メビウスストリップを作るための隠されたねじれ

シンプレクティック幾何学の分野では、中心的な問題は、二つの複雑な幾何学的空間の交 このカウントの質問は、フィールドで最も有名な問題の一つ、アーノルド予想の中心にあり、それはまた、基本的な技術の問題です：数学者は、研究の他の種類

私の記事”幾何学の基礎を修正するための戦い”で説明しているように、これらの交点を数える方法を開発することは、引き出された、時には論争の 信頼性が高く、広く理解されており、エラーのないアプローチは、新しいフィールドが開始されたときに共有された語彙の欠如（シンプレクティック幾何学は1990年代に始まっただけである）から、問題自体の性質に至るまで、いくつかの理由で課題を提示してきました。簡単に言えば、それは難しいです。難しいのは、微妙な理由から、交点を一度に数えることができないという事実にあります。 代わりに、数学者は空間を「ローカル」領域に分割し、各領域の交点を数え、それらを一緒に追加して「グローバル」カウントを取得する必要があります。 ローカルカウントをつなぎ合わせることは、数学者が最初に実現したよりも繊細で技術的に要求の厳しい作業であることが証明されています。

次の図は、メビウスストリップ（それにひねりを加えた二次元の円形バンド）を使用して、タスクの難しさを探ります。 メビウスの帯は、その表面を通過する二つの円を持っています。 問題は、2つの円が何回交差するのですか？ あなたが見るように、答えはあなたが一度にすべてのストリップを見たときに一つのことであると思われ、あなたが二つの部分にメビウスストリップを数学者は交点を数えたいと思っていますが、特定の障害によってそれらの点をすべて直接数えることができません。

カウントパズル

数学者は交点を数えたいと思っていますが、特定の障害によってそれらの点をすべて直接数えることができません。 それらの障害を克服するために、彼らは多様体を一口サイズの「局所的な」領域に分割し、それぞれの交差点を数え、それらを一緒に加えて多様体全体のしかし、数学者が局所領域からの数をどのように組み合わせるかについて注意していない場合、簡単に多様体全体の間違った数に終わる可能性があ この単純な例では、ローカルカウントを一緒に追加する繊細さが明らかです。

Möbius Rip

Möbiusストリップを取る。 それを介して実行されている二つの円を描画します。 メビウスの帯全体を見ると、2つの円は少なくとも1回は互いに交差しなければなりません：1つの円は他の円の上に始まりますが、ストリップのねじれ

今、二つの部分に同じメビウスストリップをカットします。 カットはストリップのねじれを取り除きます。 各ピースに二つの円のセグメントを描画します。 ねじれがなければ、円のセグメントが互いに平行に走り、交差しないように円のセグメントを描画するのは簡単です。 結果として、Möbius strip全体の交差点の数がゼロであると誤って結論付ける可能性があります。 シンプレクティック幾何学の数学者は、”グローバル”交差数を回復するために”ローカル”部分を一緒に接着することは、彼らが最初に想像したよりもはるかに複雑なプロセスであることを学びました。