Calculus II-Sequences
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セクション4-1 : シーケンス
シーケンスが何であるかについての議論からこのセクションを始めましょう。 シーケンスは、特定の順序で書かれた数字のリストに過ぎません。 リストには無限の数の項が含まれている場合と含まれていない場合がありますが、このクラスでは無限の数列のみを扱います。 一般的なシーケンス用語は、次のように示されています,
\
我々は無限のシーケンスを扱うことになりますので、シーケンス内の各用語は、上記のように別の項 上記の表記法では、添え字に非常に注意する必要があります。 \(N+1\)の下付き文字は、シーケンス内の次の項を表し、1つに\(n^{\mbox{th}}\)項を加えたものではありません。 言い換えれば、
\
添字を書くときは、”+1″が添字から移行しないように非常に注意してください！ これは、あなたが最初にこの種のものに対処し始めるときに作るのは簡単な間違いです。
シーケンスを表すにはさまざまな方法があります。 以下のそれぞれは、シーケンスを表す同等の方法です。
\
上記の第二および第三の表記では、通常、式によって与えられます。
これらの表記法については、いくつかの音符が順番に並んでいます。 まず、上記の2番目と3番目の表記の違いに注意してください。 出発点が重要でない場合、または問題によって何らかの方法で暗示されている場合、3番目の表記法で行ったように書かれていないことがよくあ 次に、3番目の表記法では\(n=1\)の開始点を使用したので、1つだけ書き留めることができました。 シーケンスが\(n=1\)で始まると信じる理由は絶対にありません。 シーケンスは、開始する必要がある場所で開始されます。
いくつかのシーケンスを見てみましょう。
最後に”…”が含まれていることに注意してください！ それはシーケンスが継続し、最後の用語で終了しないことを教えてくれる唯一のものであるとして、これは表記法の重要な部分です。div\{\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)}{n}\left(\frac{1}{n}\right)b{n}\left(\frac{1}{n}\right)b{n}\left(\frac{1}{n}\right)b{n}\right+ 1}}}}{{{2^ここで、Solution p=\frac{1}{n}divとShow p=\frac{1}{n}pは、infty p=\frac{1}{n}pとShow p=\frac{1}{n}pを意味します。 主な違いは、このシーケンスが\(n=1\)で始まらないことです。
\
このシーケンス内の用語は記号で交互になることに注意してください。 この種の配列は、交互配列と呼ばれることもあります。ここで、\({b_n}={n^{th}}{\mbox{digit of}}\pi\)は解を示します。
このシーケンスは、各項に特定の式がないという意味で最初の2つとは異なります。 しかし、それは各用語がどうあるべきかを教えてくれます。 各項は\(\pi\)のn番目の桁でなければなりません。 だから我々は知っている\(\pi=3.14159265359\ldots\)
シーケンスは次のとおりです。
\
前の例の最初の二つの部分では、実際には数式を整数のみをプラグインできる関数として扱っていたことに注意してください。 または、
\
これは、シーケンス（およびシリーズ）の研究において重要なアイデアです。 シーケンス項を関数評価として扱うことで、他ではできなかったシーケンスで多くのことを行うことができます。 しかしこの考えに更に掘り下げる前に私達は方法から幾つかのより多くの考えを得る必要がある。
まず、シーケンスを”グラフ化”することについて考えたいと思います。 シーケンス\(\left\{{{a_n}}\right\}\)をグラフ化するには、点\(\left({n,{a_n}}\right)\)をグラフ上のすべての可能な値にわたって\(n\)の範囲としてプロットします。 たとえば、シーケンス\(\left\{{\frac{{n+1}}{{{n^2}}}}\right\}_{n=1}infty\infty\)をグラフ化しましょう。 グラフ上の最初の数点は、
\
グラフは、シーケンスの最初の30項については、
このグラフはシーケンスに関する重要なアイデアにつながります。 \(N\)がシーケンス内のシーケンス項を増加させると、この場合、ゼロに近づくことに注意してください。 次に、ゼロはシーケンスの限界（または時には限界値）であると言い、
\
この表記法はあなたにはよく知られているはずです。 これは、関数の限界について話したときに使用したのと同じ表記法です。 実際、あなたが思い出すならば、我々はいくつかの方法で関数としてシーケンスを考えることができるので、この表記法はあまりにも驚くべきことでは
関数の限界のために開発したアイデアを使用して、シーケンスの限界のための次の作業定義を書き留めることができます。
関数の限界のために開発したアイデアを使用して、
限界の作業定義
- 私たちは、
我々はすべての十分に大きい\(n\)のために望むように\(L\)に近いようにすることができればと言います。 つまり、\({a_n}\)の値は\(N\)が無限大に近づくにつれて\(L\)に近づきます。
- 我々は、我々はすべての十分に大きい\（n\）のために必要なだけ大きくすることができれば
と言います。 ここでも、言い換えると、\(n\)が無限大に近づくにつれて、\({a_n}\)の値は束縛されずに大きくなります。私たちは、すべての十分に大きい\(n\)に対して、必要なだけ大きく負にすることができれば、\
と言います。 ここでも、言い換えると、\({a_n}\)の値は負であり、\(n\)が無限大に近づくにつれて束縛されずに大きくなります。さまざまなシーケンス制限の作業定義は、制限が実際に何であるかを視覚化するのに役立つという点で優れています。
さまざまなシーケンス制限 しかし、関数の限界と同様に、これらの限界のそれぞれについても正確な定義があります。 私たちは、すべての数\(\varepsilon>0\)に対して、整数\(N\)が存在する場合、\(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{a_n}=L\)と言います。\(\varepsilon>0\)は、\(\varepsilon>0\)であると言います。\(\varepsilon>0\)は、\(\varepsilon>0\)は、\(\varepsilon>0\)であると言います。li lim_{n\to\infty}\lim_{n\To\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\<0\)整数があります
正確な定義を頻繁に使用することはありませんが、時折表示されます。
両方の定義は、限界が存在し、有限値を持つためには、すべてのシーケンス項が\(n\)が増加するにつれてその有限値に近づいていなければならな
今、私たちはシーケンスの限界の定義を持っているので、私たちは見ておく必要がある用語のビットを持っています。 Math lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\infty Math lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\infty Sequence lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=\infty\)の場合、シーケンスが\(\infty\)に発散すると言うことがあり、\(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{a_n}=-\infty\)の場合、シーケンスが\(-\infty\)に発散すると言うことがあります。この章では、”収束”と”発散”という用語に慣れてください。
では、どのようにしてシーケンスの限界を見つけるのでしょうか？
ほとんどの数列のほとんどの極限は、以下の定理のいずれかを用いて見つけることができる。ここで、sequence lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}F(limits_{n\To\Infty}{a_n}=l\)
この定理は、基本的に、関数の限界を取るのと同じように、シーケンスの限界を取ることを示しています。 実際、ほとんどの場合、関数を明示的に書き留めることによって、この定理を実際に使用することさえありません。 より多くの場合、限界を関数の限界であるかのように扱い、関数の限界を取っていたときに微積分Iで常に行ったように限界を取ります。
だから、シーケンスの限界を取ることは、関数の限界を取ることとほぼ同じであることがわかったので、関数の限界からのすべてのプロパティも保持ここで、Properties lim_{n\to\infty}\left({{a_n}\pm{b_n}}\right)=\lim_{n\to\infty}\left({{a_n}\pm{b_n}}\right)=\lim_{n\to\infty}\left({{a_n}\pm{b_n}}\right)=\lim_{n\to\infty}\left({{a_n}\pm{b_n}}\right)=\lim_{n\to\infty}\left({{a_n}\pm{b_n}}\right)=\lim_{n\to\infty}\left({{a_n}\pm{b_n}}\right)=\lim_{n\to\infty}\left({{a_n}\pm{b_n}}\right)=\lim_{n\to\infty}\left({{a_n}\pm{b_n}}\right)=\lim_{li lim_{n\to\infty}c{a_n}=c\lim_{n\to\infty}c{a_n}=c\lim_{n\to\infty}c{a_n}=c\lim_{n\to\infty}c\pm\Lim_{n\to\infty}c\pm\Lim_{n\to\infty}c\pm\Lim_{n\to\infty}c\pm\Lim_{n\to\infty}c\pm\Lim_{n\to\infty}c\pm\Lim_{n\to\infty}c\pm\Lim_{n\to\infty}c\pm\Lim_{n\to\infty}c\pm\lim_{n\to\infty}c\pm\lim_{n\to\infty}c\pm\lim_{n\to\infty}c\pm\lim_{n\to\infty}c\pm\lim_{n\to\infty}c\pm\lim_{n\to\infty}c\pm\lim_{n\li lim_{n\to\infty}\left({{A_n}\,{b_n}}\right)=\lim_{n\to\infty}\left({{a_n}\,{b_n}}\right)=\lim_{n\to\infty}\left({{A_n}\,{b_n}}\right)=\lim_{n\to\infty}\left({{A_n}\,{b_n}\,{b_n}}\right)=\lim_{N\to\infty}\left({{A_n}\,{b_n}\,{ li lim_{n\to\infty}\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}=\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}}{{a_n}}}{{a_n}}infty}{b_n}}},\,\,\,\,\,{\m lim_{n\to\infty}a_n^p={\left^p}\)provided\({a_n}\ge0\)
これらのプロパティは、上記の定理1と微積分学で見た関数制限プロパティを使用して証明できます。
これらのプロパティは、上記の定理1と微積分学で見た関数制限プロパティを使用して証明することができます。私または我々は正確なを使用して直接それらを証明することができます 関数limitプロパティのほぼ同一の証明を使用した制限の定義。
次に、関数の限界に対するスクイーズ定理があったのと同じように、シーケンスに対するものもあり、関数の限界バージョンとほとんど同じです。
次に、関数の限界に対するスクイーズ定理があったのと同じように、シーケンスに対するものもあります。ここで、\(\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}次に、\(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{c_n}=l\)となります。この定理では、”for all\(n>N\)for some\(N\)”は、すべての十分に大きい\(n\)に対して\({a_n}\le{c_n}\le{b_n}\)を持つ必要があることを実際に伝えていますが、最初の数\(n\)に当てはまらない場合は、定理を無効にしません。
すべてのシーケンスが実際に限界を取ることができる関数として書くことができるわけではないことがわかります。 これは、符号が交互になるシーケンスに特に当てはまります。 これらのシーケンス用語は常に関数として書くことができますが、そのような関数の限界をどのように取るかはわかりません。 次の定理は、これらのシーケンスのいくつかに役立ちます。Theorem lim_{n\to\infty}\left|{{a_n}}\right|=0thenの場合、Theorem lim_{n\to\infty}\left|{{a_n}}\right|=0.の場合、Theorem lim_{n\to\infty}\left|{{a_n}}\right|=0.の場合、Theorem lim_{n\to\infty}\left|{{a_n}}\right|=0.の場合、div lim_{n\to\infty}\left|{{a_n}}\right|=0.の場合、Theorem lim_{n\to\infty}\left|{{a_n}}\right|=0.の場合、Theorem lim_{n\to\infty}\left|この定理が限界を保持するためには、限界がゼロでなければならず、限界がゼロでないシーケンスでは機能しないことに注意してください。
この定理は証明するのに十分簡単ですので、そうしましょう。この証明の主なものは、次のことに注意することです。
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次に、
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次に、\(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\left({-\left|{{a_n}}\right|}\right)=\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\left|{{a_n}}\right|}\right)=\left|{{a_n}}\right|}\left|{{a_n}}\right|}\left|{{a_n}}\right|}\left|{{a_n}}\right|}\left|{{a_n}}\right|}\left|{{a_n}}\right|}\right|}\left|{{a_n}}\right|}\right|}\left|{{a_n}}\right|}\right|}\left|{{a_n}}\a_n}}\right|=0\）ので、スクイズ定理によって、我々はまた持っている必要があります、
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次の定理は、時々発生するシーケンスの収束/発散と値（収束しているとき）を与える有用な定理である。ここで、\(\left\{{{r^n}}\right\}_{n=0}infty\infty\)は、\(-1<r\le1\)の場合に収束し、\(r\)の他のすべての値に対して発散します。\(\left\{{{r^n}}\right\}_{n=0}infty\infty\)の場合に収束します。\(\left\{{{r^n}}\right\}_{n=0}infty\infty\)の場合に収束します。 また、
\
ここでは、この定理の迅速な（それほど迅速ではありませんが、間違いなく単純な）部分的な証明です。
定理3の部分証明
最後のケースは完全に証明されるわけではありませんが、一連のケースでこれを行います。
ケース1
ケース2p : 私たちは微積分Iから知っていますCalculus（\mathop{\lim}\limits_{x\to\infty}{r^x}=\infty\）if\（r>1\）であるため、上記の定理1によって、\（\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\）も知っています{r^n}=\infty\）なので、sequence r>1\）の場合、シーケンスは発散します。この場合、シーケンスは\(r=1\)に収束し、この場合の限界は1です。
ケース2：\(r=1\)
この場合、
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したがって、シーケンスは\(r=1\)に収束し、この場合、その限界は1です。
ケース2：\(r=1\)
ケース3 : 私たちは微積分Iから知っています。\(\mathop{\lim}\limits_{x\to\infty}{r^x}=0\)if\(0<r<1\)
私たちは微積分Iから知っています。\(\mathop{\lim}\limits_{x\to\infty}{r^x}=0\)if\(0<r<r<r<R<
r<1\)の場合、シーケンスは収束し、この場合、その限界はゼロです。したがって、シーケンスは\(r=0\)に収束し、この場合、その限界はゼロです。
ケース4：\(r=0\)
このケースでは、
\
したがって、シーケンスは\(r=0\)に収束し、この場合、その極限はゼロになります。
ケース4：\(r=0\)
この場合、
\
ケース5：\(-1<r<0\)
まず、\(-1<r<<0\)したがって、\(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{r^n}=0\)でなければなりません。\(-1<1\)の場合、上記のケース3では、\(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{r^n}=0\)でなければなりません。\(-1<1\)の場合、\(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{r^n}=0\)の場合、\(-1<1\)の場合、\(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{r^n}=0\)でなければなりません。<r<0\)シーケンスは収束し、0の限界を持っています。
ケース6 : この場合、シーケンスは
\
であり、うまくいけば、\(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{\left({-1}\right)n n}\)が存在しないことは明らかです。 この制限が存在するためには、\(n\)が増加するにつれて、項は単一の値に近づいていなければならないことを思い出してください。 しかし、この場合、用語は1と-1の間で交互になるだけなので、制限は存在しません。したがって、シーケンスは\(r=-1\)で発散します。ケース7：\(r<-1\)この場合、完全な証明は行いません。 たとえば、\(r=-2\)とした場合に何が起こるか見てみましょう。 したがって、\(r=-2\)の場合、値が符号で交互になり、ますます大きくなるため、\(\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{\left({-2}\right).n}\)は存在しません。 これは、\(n\)が増加するにつれて単一の値に落ち着くことも、すべての項が無限大に近づくこともありません。 したがって、シーケンスは\(r=-2\)で発散します。
\(r\)の任意の値に対して同様のことを行うことができます。\(r<-1\)であるため、シーケンスは\(r<-1\)
のは、シーケンスの限界の例のカップルを見てみましょう。
この場合、私たちがする必要があるのは、 有理関数の限界に対処するために微積分Iで開発されました。 必要に応じて、これのレビューについては、Calculus I notesの無限大での限界、Part Iセクションを参照してください。この形式で制限を行うには、分子と分母から\(n\)の最大のべき乗を因数分解し、キャンセルしてから制限を取るだけです。
この形式で制限を行うには、\(n\)の最大のべき乗を因数分解し、キャンセルしてから制限を取る必要があります。
したがって、シーケンスは収束し、その限界は\(\frac{3}{5}\)です。これは、Solution frac{{{{\bf{e}}2{2n}}}{n}}\right\}_{n=1}infty\infty bが収束することを示しています。 このシーケンスにはL’Hospitalのルールを使用する必要があります。 問題は、L’Hospitalのルールは関数でのみ機能し、シーケンスでは機能しないということです。 通常、これは問題になりますが、私たちを助けるために上から定理1があります。 定義してみましょう
\
そして、
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定理1は、私たちがする必要があるのは関数の限界を取ることだけであると言います。
\
したがって、この部分のシーケンスは発散します（\（\infty\）に）。
多くの場合、\(x\)または\(n\)を使用するかどうかにかかわらず、作業が同じになるため、最初に\(x\)に変換せずにシーケンス項に対してL’Hospitalのルールを しかし、シーケンス項を扱っている間は、技術的には導関数を行うことはできないことを本当に覚えておく必要があります。frac frac{{{{\left({-1}\right)}n n}}}{n}}\right\}_{n=1}infty\infty\)解を表示する
このシーケンスにも注意する必要があります。 私たちは、シーケンス項の限界がゼロであると言うように誘惑されるかもしれません（そして私たちは正しいでしょう）。 しかし、技術的には、同じ動作を示す関数の制限を行う方法がわからないため、用語が符号で交互になるシーケンスの制限を取ることはできません。 また、これらの問題で直感にあまり依存しないように非常に注意したいと考えています。 次のセクションと後のセクションで見るように、私たちの直感は、私たちが注意しなければ、これらの問題に迷ってしまう可能性があります。
だから、これを本で働かせてみましょう。 この問題では定理2を使用する必要があります。 これには、最初に計算する必要があります。
\
したがって、絶対値バーを持つシーケンス項の限界がゼロになるので、定理2によって
\
これはシーケンスがゼロの値に収束することを意味します。この定理のために、私たちがする必要があるのは、これが上記の定理3のシーケンスであることを理解することだけです。\(r=-1\)。 したがって、定理3によって、このシーケンスは発散します。ここで、定理2の誤用について警告する必要があります。 定理2は、限界がゼロの場合にのみ機能します。 シーケンス項の絶対値の限界がゼロでない場合、定理は成り立ちません。 前の例の最後の部分はこれの良い例です（実際、この警告はその部分が存在する全体の理由です）。 したがって、infty\lim_{n\to\infty}{\left（{-1}\right）n n}\）は存在しません。 したがって、この定理2を使用して注意してください。 制限がゼロの場合にのみ機能することを常に覚えておく必要があります。
次のセクションに移動する前に、私たちは道の証明のために必要なもう一つの定理を与える必要があります。
次のセクションに移動する前に、the a_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=A_{2n+1}=Is lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty
定理4の証明
Let\(\varepsilon>0\)。これは、\(a_{2n}\)を\(a_{2n}\)とすると、\(a_{2n}\)を\(A_{2n}\)とすると、\(a_{2n}\)を\(A_{2n}\)とすると、\(a_{2n}\)を\(A_{2n}\)とすると、\(a_{2n}\)を\(A_{2n}\)とすると、\(a_{2n}\)を\(A_{2n}\)とすると、\(a_{2n}\)を\(A_{2n}\)とすると、\(a_{2n}\)を\(A_{2n}\)とすると、\(a_{2n}\)を\(A_{2n}\)とすると、\(a_{2n}\)を\(A_{2n}\)とする。ここで、an a_{n+1}=a_{n+1}aとan a_{n+1}=a_{n+1}lとan a_{n+1}=a_{n+1}lとan a_{n+1}=a_{n+1}lとan a_{n+1}=a_{n+1}lとan a_{n+1}=a_{n+1}lとan a_{n+1}=a_{n+1}lとan a_{n+1}=a_{n+1}lとan a_{n+1}=a_{n+1}lとan a_{n+1}=a_{n+1}lとan a_{n+1}=a_{n+1}lとan a_{n+1}=a_{n+1}lとan a_{n+1}=a_{n+1}lとl a_{n+1}=a_{n+1}lと{{2{n_1}、2{n_2}+1}\right\}\）とし、\（n>N\）とします。 次に、いくつかの\(k>{N_1}\)または\({a_n}={a_{2k+1}}\)いくつかの\(k>{n_2}\)であるため、どちらの場合も
\
したがって、\(k>{n_2}\)である。infty lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\lim_{n\to\infty}\
div