Den skjulte vri til at lave en M-Tristbius-strimmel

inden for symplektisk geometri, et centralt emne involverer, hvordan man tæller Skæringspunkterne for to komplicerede geometriske rum. Dette tællespørgsmål er kernen i et af de mest berømte problemer på området, Arnold-formodningen, og det er også et spørgsmål om grundlæggende teknik: matematikere har brug for at vide, hvordan man foretager disse tællinger for at udføre andre former for forskning.

som jeg beskriver i min artikel “en kamp for at rette geometriens fundament”, har udviklingen af en metode til at tælle disse skæringspunkter været en udtrukket og undertiden omstridt proces. En pålidelig, bredt forstået, fejlfri tilgang har præsenteret en udfordring af en række årsager, fra manglen på et fælles ordforråd, når et nyt felt kommer i gang (symplektisk geometri startede først virkelig begyndende i 1990 ‘ erne), til selve problemets art: kort sagt, det er svært.

vanskeligheden ligger i, at det af subtile grunde ikke er muligt at tælle skæringspunkterne på en gang. I stedet skal matematikere bryde rummet ned i” lokale “regioner, tælle skæringspunkter i hver region og tilføje dem sammen for at få det” globale ” antal. At samle lokale tællinger har vist sig at være en mere delikat og teknisk krævende opgave end matematikere indså i starten: hvis du ikke er forsigtig med, hvordan du tegner dine lokale regioner, kan du nemt udelade et skæringspunkt eller dobbelttælle et andet.

de følgende illustrationer undersøger opgavens vanskelighed ved hjælp af en M-Pristbius-strimmel (et todimensionelt cirkulært bånd med en drejning i det). M Pristbius-strimlen har to cirkler, der passerer gennem overfladen. Spørgsmålet er: hvor mange gange skærer de to cirkler hinanden? Som du vil se, ser svaret ud til at være en ting, når du ser på strimlen på en gang, og en anden, hvis du ikke er forsigtig, når du skærer m-Tristbius-strimlen i to stykker.

et Tællepuslespil

matematikere ønsker at tælle skæringspunkter, men visse forhindringer forhindrer dem i at tælle alle disse punkter direkte. For at overvinde disse forhindringer deler de manifolden i “lokale” regioner i bidestørrelse, tæller krydsene i hver og tilføjer dem sammen for at få en optælling for hele manifolden.

men hvis matematikere ikke er forsigtige med, hvordan de kombinerer tællinger fra lokale regioner, kan de let ende med det forkerte antal for hele manifolden. Delikatessen ved at tilføje lokale tællinger sammen er tydelig i dette enkle eksempel.

M Pristbius Rip

tag en M Pristbius strip. Tegn to cirkler, der løber gennem det. Hvis man ser på hele m-strimlen, skal de to cirkler krydse hinanden mindst en gang: den ene cirkel starter over den anden, men ender under den på grund af stripens snoede natur.

skær nu den samme m-Pristbius-strimmel i to stykker. Udskæringerne fjerner drejningen i strimlen. Tegn to cirkelsegmenter på hvert stykke. Uden vridningen er det nemt at tegne cirkelsegmenterne, så de løber parallelt med hinanden og aldrig skærer hinanden. Som en konsekvens, du kan fejlagtigt konkludere, at antallet af kryds på hele m-Pristbius-strimlen er nul. Matematikere i symplektisk geometri har lært, at limning af “lokale” stykker for at gendanne et “globalt” krydsantal er en meget mere kompleks proces, end de først forestillede sig.