det Binomial Sætning
binomiale udvidelser ved hjælp af Pascals trekant
overvej følgende udvidede beføjelser (a + b)n, hvor A + b er enhver binomial og n er et helt tal. Kig efter mønstre.
hver udvidelse er et polynom. Der er nogle mønstre, der skal bemærkes.
1. Der er endnu et udtryk end eksponentens magt, n. det vil sige, der er udtryk i udvidelsen af (A + b)n.
2. I hvert udtryk er summen af eksponenterne n, den kraft, som binomialet hæves til.
3. Eksponenterne for en start med n, binomialets kraft og fald til 0. Den sidste periode har ingen faktor A. den første periode har ingen faktor b, så beføjelser B starter med 0 og øges til n.
4. Koefficienterne starter ved 1 og stiger gennem visse værdier omkring “halv”-vejs og falder derefter gennem de samme værdier tilbage til 1.
lad os undersøge koefficienterne yderligere. Antag, at vi ønsker at finde en udvidelse af (A + b)6. De mønstre, vi netop har bemærket, indikerer, at der er 7 udtryk i udvidelsen:
a6 + c1a5b + c2a4b2 + c3a3b3 + c4a2b4 + c5ab5 + b6.
Hvordan kan vi bestemme værdien af hver koefficient, ci? Vi kan gøre det på to måder. Den første metode indebærer at skrive koefficienterne i et trekantet array som følger. Dette er kendt som Pascals trekant:
der er mange mønstre i trekanten. Find så mange som du kan.
måske har du opdaget en måde at skrive den næste række af tal på, givet tallene i rækken over den. Der er altid 1 på ydersiden. Hvert resterende tal er summen af de to tal over det. Lad os prøve at finde en udvidelse til (A + b)6 ved at tilføje en anden række ved hjælp af de mønstre, vi har opdaget:
vi ser, at i den sidste række
1.og sidste tal er 1;
det 2. tal er 1 + 5 eller 6;
det 3. tal er 5 + 10 eller 15;
det 4. tal er 10 + 10, eller 20;
det 5. tal er 10 + 5 eller 15; og
det 6. tal er 5 + 1 eller 6.
således er udvidelsen for(a + b)6
(A + b)6 = 1A6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1B6.
for at finde en udvidelse til (A + b)8 afslutter vi to rækker af Pascals trekant:
således er udvidelsen af is
(A + b)8 = A8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8.
Vi kan generalisere vores resultater som følger.
Binomialsætningen ved hjælp af Pascals trekant
for enhver binomial a + b og ethvert naturligt tal n,
(a + b)n = c0anb0 + c1an-1B1 + c2an-2B2 + …. + cn-1a1bn – 1 + cna0bn,
hvor tallene c0, c1, c2,…., cn-1, cn er fra (n + 1) – st række af Pascals trekant.
eksempel 1 Udvid: (u-v) 5.
løsning vi har (a + b) n, hvor a = u, b = -v og n = 5. Vi bruger den 6. række af Pascals trekant:
1 5 10 10 5 1
så har vi
(u – v)5 = 5 = 1(u)5 + 5(u)4(-v)1 + 10(u)3(-v) 2 + 10 (u)2 (- v) 3 + 5 (u) (- v)4 + 1 (- v)5 = u5-5u4v + 10u3v2 – 10u2v3 + 5uv4-V5.
Bemærk, at tegnene på udtrykkene skifter mellem + og -. Når kraften i-v er ulige, tegnet er -.
eksempel 2 Udvid: (2T + 3 / t) 4.
løsning vi har (a + b) n, hvor a = 2T, b = 3/t og n = 4. Vi bruger den 5. række af Pascals trekant:
1 4 6 4 1
så har vi
Binomial ekspansion ved hjælp af faktoriel Notation
Antag at vi vil finde udvidelsen af (A + b)11. Ulempen ved at bruge Pascals trekant er, at vi skal beregne alle de foregående rækker i trekanten for at opnå den række, der er nødvendig for udvidelsen. Følgende metode undgår dette. Det giver os også mulighed for at finde et specifikt udtryk — siger 8.sigt — uden at beregne alle de andre vilkår for udvidelsen. Denne metode er nyttig i sådanne kurser som endelig matematik, beregning og statistik, og den bruger binomial koefficient notation 
.
Vi kan gentage binomialsætningen som følger.
den binomiale sætning ved hjælp af faktoriel Notation
for enhver binomial (A + b) og ethvert naturligt tal n,
.den binomiale sætning kan bevises ved matematisk induktion. (Jf. øvelse 63.) Denne formular viser, hvorfor kaldes en binomial koefficient.eksempel 3 Udvid: (2-2y) 5.
løsning vi har (a + b) n,hvor a = H2, b = -2y og n = 5. Så ved hjælp af binomial sætning, har vi
endelig (H2 – 2y)5 = H10 – 10h8y + 40h6y2 – 80h4y3 + 80h2y4 – 32y5.
eksempel 4 Udvid: (2 / gange + 3 gange) 4.
løsning vi har (a + b) n, hvor a = 2/H, b = 3 g og n = 4. Derefter har vi
endelig (2 / 3 3) 4 = 16 / 4 + 96 / 5/2 + 216/216h1 / 2 81h2.
Find et bestemt udtryk
Antag, at vi kun vil bestemme et bestemt udtryk for en udvidelse. Den metode, vi har udviklet, giver os mulighed for at finde et sådant udtryk uden at beregne alle rækkerne i Pascals trekant eller alle de foregående koefficienter.
Bemærk, at
giver os 1.term,
giver os 2. term,
giver os 3. term og så videre. Dette kan generaliseres som følger.
find (k + 1)-st Term
(k + 1)-st term af (a + b)n er 
.
eksempel 5 Find den 5. periode i udvidelsen af (2h-5y)6.
løsning først bemærker vi, at 5 = 4 + 1. K = 4, A = 2 gange, b = – 5y og n = 6. Derefter er udvidelsens 5. periode
eksempel 6 Find den 8.periode i udvidelsen af (3h – 2)10.
løsning først bemærker vi, at 8 = 7 + 1. K = 7, a = 3 gange, b = -2 og n = 10. Derefter er udvidelsens 8. periode
Samlet antal undergrupper
Antag at et sæt har n objekter. Antallet af undergrupper, der indeholder K-elementer . Det samlede antal undergrupper af et sæt er antallet af undergrupper med 0 elementer plus antallet af undergrupper med 1 element plus antallet af undergrupper med 2 elementer osv. Det samlede antal delmængder af et sæt med n elementer er
.
overvej nu udvidelsen af (1 + 1)n:
.
således er det samlede antal delmængder (1 + 1)n eller 2n. vi har bevist følgende.
Samlet antal undergrupper
det samlede antal undergrupper af et sæt med n-elementer er 2n.
eksempel 7 Sættet {A, B, C, D, E} har hvor mange undergrupper?
løsning sættet har 5 elementer, så antallet af undergrupper er 25 eller 32.
Eksempel 8 Vendys, en national restaurantkæde, tilbyder følgende påfyldninger til sine hamburgere:
{catsup, sennep, mayonnaise, tomat, salat, løg, pickle, relish, ost}.
hvor mange forskellige slags hamburgere kan vi servere, bortset fra hamburgerens størrelse eller antallet af patties?
løsning påfyldningerne på hver hamburger er elementerne i en delmængde af sættet med alle mulige påfyldninger, hvor det tomme sæt er en almindelig hamburger. Det samlede antal mulige hamburgere er
således serverer Vendys hamburgere på 512 forskellige måder.