Ellipse
en ellipse ser normalt ud som en knust cirkel:
“F” er et fokus, “G” er et fokus,
og sammen kaldes de foci.
(udtales “fo-suk”)
den samlede afstand fra F til P til G forbliver den samme
med andre ord rejser vi altid den samme afstand, når vi går fra:
- punkt “F” til
- til ethvert punkt på ellipsen
- og derefter videre til punktet “G”
du kan tegne det selv
sæt to ben i et bord, og derefter …
Sæt en løkke af streng omkring dem,
indsæt en blyant i løkken,
stræk strengen, så den danner en trekant,
og tegne en kurve.
det er en ellipse!
det virker, fordi strengen naturligt tvinger den samme afstand fra pin-til-blyant-til-anden-pin.
en cirkel er en Ellipse
faktisk er en cirkel en Ellipse, hvor begge foci er på samme punkt (midten).
med andre ord er en cirkel et “specielt tilfælde” af en ellipse. Ellipser Styrer!
Definition
en ellipse er sæt af alle punkter på et plan, hvis afstandfra to faste punkter F og G tilføje op til en konstant.
større og mindre akser
hovedaksen er den længste diameter. Det går fra den ene side af ellipsen, gennem midten, til den anden side, i den bredeste del af ellipsen. Og den mindre akse er den korteste diameter (i den smaleste del af ellipsen).
den Semi-store akse er halvdelen af hovedaksen, og den Semi-mindre akse er halvdelen af den mindre akse.
hovedakse er lig med f + g
Husk fra toppen, hvordan afstanden “f+g” forbliver den samme for en ellipse?
godt f + g er lig med længden af hovedaksen.
kan du tænke hvorfor? (Prøv at flytte punktet P øverst.)
beregninger
område er let, omkreds er ikke!
område
arealet af en ellipse er:
Lip a lip b
hvor A er længden af den semi-store akse, og B er længden af den semi-mindre akse.
vær forsigtig: A og b er fra midten udad (ikke hele vejen på tværs).
(Bemærk: For en cirkel er a og b lig med radiusen, og du får kr. r kr. r = nr2, hvilket er rigtigt!)
Perimeter tilnærmelse
temmelig mærkeligt er omkredsen af en ellipse meget vanskelig at beregne, så jeg oprettede en speciel side til emnet: læs omkredsen af en Ellipse for flere detaljer.5% af den sande værdi (så længe a ikke er mere end 3 gange længere end b) er som følger:
husk, dette er kun en grov tilnærmelse! (Derfor er “lighedstegnet” skævt.)
Tangent
en tangentlinje berører bare en kurve på et tidspunkt uden at skære over den.Her er en tangent til en ellipse:
Her er en cool ting: tangentlinjen har lige vinkler med de to linjer, der går til hvert fokus!Prøv at bringe de to fokuspunkter sammen (så ellipsen er en cirkel) … hvad bemærker du?
refleksion
lys eller lyd, der starter ved et fokuspunkt, reflekterer til det andet fokuspunkt (fordi vinkel i matcher vinkel ud):
har et spil med en simpel computermodel af refleksion inde i en ellipse.
ekscentricitet
ekscentriciteten er et mål for, hvordan “un-round” ellipsen er.
formlen (ved hjælp af semi-dur og semi-minor akse) er:
list(a2−b2)a
sektion af en kegle
Du kan også få en ellipse, når du skærer gennem en kegle (men ikke for stejl en skive, eller hvis du Du får en parabel eller hyperbola).faktisk er ellipsen en konisk sektion (en sektion af en kegle) med en ekscentricitet mellem 0 og 1.
ligning
ved at placere en ellipse på en H-y-graf (med dens hovedakse på h-aksen og mindre akse på y − aksen) er kurvens ligning:
h2a2 + y2b2 = 1
(svarende til ligningen af hyperbola: H2/A2 −Y2/B2 = 1, bortset fra en “+” i stedet for en” -“)
eller vi kan “parametriske ligninger”, hvor vi har en anden variabel “t”, og vi beregner h og Y fra det, som dette:
- = a cos(t)
- y = B sin(t)
(forestil dig “t”, der går fra 0 liter til 360 liter, hvilke værdier ville vi få?)