Calculus I-derivater af hyperbolske funktioner

Vis Mobilmeddelelse Vis alle noter Skjul alle noter

Mobilmeddelelse
du ser ud til at være på en enhed med en “smal” skærmbredde (dvs.du er sandsynligvis på en mobiltelefon). På grund af karakteren af matematik på dette site er det bedste udsigt i liggende tilstand. Hvis din enhed ikke er i liggende tilstand, løber mange af ligningerne fra siden af din enhed (skal kunne rulle for at se dem), og nogle af menupunkterne afskæres på grund af den smalle skærmbredde.

afsnit 3-8 : Derivater af hyperbolske funktioner

det sidste sæt funktioner, som vi skal se i dette kapitel på, er de hyperbolske funktioner. I mange fysiske situationer opstår kombinationer af \({{\bf{e}}^}\) og \({{\bf{e}}^{ – h}}\) temmelig ofte. På grund af dette er disse kombinationer givet navne. Der er seks hyperbolske funktioner, og de er defineret som følger.

\

Her er graferne for de tre vigtigste hyperbolske funktioner.

graf af \(y=\cosh \venstre( h \højre)\). Det ser vagt ud som en opadgående parabola med toppunkt ved (0,1).graf af \(y=\sinh \venstre( h \højre)\). Det ser vagt ud som en opad som grafen for \(y=H^{3}\), der starter i den tredje kvadrant og stiger gennem oprindelsen (hvor den flader kort ud) og fortsætter med at stige i den første kvadrant.
graf af \(y=\tanh \venstre( h \højre)\). Grafen starter til venstre ved den vandrette asymptote ved \(y=-1\) og øges gennem (0,0) og nærmer sig derefter en anden vandret asymptote ved \(y=1\).

Vi har også følgende fakta om de hyperbolske funktioner.

\

du bemærker, at disse er ens, men ikke helt ens, til nogle af de mere almindelige trig-identiteter, så vær forsigtig med ikke at forveksle identiteterne her med dem i standard trig-funktionerne.

fordi de hyperbolske funktioner er defineret i form af eksponentielle funktioner at finde deres derivater er ret simpelt, forudsat at du allerede har læst det næste afsnit. Vi har dog ikke, så vi har brug for følgende formel, der let kan bevises, når vi har dækket det næste afsnit.

\

med denne formel gør vi derivatet for hyperbolsk sinus og overlader resten til dig som en øvelse.

\

for resten kan vi enten bruge definitionen af den hyperbolske funktion og/eller kvotientreglen. Her er alle seks derivater.

\

Her er et par hurtige derivater, der bruger hyperbolske funktioner.

eksempel 1 differentier hver af følgende funktioner.

  1. \(f \ left (h \right) = 2{h^5} \ cosh\)
  2. \(\displaystyle h \ left (t \right) = \frac {{\sinh t}}{{T + 1}}\)
Vis løsning

a

\

b

\



Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.