Calculus II-sekvenser
Vis Mobilmeddelelse Vis alle noter Skjul alle noter
afsnit 4-1 : Sekvenser
lad os starte dette afsnit med en diskussion af, hvad en sekvens er. En sekvens er intet andet end en liste over tal skrevet i en bestemt rækkefølge. Listen har måske eller måske ikke et uendeligt antal udtryk i dem, selvom vi udelukkende beskæftiger os med uendelige sekvenser i denne klasse. Generelle sekvensbetingelser betegnes som følger,
\
fordi vi vil beskæftige os med uendelige sekvenser, vil hvert udtryk i sekvensen blive efterfulgt af et andet udtryk som nævnt ovenfor. I notationen ovenfor skal vi være meget forsigtige med abonnementerne. Abonnementet på \(n + 1\) angiver det næste udtryk i sekvensen og ikke et plus udtrykket \(n^{\mboks{TH}}\)! Med andre ord,
\
så vær meget forsigtig, når du skriver abonnementer for at sikre dig, at “+1” ikke migrerer ud af abonnementet! Dette er en let fejl at lave, når du først begynder at håndtere denne slags ting.
der er en række forskellige måder at betegne en sekvens på. Hvert af følgende er ækvivalente måder at betegne en sekvens på.
\
i den anden og tredje notation over en er normalt givet ved en formel.
et par noter er nu i orden om disse notationer. Bemærk først forskellen mellem den anden og tredje notation ovenfor. Hvis udgangspunktet ikke er vigtigt eller antydes på en eller anden måde af problemet, skrives det ofte ikke ned, som vi gjorde i den tredje notation. Dernæst brugte vi kun et udgangspunkt for \(n = 1\) i den tredje notation, så vi kunne skrive en ned. Der er absolut ingen grund til at tro, at en sekvens starter ved \(n = 1\). En sekvens vil starte, hvor nogensinde det skal starte.
lad os se på et par sekvenser.
- \(\displaystyle \ left \ { {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}} \right\}_{n = 1}^ \ infty \)
- \(\displaystyle \ left \ { {\frac {{{\left ({- 1} \ right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), hvor \({b_n} = {n^{th}}{\mboks{ ciffer of }}\pi \)
Vis alle løsninger Skjul alle løsninger
for at få de første par sekvensudtryk her er alt, hvad vi skal gøre, at tilslutte værdier af \(n\) til den givne formel, så får vi sekvensen vilkår.
\
Bemærk inkluderingen af “…” i slutningen! Dette er et vigtigt stykke notation, da det er det eneste, der fortæller os, at sekvensen fortsætter og ikke ophører i sidste periode.
b \(\displaystyle \ left \ { {\frac {{{\left ({- 1} \ right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \ right\}_{n = 0}^\infty \) Vis løsning
denne ligner den første. Den største forskel er, at denne sekvens ikke starter ved \(n = 1\).
\
Bemærk, at udtrykkene i denne sekvens skifter i tegn. Sekvenser af denne art kaldes undertiden alternerende sekvenser.
c \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), hvor \({b_n} = {n^{th}}{\mboks{ ciffer of }}\pi \) Vis løsning
denne sekvens er forskellig fra de to første i den forstand, at den ikke har en specifik formel for hvert udtryk. Det fortæller os dog, hvad hvert udtryk skal være. Hvert udtryk skal være det niende ciffer i \(\pi\). Så vi ved, at \(\pi = 3.14159265359 \ ldots \)
sekvensen er derefter
\
i de to første dele af det foregående eksempel bemærk, at vi virkelig behandlede formlerne som funktioner, der kun kan have heltal tilsluttet dem. Eller
\
dette er en vigtig ide i studiet af sekvenser (og serier). Behandling af sekvensbetingelserne som funktionsevalueringer giver os mulighed for at gøre mange ting med sekvenser, som vi ellers ikke kunne gøre. Før vi går videre ind i denne ide, skal vi dog få et par flere ideer ud af vejen.
først vil vi tænke på at “tegne” en sekvens. For at tegne sekvensen \(\left \ { {{a_n}} \ right\}\) tegner vi punkterne \(\left( {n,{a_n}} \right)\) som \(n\) spænder over alle mulige værdier på en graf. Lad os for eksempel tegne sekvensen \(\left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty \). De første par punkter på grafen er,
\
grafen, for de første 30 udtryk i sekvensen, er derefter
denne graf fører os til en vigtig ide om sekvenser. Bemærk, at som \(n\) øger sekvensbetingelserne i vores sekvens, i dette tilfælde kommer tættere og tættere på nul. Vi siger så, at nul er grænsen (eller undertiden grænseværdien) for sekvensen og skriv,
\
denne notation skal se bekendt ud for dig. Det er den samme notation, vi brugte, da vi talte om grænsen for en funktion. Faktisk, hvis du husker, sagde vi tidligere, at vi kunne tænke på sekvenser som funktioner på en eller anden måde, og derfor bør denne notation ikke være for overraskende.
ved hjælp af de ideer, vi udviklede til grænser for funktioner, kan vi nedskrive følgende arbejdsdefinition for grænser for sekvenser.
arbejdsdefinition af grænse
- Vi siger, at \
Hvis vi kan lave en så tæt på \(L\) som vi ønsker for alle tilstrækkeligt store \(n\). Med andre ord nærmer værdien af \({a_n}\)’s tilgang \(L\) som \(n\) uendelig.
- vi siger, at \
Hvis vi kan lave en så stor som vi ønsker for alle tilstrækkeligt store \(n\). Igen, med andre ord, bliver værdien af \({a_n}\)’s større og større uden bundet som \(n\) nærmer sig uendelig.
- vi siger, at \
Hvis vi kan lave en så stor og negativ som vi ønsker for alle tilstrækkeligt store \(n\). Igen, med andre ord, er værdien af \({a_n}\) ‘ s negative og bliver større og større uden bundet som \(n\) nærmer sig uendelig.
arbejdsdefinitionerne for de forskellige sekvensgrænser er gode, fordi de hjælper os med at visualisere, hvad grænsen faktisk er. Ligesom med grænser for funktioner er der dog også en præcis definition for hver af disse grænser. Lad os give dem, før vi fortsætter
præcis Definition af grænse
- Vi siger, at \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_n} = L\) hvis for hvert nummer \(\varepsilon > 0\) der er et heltal \(N\) således at \
- Vi sig, at \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_n} = \infty \) hvis for hvert nummer \(m > 0\) der er et heltal \(n\) sådan, at \
- Vi siger, at \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_n} = – \infty \) hvis hvert tal \(m < 0\) der er et heltal \(N\) sådan at \
Vi vil ikke bruge den præcise definition ofte, men det vil dukke op lejlighedsvis.
Bemærk, at begge definitioner fortæller os, at for at en grænse skal eksistere og have en endelig værdi, skal alle sekvensudtryk komme tættere og tættere på den endelige værdi, når \(n\) stiger.
nu hvor vi har definitionerne af sekvensgrænsen ude af vejen, har vi en smule terminologi, som vi skal se på. Hvis \(\mathop {\lim} \limits_{n \til\ infty } {a_n}\) eksisterer og er endelig, siger vi, at sekvensen er konvergent. Hvis \(\mathop {\lim} \limits_{n \til\ infty } {a_n}\) ikke eksisterer eller er uendelig, siger vi, at sekvensen afviger. Bemærk, at vi nogle gange vil sige, at sekvensen afviger til \(\infty \) hvis \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_n} = \infty \) og hvis \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_n} = – \infty \) vi vil undertiden sige, at sekvensen afviger til \( – \infty \).
væn dig til udtrykkene” konvergent “og” divergent”, da vi vil se dem ganske lidt gennem dette kapitel.
så hvordan finder vi grænserne for sekvenser? De fleste grænser for de fleste sekvenser kan findes ved hjælp af en af følgende sætninger.
sætning 1
givet sekvensen \(\left\ {{{{a_n}} \right\}\) hvis vi har en funktion \(f\left( h \right)\) således at \(f\left( n \right) = {a_n}\) og \(\mathop {\lim }\limits_ {h \til \infty } f\left( h \right) = L\) derefter \(\mathop {\lim}} \limits_ {n \til \infty} {a_n} = l\)
denne sætning fortæller os dybest set, at vi tager grænserne for sekvenser, ligesom vi tager grænsen for funktioner. Faktisk vil vi i de fleste tilfælde ikke engang bruge denne sætning ved eksplicit at skrive ned en funktion. Vi vil oftere bare behandle grænsen som om det var en grænse for en funktion og tage grænsen, som vi altid gjorde tilbage i Calculus I, da vi tog grænserne for funktioner.
så nu hvor vi ved at tage grænsen for en sekvens er næsten identisk med at tage grænsen for en funktion, ved vi også, at alle egenskaber fra grænserne for funktioner også vil holde.
egenskaber
Hvis \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) og \(\left\{ {{b_n}} \right\}\) begge er konvergerende sekvenser, så
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } \left( {{a_n} \pm {b_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_n} \pm \mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {b_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } C{a_n} = C\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } \venstre( {{a_n}\,{b_n}} \højre) = \venstre( {\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_n}} \højre)\venstre( {\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {b_n}} \højre)\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } \frac{{{a_n}} {{{b_n}}} = \frac{{\mathop {\lim} \limits_{n \til \infty} {a_n}}} {{\mathop {\lim}} {{\mathop {\lim}} {{\mathop {\lim}} {{\mathop {\lim}} {{\mathop {\lim}} {{\mathop {\lim}} {{\mathop {\lim}} limits_ {n \ til \ infty} {b_n}}},\,\,\,\,\,{\{leveret }}\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {b_n} \ne 0\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } a_n^p = {\left^p}\) forudsat \({a_n} \ge 0\)
disse egenskaber kan bevises ved hjælp af sætning 1 ovenfor og funktionsgrænseegenskaberne vi så i calculus i, eller vi kan bevise dem direkte ved hjælp af den præcise definition af en grænse ved hjælp af næsten identiske beviser for funktionsgrænseegenskaberne.
næste, ligesom vi havde en klemte sætning for funktionsgrænser, har vi også en til sekvenser, og den er stort set identisk med funktionsgrænseversionen.
klem sætning for sekvenser
If \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) for alle \(n > N\) for nogle \(N\) og \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {b_n} = l\) derefter \(\Mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {c_n} = l\).
Bemærk, at i denne sætning “for alle \(n > N\) for nogle \(N\)” virkelig bare fortæller os, at vi skal have \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) for alle tilstrækkeligt store \(n\), men hvis det ikke er sandt for de første par \(n\), der ikke ugyldiggør sætningen.
da vi ikke ser alle sekvenser kan skrives som funktioner, som vi faktisk kan tage grænsen for. Dette gælder især for sekvenser, der skifter i tegn. Mens vi altid kan skrive disse sekvensudtryk som en funktion, ved vi simpelthen ikke, hvordan man tager grænsen for en sådan funktion. Følgende sætning vil hjælpe med nogle af disse sekvenser.
sætning 2
Hvis \(\mathop {\lim} \limits_{n \til \infty} \venstre| {{a_n}}\ højre| = 0\) derefter \(\mathop {\lim} \limits_{n \til\infty } {a_n} = 0\).
Bemærk, at for at denne sætning skal holde grænsen, skal den være nul, og den fungerer ikke for en sekvens, hvis grænse ikke er nul. Denne sætning er let nok til at bevise, så lad os gøre det.
bevis for sætning 2
det vigtigste ved dette bevis er at bemærke, at
\
så bemærk, at
\
vi så har \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } \left( { – \left| {{a_n}} \right|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } \left ({- \left| {{a_n}}\ right|} \ right) = \ mathop {\lim} \ limits_ {n \ til \ infty} \ left/{{a_n}} \ right / = 0\) og så ved klemningssætningen skal vi også have,
\
den næste sætning er en nyttig sætning, der giver konvergens / divergens og værdi (for når den er konvergent) af en sekvens, der opstår lejlighedsvis.
sætning 3
sekvensen \(\left\ {{{{r^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) konvergerer IF \( – 1< r \le 1\) og afviger for alle andre værdier af \(r\). Også
\
Her er et hurtigt (godt ikke så hurtigt, men absolut simpelt) delvis bevis på denne sætning.
delvis bevis for sætning 3
vi gør dette ved en række tilfælde, selvom det sidste tilfælde ikke vil blive fuldstændigt bevist.
sag 1 : \(r > 1\)
vi ved fra Calculus i, at \(\mathop {\lim }\limits_ {\til \infty } {r^h} = \infty \) hvis \(r > 1\) og så ved sætning 1 ovenfor ved vi også, at \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {r^n} = \infty \) og så afviger sekvensen hvis \(r > 1\).
sag 2: \(r = 1\)
i dette tilfælde har vi
\
så sekvensen konvergerer for \(r = 1\) og i dette tilfælde er grænsen 1.
sag 3 : \(0 < r < 1\)
vi ved fra Calculus i, at \(\mathop {\lim }\limits_ {\til \infty } {r^H} = 0\) if \(0 < r < 1\) og så ved sætning 1 ovenfor ved vi også, at \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {r^n} = 0\) og så konvergerer sekvensen, hvis \(0 < 1\) og i dette sag dens grænse er nul.
sag 4: \(r = 0\)
i dette tilfælde har vi
\
så sekvensen konvergerer for \(r = 0\) og i dette tilfælde er grænsen nul.
sag 5 : \( – 1 < r < 0\)
Lad os først bemærke, at hvis \( – 1 < r < 0\) så \(0 < \Left| r \right| < 1\) så i tilfælde 3 ovenfor har vi,
\
sætning 2 ovenfor fortæller os nu, at vi også skal have, \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {r^n} = 0\) og så hvis \( – 1 < r < 0\) sekvensen konvergerer og har en grænse på 0.
sag 6 : \(r = – 1\)
i dette tilfælde er sekvensen
\
og forhåbentlig er det klart, at \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {\left ({- 1} \right)^n}\) ikke eksisterer. Husk, at for at denne grænse skal eksistere, skal udtrykkene nærme sig en enkelt værdi, når \(n\) stiger. I dette tilfælde dog vilkårene bare skifte mellem 1 og -1 og så grænsen ikke eksisterer.
så sekvensen afviger for \(r = – 1\).
sag 7: \(r < – 1\)
i dette tilfælde vil vi ikke gennemgå et komplet bevis. Lad os bare se, hvad der sker, hvis vi lader \(r = – 2\) for eksempel. Hvis vi gør det, bliver sekvensen
\
så hvis \(r = – 2\) får vi en sekvens af udtryk, hvis værdier skifter i tegn og bliver større og større og så \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {\left( { – 2} \right)^n}\) eksisterer ikke. Det sætter sig ikke ned til en enkelt værdi, da \(n\) stiger, og udtrykkene nærmer sig heller ikke uendelig. Så afviger sekvensen for \(r = – 2\).
Vi kunne gøre noget lignende for enhver værdi af \(r\) sådan at \(r < – 1\) og så afviger sekvensen for \(r < – 1\).
lad os se på et par eksempler på grænser for sekvenser.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{3{n^2} – 1}}{{10N + 5{n^2}}}} \right\}_{n = 2}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac {{{\bf {e}}^{2n}}} {n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\ {{\displaystyle \frac {{{{\left ({- 1} \right)}^n}} {n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\ {{{\left ({- 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
Vis alle løsninger Skjul alle løsninger
i dette tilfælde er alt, hvad vi skal gøre, at huske den metode, der var udviklet i Calculus I til at håndtere grænserne for rationelle funktioner. Se grænserne ved uendelighed, del i afsnit af Calculus i noter til en gennemgang af dette, hvis du har brug for.
for at gøre en grænse i denne form er alt, hvad vi skal gøre, faktor fra tælleren og nævneren den største effekt af \(n\), Annuller og tag derefter grænsen.
\
så sekvensen konvergerer, og dens grænse er \(\frac{3}{5}\).
b \(\left \ { {\displaystyle \ frac {{{{\bf{e}}^{2n}}} {n}} \ right\}_{n = 1}^\infty \) Vis løsning
Vi bliver nødt til at være forsigtige med denne. Vi bliver nødt til at bruge L ‘ hospitalets regel om denne sekvens. Problemet er, at L ‘ Hospitals regel kun fungerer på funktioner og ikke på sekvenser. Normalt ville dette være et problem, men vi har sætning 1 ovenfra for at hjælpe os. Lad os definere
\
og bemærk, at
\
sætning 1 siger, at alt, hvad vi skal gøre, er at tage grænsen for funktionen.
\
så sekvensen i denne del afviger (til \(\infty \)).
oftere end ikke gør vi bare L’hospitalets regel om sekvensbetingelserne uden først at konvertere til \(H\)’ S, da arbejdet vil være identisk, uanset om vi bruger \(H\) eller \(n\). Vi skal dog virkelig huske, at vi teknisk set ikke kan gøre derivaterne, mens vi beskæftiger os med sekvensbetingelser.
c \ (\left \ { {\displaystyle \frac {{{{\left ({- 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Vis løsning
Vi skal også være forsigtige med denne sekvens. Vi kan blive fristet til bare at sige, at grænsen for sekvensbetingelserne er nul (og vi ville være korrekte). Teknisk set kan vi dog ikke tage grænsen for sekvenser, hvis udtryk skifter i tegn, fordi vi ikke ved, hvordan vi gør grænser for funktioner, der udviser den samme adfærd. Vi vil også være meget forsigtige med ikke at stole for meget på intuition med disse problemer. Som vi vil se i næste afsnit og i senere afsnit, kan vores intuition føre os på afveje i disse problemer, hvis vi ikke er forsigtige.
så lad os arbejde Denne ved bogen. Vi bliver nødt til at bruge sætning 2 på dette problem. Til dette skal vi først beregne,
\
Derfor, da grænsen for sekvensbetingelserne med absolutte værdibjælker på dem går til nul, ved vi ved sætning 2, at
\
hvilket også betyder, at sekvensen konvergerer til en værdi på nul.
d \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Vis løsning
for denne sætning bemærk, at alt hvad vi skal gøre er at indse, at dette er sekvensen i sætning 3 ovenfor ved hjælp af \(r = – 1\). Så ved sætning 3 afviger denne sekvens.
Vi skal nu give en advarsel om misbrug af sætning 2. Sætning 2 fungerer kun, hvis grænsen er nul. Hvis grænsen for den absolutte værdi af sekvensbetingelserne ikke er nul, vil sætningen ikke holde. Den sidste del af det foregående eksempel er et godt eksempel på dette (og faktisk er denne advarsel hele grunden til, at en del er der). Bemærk, at
\
og alligevel, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 1} \right)^n}\) eksisterer ikke engang endsige lig 1. Så vær forsigtig med at bruge denne sætning 2. Du skal altid huske, at det kun fungerer, hvis grænsen er nul.
før vi går videre til næste afsnit, skal vi give endnu en sætning, som vi skal bruge til et bevis på vejen.
sætning 4
for sekvensen \(\venstre\ {{{{a_n}} \højre\}\) hvis begge \(\mathop {\lim }\limits_ {n \til \infty} {a_ {2n}} = L\) og \(\mathop {\lim }\limits_ {n \til \infty} {a_ {2n + 1}} = L\) derefter \(\venstre\ {{{{a_n}} \højre\}\) er konvergent og \(\mathop {\lim }\limits_ {n \til \infty} {a_n} = l\).
bevis for sætning 4
lad \(\varepsilon> 0\).
så siden \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_{2n}} = L\) er der en \({N_1} > 0\) sådan, at hvis \(n > {N_1}\) ved vi, at
\
ligeledes fordi \(\Mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_{2n + 1}} = l\) der er en \({n_2} > 0\) sådan, at hvis \(n > {n_2}\) ved vi, at
\
nu,lad \(N = \Maks \venstre\{ {2{n_1}, 2{n_2} + 1} \højre\}\) og lad \(n > n\). Derefter enten \({a_n} = {a_{2k}}\) for nogle \(k > {N_1}\) eller \({a_n} = {a_{2k + 1}}\) For nogle \(k > {n_2}\) og så I begge tilfælde har vi det,
\
derfor er \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_n} = l\) og så \(\Left\{ {{a_n}} \right\}\) konvergent.