Kartesisk koordinatsystem

Fig. 1-kartesisk koordinatsystem. Fire punkter er markeret: (2,3) i grønt, (-3,1) i rødt, (-1,5,-2,5) i blåt og (0,0), oprindelsen, i gult.

i matematik, det kartesiske koordinatsystem (eller rektangulært koordinatsystem) bruges til at bestemme hvert punkt entydigt i et plan gennem to tal, normalt kaldet kn-koordinat og Y-koordinat af punktet. For at definere koordinaterne specificeres to vinkelrette rettede linjer (h-aksen eller abscissen og y-aksen eller ordinaten) såvel som enhedslængden, der er markeret på de to akser (se figur 1). Kartesiske koordinatsystemer bruges også i rummet (hvor tre koordinater anvendes) og i højere dimensioner.

Fig. 2-kartesisk koordinatsystem med cirklen med radius 2 centreret ved oprindelsen markeret med rødt. Ligningen af cirklen er H2 + y2 = 4.

Ved hjælp af det kartesiske koordinatsystem kan geometriske former (såsom kurver) beskrives ved algebraiske ligninger, nemlig ligninger opfyldt af koordinaterne for de punkter, der ligger på formen. For eksempel kan en cirkel med radius 2 beskrives ved ligningen H2 + y2 = 4 (Se figur 2).

historie

kartesisk betyder relateret til den franske matematiker og filosof ren Kristian Descartes (Latin: Cartesius), der blandt andet arbejdede for at fusionere algebra og euklidisk geometri. Dette arbejde var indflydelsesrig i udviklingen af analytisk geometri, beregning og kartografi.

ideen om dette system blev udviklet i 1637 i to skrifter af Descartes. I del to af sin diskurs om metode introducerer Descartes den nye ide om at specificere placeringen af et punkt eller objekt på en overflade ved hjælp af to skærende akser som måleguider. I La g-Kurtom-Kurstrie udforsker han yderligere de ovennævnte begreber.

todimensionelt koordinatsystem

Fig. 3-de fire kvadranter i et kartesisk koordinatsystem. Pilene på akserne indikerer, at de strækker sig for evigt i deres respektive retninger (dvs.uendeligt).

et kartesisk koordinatsystem i to dimensioner defineres almindeligvis af to akser, vinkelret på hinanden, der danner et plan (et hy-plan). I et tredimensionelt koordinatsystem tilføjes en anden akse, normalt mærket med, hvilket giver en tredje dimension af rummåling. Akserne defineres almindeligvis som gensidigt ortogonale til hinanden (hver i en ret vinkel til den anden). (Tidlige systemer tillod “skrå” akser, det vil sige akser, der ikke mødtes vinkelret, og sådanne systemer bruges lejlighedsvis i dag, dog mest som teoretiske øvelser.) Alle punkter i et kartesisk koordinatsystem tilsammen danner et såkaldt kartesisk plan. Ligninger, der bruger det kartesiske koordinatsystem, kaldes kartesiske ligninger.

skæringspunktet, hvor akserne mødes, kaldes oprindelsen normalt mærket O.Akserne h og y definerer et plan, der kaldes HS-planet.I betragtning af hver akse skal du vælge en enhedslængde og markere hver enhed langs aksen og danne en grid.To Angiv et bestemt punkt på et todimensionelt koordinatsystem, Angiv enheden først (abscissa) efterfulgt af Y-enheden (ordinat) i formularen (H, y), et ordnet par.

valget af bogstaver kommer fra en konvention for at bruge den sidste del af alfabetet til at angive ukendte værdier. I modsætning hertil blev den første del af alfabetet brugt til at betegne kendte værdier.

et eksempel på et punkt P på systemet er angivet i figur 3 ved hjælp af koordinaten (3,5).

skæringspunktet mellem de to akser skaber fire regioner, kaldet kvadranter, angivet med romertal I (+,+), II (−,+), III ( − ,−) og IV (+,−). Konventionelt er kvadranterne mærket mod uret startende fra den øverste højre (“nordøstlige”) kvadrant. I den første kvadrant er begge koordinater positive, i den anden kvadrant er koordinaterne negative og Y-koordinaterne positive, i den tredje kvadrant er begge koordinater negative, og i den fjerde kvadrant er koordinaterne positive og Y-koordinaterne negative (se tabel nedenfor.)

tredimensionelt koordinatsystem

Fig. 4-tredimensionelt kartesisk koordinatsystem med y-akse, der peger væk fra observatøren.

Fig. 5-tredimensionelt kartesisk koordinatsystem med H-aksen pegende mod observatøren.

det tredimensionelle kartesiske koordinatsystem giver de tre fysiske dimensioner af rumlængde, bredde og højde. Figur 4 og 5 viser to almindelige måder at repræsentere det på.

de tre kartesiske akser, der definerer systemet, er vinkelret på hinanden. De relevante koordinater er af formularen (h,y,å). Som et eksempel viser figur 4 to punkter afbildet i et tredimensionelt kartesisk koordinatsystem: P(3,0,5) og K(-5,-5,7). Akserne er afbildet i en” verdenskoordinater ” orientering med å-aksen pegende opad.et punkt kan også betragtes som afstanden fra henholdsvis y-plan, y-plan og y-plan. Figur 5 viser afstanden til punkt P fra flyene.det tredimensionelle rum opdeles i otte underopdelinger kendt som oktanter, svarende til kvadranterne i 2D-rummet. Mens der er etableret konventioner til mærkning af de fire kvadranter i røntgenplanet, er kun den første oktant af tredimensionelt rum mærket. Den indeholder alle de punkter, hvis koordinater er positive.

koordinaten kaldes også applicate.

orientering og handedness

se også: højre regel

i to dimensioner

højre håndregel.

fastsættelse eller valg af H-aksen bestemmer y-aksen op til retning. Y-aksen er nødvendigvis vinkelret på h-aksen gennem punktet markeret 0 på h-aksen. Men der er et valg af hvilken af de to halvlinjer på vinkelret at betegne som positive og hvilke som negative. Hvert af disse to valg bestemmer en anden orientering (også kaldet handedness) af det kartesiske plan.

den sædvanlige måde at orientere akserne på, hvor den positive h-akse peger til højre og den positive y-akse peger opad (og H-aksen er den “første” og y-aksen den “anden” akse) betragtes som den positive eller standardorientering, også kaldet højrehåndet orientering.

en almindeligt anvendt huskeregel til at definere den positive orientering er højre håndregel. Ved at placere en noget lukket højre hånd på flyet med tommelfingeren opad peger fingrene fra H-aksen til y-aksen i et positivt orienteret koordinatsystem.

den anden måde at orientere akserne på følger venstre håndregel og placerer venstre hånd på flyet med tommelfingeren opad.

uanset hvilken regel der bruges til at orientere akserne, vil rotation af koordinatsystemet bevare orienteringen. Skift af rollen som Y og Y vil vende retningen.

i tre dimensioner

Fig. 7-venstrehåndet orientering vises til venstre og højrehåndet til højre.

Fig. 8-Det højrehåndede kartesiske koordinatsystem, der angiver koordinatplanerne.

når h – og y-akserne er angivet, bestemmer de den linje, langs hvilken å-aksen skal ligge, men der er to mulige retninger på denne linje. De to mulige koordinatsystemer, der resulterer, kaldes” højrehåndet “og” venstrehåndet.”Standardorienteringen, hvor HS-planet er vandret og HS-aksen peger op (og HS – og y-aksen danner et positivt orienteret todimensionelt koordinatsystem i HS-planet, hvis det observeres ovenfra HS-planet) kaldes højrehåndet eller positivt.

navnet stammer fra højre regel. Hvis pegefingeren på højre hånd peger fremad, bøjes langfingeren indad i en ret vinkel mod den, og tommelfingeren placeres i en ret vinkel mod begge, angiver de tre fingre de relative retninger af H -, y-og H-akserne i et højrehåndet system. Tommelfingeren angiver h-aksen, pegefingeren y-aksen og langfingeren å-aksen. Omvendt, hvis det samme gøres med venstre hånd, resulterer et venstrehåndet system.

forskellige discipliner bruger forskellige variationer af koordinatsystemerne. For eksempel bruger matematikere typisk et højrehåndet koordinatsystem med y-aksen pegende opad, mens ingeniører typisk bruger et venstrehåndet koordinatsystem med å-aksen pegende opad. Dette har potentialet til at føre til forvirring, når ingeniører og matematikere arbejder på det samme projekt.

Figur 7 er et forsøg på at skildre et venstre – og et højrehåndet koordinatsystem. Fordi et tredimensionelt objekt er repræsenteret på den todimensionale skærm, resulterer forvrængning og tvetydighed. Aksen, der peger nedad (og til højre), er også beregnet til at pege mod observatøren, mens den “midterste” akse er beregnet til at pege væk fra observatøren. Den røde cirkel er parallel med det vandrette plan og indikerer rotation fra H-aksen til y-aksen (i begge tilfælde). Derfor passerer den røde pil foran å-aksen.

figur 8 er et andet forsøg på at skildre et højrehåndet koordinatsystem. Igen er der en tvetydighed forårsaget af at projicere det tredimensionelle koordinatsystem i Planet. Mange observatører ser figur 8 som” at vende ind og ud “mellem en konveks terning og et konkavt” hjørne.”Dette svarer til de to mulige orienteringer af koordinatsystemet. At se figuren som konveks giver et venstrehåndet koordinatsystem. Således er den” korrekte ” måde at se figur 8 på at forestille sig h-aksen som pegende mod observatøren og således se et konkavt hjørne.

i fysik

ovenstående diskussion gælder for kartesiske koordinatsystemer i matematik, hvor det er almindeligt at ikke bruge nogen måleenheder. I fysik er det vigtigt at bemærke, at en dimension simpelthen er et mål for noget, og at der for hver klasse af funktioner, der skal måles, kan tilføjes en anden dimension. Vedhæftning til visualisering af dimensionerne udelukker forståelse af de mange forskellige dimensioner, der kan måles (tid, masse, farve, pris osv.). Multidimensionelle objekter kan beregnes og manipuleres algebraisk.

repræsenterer en vektor med kartesisk notation

et punkt i rummet i et kartesisk koordinatsystem kan også repræsenteres af en vektor, som kan betragtes som en pil, der peger fra koordinatsystemets oprindelse til punktet. Hvis koordinaterne repræsenterer rumlige positioner (forskydninger), er det almindeligt at repræsentere vektoren fra oprindelsen til interessepunktet som r {\displaystyle \mathbf {r} } . Ved hjælp af kartesiske koordinater kan vektoren fra oprindelsen til punktet ( H , y , å ) {\displaystyle (h,y,å)} skrives som:

r = x i + y j + z k {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }

where i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } , and k {\displaystyle \mathbf {k} } are unit vectors that point the same direction as the x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} og å {\displaystyle å} akser hhv.

denne notation kaldes typisk kartesisk notation. Enhedsvektorerne i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } og k {\displaystyle \mathbf {k} } kaldes versorerne i koordinatsystemet og repræsenterer et eksempel på standardbasis.

yderligere noter

I computergeometri er det kartesiske koordinatsystem grundlaget for den algebraiske manipulation af geometriske former. Mange andre koordinatsystemer er blevet udviklet siden Descartes. Et almindeligt sæt systemer bruger polære koordinater; astronomer bruger ofte sfæriske koordinater, en type polært koordinatsystem.

Se også

• kurve
• geometri
• graf
• linje (matematik)
• matematik
• nummer
• plan (matematik)
• punkt (geometri)
• ren Kristian Descartes

noter

• Descartes, ren L. 2001. Diskurs om metode, optik, geometri og meteorologi. Trans. Paul J. Olscamp. Indianapolis, i: Hackett Pub. ISBN 0872205673.
• gel Larfand, I. M., E. G. Glagoleva og A. A. Kirillov. 1990. Metoden for koordinater. Birkhauser. ISBN 0817635335.
• Kline, Morris. 1985. Matematik for ikke-matematikeren. Dover. ISBN 0817635335.

alle links hentet 16.januar 2017.

• kartesisk koordinatsystem.
• printbare kartesiske koordinater.
• kartesiske koordinater. PlanetMath.

Credits

ny verdens encyklopædi forfattere og redaktører omskrev og afsluttede artiklen i overensstemmelse med den nye verdens encyklopædi standarder. Denne artikel overholder vilkårene i Creative Commons CC-by-sa 3.0 licens (CC-by-sa), som kan bruges og formidles med korrekt tilskrivning. Kredit forfalder i henhold til vilkårene i denne licens, der kan henvise til både bidragydere fra Den Nye Verdens encyklopædi og de uselviske frivillige bidragydere fra . For at citere denne artikel skal du klikke her for en liste over acceptable citeringsformater.Historien om tidligere bidrag er tilgængelig for forskere her:

• kartesisk koordinatsystemhistorie

historien om denne artikel, da den blev importeret til ny verdens encyklopædi:

• historie af “kartesisk koordinatsystem”

Bemærk: nogle begrænsninger kan gælde for brug af individuelle billeder, der er separat licenseret.