二項定理

パスカルの三角形を用いた二項展開

次の（a+b）nの展開されたべき乗を考えてみましょう。a+bは任意の二項であり、nは整数である。 パターンを探します。

各展開は多項式です。 注意すべきいくつかのパターンがあります。

1. つまり、(a+b)nの展開には項があります。

2。 各項では、指数の合計はnであり、二項式が発生するべき乗です。

3. Aの指数はnで始まり、二項のべき乗は0に減少します。 最初の項はbの因子を持たないので、bのべき乗は0から始まり、nに増加します。

4。 係数は1から始まり、”半分”の方法について特定の値を介して増加し、これらの同じ値を介して減少して1に戻ります。係数をさらに調べてみましょう。

(A+b)6の展開を見つけたいとします。 我々が指摘したパターンは、展開に7つの項があることを示しています：
a6+c1a5b+c2a4b2+c3a3b3+c4a2b4+c5ab5+b6。
どのようにして各係数ciの値を決定することができますか？ 私たちは二つの方法でそうすることができます。 最初の方法では、次のように、係数を三角配列に書き込む必要があります。 これはパスカルの三角形として知られています：

三角形には多くのパターンがあります。 できるだけ多くを見つけてください。
おそらく、あなたはその上の行の数字を考えると、数字の次の行を書く方法を発見しました。 外側には常に1つのものがあります。 残りの各数値は、その上の2つの数値の合計です。 私たちが発見したパターンを使用して別の行を追加することにより、(a+b)6の展開を見つけようとしましょう。

最後の行

1番目と最後の数は1;
2番目の数は1+5、または6;
3番目の数は5+10、または15;
4番目の数は10+10、または20;
br>5番目の数は10+5、または15です。
6番目の数は5+1、または6です。

したがって、(a+b)6の展開は
(a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6です。

したがって、の展開は
(a+b)8=a8+8a7b+28a6b2+56a5b3+70a4b4+56a3b5+28a2b6+8ab7+b8です。

結果を次のように一般化することができます。任意の二項a+bと任意の自然数nに対して、パスカルの三角形を使用した二項定理

(a+b)n=c0anb0+c1an-1b1+c2an-2b2+。… +cn-1a1bn-1+cna0bn,
ここで、数字c0,c1,c2,….,cn-1,cnはパスカルの三角形の(n+1)番目の行からのものです。

例1展開する: (u-v)5.解は、a=u、b=-v、およびn=5である（a+b）nがあります。

解は、a=u、b=-v、およびn=5です。

解は、 パスカルの三角形の6行目を使用します。
1 5 10 10 5 1
次に、
（u-v）5=5=1（u）5+5（u）4（-v）1+10（u）3（-v）2+10（u）2（-v）3+5（u）（-v）4+1（-v）5=u5-5u4v+10u3v2-10u2v3+5uv4———-
用語の符号は+と-の間で交互になることに注意してください。 -Vのべき乗が奇数の場合、符号は-です。

例2展開:(2t+3/t)4.解は、a=2t、b=3/t、およびn=4である（a+b）nがあります。

解は、a=2t、b=3/t、およびn=4です。

解は、 パスカルの三角形の5行目を使用します:
1 4 6 4 1
次に、

階乗表記を使用した二項展開

(a+b)11の展開を見つけたいとします。 パスカルの三角形を使用する際の欠点は、三角形の前のすべての行を計算して、展開に必要な行を取得する必要があることです。 次の方法はこれを回避します。 また、拡張の他のすべての用語を計算することなく、特定の用語、たとえば8番目の用語を見つけることもできます。 この方法は、有限数学、微積分学、統計学などのコースで役立ち、二項係数表記を使用します。
二項定理を次のように書き直すことができます。任意の二項（a+b）と任意の自然数nについて、階乗表記法を使用した二項定理

。二項定理は数学的帰納法によって証明することができます。

二項定理は数学的帰納法によって証明されます。 （第63回を参照。)この形式は、が二項係数と呼ばれる理由を示しています。例3展開:(x2-2y)5.解は、a=x2、b=-2y、およびn=5である（a+b）nがあります。

解は、a=x2、b=-2y、およびn=5です。

解は、 その後、二項定理を使用して、我々は持っています

最後に（x2-2y）5=x10-10x8y+40x6y2-80x4y3+80x2y4-32y5。例4展開:(2/x+3≤x)4.ここで、a=2/x、b=3≤x、およびn=4です。

解は、（a+b）nを持っています。

解は、a=2/x、b=3≤x、およびn=4です。 次に、二項定理を使用して、我々は持っています

最後に（2/x+3≤x）4=16/x4+96/x5/2 + 216/x+216×1/2+81×2.

特定の用語を見つける

展開の特定の用語のみを決定したいとします。 我々が開発した方法は、パスカルの三角形のすべての行または先行するすべての係数を計算することなく、そのような項を見つけることを可能にす

二項定理では、は第3項を与えることに注意してください。 これは次のように一般化することができます。p>

(k+1)-st項を見つける

(a+b)nの(k+1)-st項はです。

例5(2x-5y)6の展開で5番目の項を求めます。まず、5=4+1であることに注意してください。

解決策まず、5=4+1であることに注意してください。 したがって、k=4、a=2x、b=-5y、およびn=6です。 次に、展開の5番目の項は

例6(3x-2)10の展開で8番目の項を見つけます。まず、8=7+1であることに注意してください。

解決策まず、8=7+1であることに注意してください。 したがって、k=7、a=3x、b=-2、およびn=10です。 次に、展開の8番目の項は

サブセットの総数

セットにn個のオブジェクトがあるとします。 K個の要素を含むサブセットの数。 セットのサブセットの合計数は、0要素を持つサブセットの数に1要素を持つサブセットの数を加えたもの、2要素を持つサブセットの数を加えたも N個の要素を持つ集合のサブセットの総数は
です。ここで、（1+1）nの展開を考えてみましょう：
。
したがって、部分集合の総数は(1+1)nまたは2nである。

サブセットの総数

n個の要素を持つ集合のサブセットの総数は2nです。

例7セット{a、B、C、D、E}はいくつのサブセットを持っていますか？解集合には5つの要素があるので、部分集合の数は25、または32です。

解集合には5つの要素があるので、部分集合の数は25、または32です。

例8ウェンディーズ、全国のレストランチェーンは、そのハンバーガーのための次のトッピングを提供しています：
{catsup、マスタード、マヨネーズ、トマト、レタス、タマネギ、ピクルス、レリッシュ、チーズ}。
ウェンディーズは、ハンバーガーのサイズやパテの数を除いて、どのように多くの種類のハンバーガーを提供することができますか？

解決策各ハンバーガーのトッピングは、すべての可能なトッピングのセットのサブセットの要素であり、空のセットはプレーンハンバーガーである。 可能なハンバーガーの総数は

したがって、Wendy’sは512の異なる方法でハンバーガーを提供しています。