生しない可能性の分数（1未満の場合）、または倍数（1以上の場合）として表されます。

上の最初の例では、日曜日のオッズは”一から六”であると言って、または、あまり一般的には、”一から六”は、ランダムに日曜日を選ぶ確率が日曜日を選ばない イベントの数学的確率はゼロから1までの範囲の値を持ちますが、その同じイベントを支持する「オッズ」はゼロと無限の間にあります。 確率がpで与えられる事象に対する確率は1−p p{\displaystyle{\frac{1−p}{p}}}

である。 日曜日に対するオッズは6:1または6/1=6です。 ランダムな日が日曜日ではない可能性が6倍です。

odds (ratio)	o f {\displaystyle o_{f}}	o a {\displaystyle o_{a}}	p {\displaystyle p}	q {\displaystyle q}
1:1	1	1	50%	50%
0:1	0	∞	0%	100%
1:0	∞	0	100%	0%
2:1	2	0.5	67%	33%
1:2	0.5	2	33%	67%
4:1	4	0.25	80%	20%
1:4	0.25	4	20%	80%
9:1	9	0.1	90%	10%
10:1	10	0.1	90.90%	9.09%
99:1	99	0.100:1	100	0.01	99.0099%	0.9900%