Odds

beregning af sandsynlighed (risiko) vs odds

i statistik er odds et udtryk for relative sandsynligheder, generelt citeret som odds til fordel. Oddsene (til fordel) for en begivenhed eller et forslag er forholdet mellem sandsynligheden for, at begivenheden vil ske med sandsynligheden for, at begivenheden ikke vil ske. Matematisk er dette et Bernoulli-forsøg, da det har nøjagtigt to resultater. I tilfælde af et endeligt prøveområde med lige sandsynlige resultater er dette forholdet mellem antallet af resultater, hvor begivenheden finder sted, og antallet af resultater, hvor begivenheden ikke forekommer; disse kan repræsenteres som V og L (for sejre og tab) eller S og F (for succes og fiasko). For eksempel er oddsene for, at en tilfældigt valgt ugedag er en helgen, to til fem (2:5), Da ugedage danner et prøveområde på syv resultater, og begivenheden finder sted for to af resultaterne (lørdag og søndag) og ikke for de andre fem. Omvendt givet odds som et forhold mellem heltal, kan dette repræsenteres af et sandsynlighedsrum med et endeligt antal lige sandsynlige resultater. Disse definitioner er ækvivalente, da opdeling af begge udtryk i forholdet med antallet af resultater giver sandsynlighederne: 2 : 5 = ( 2 / 7 ) : ( 5 / 7 ) . {\displaystyle 2:5=(2/7):(5/7).}

omvendt er oddsene imod det modsatte forhold. For eksempel er oddsene mod en tilfældig ugedag 5: 2. Odds og sandsynlighed kan udtrykkes i prosa via præpositionerne til og i: “odds for så mange til så mange på (eller imod)” henviser til odds – forholdet mellem antallet af (lige sandsynlige) resultater til fordel og imod (eller omvendt); “chancer for så mange , i så mange” henviser til Sandsynlighed – antallet af (lige så lignende) resultater til fordel i forhold til antallet for og imod kombineret. For eksempel er” odds for en helg 2 til 5″, mens”chancerne for en helg er 2 i 7″. I afslappet brug bruges ordene odds og chancer (eller chance) ofte om hverandre for vagt at indikere et mål for odds eller Sandsynlighed, selvom den tilsigtede betydning kan udledes ved at bemærke, om præpositionen mellem de to tal er til eller i.

matematiske forholdredit

Odds kan udtrykkes som et forhold på to tal, i hvilket tilfælde det ikke er unikt – skalering af begge udtryk med samme faktor ændrer ikke proportionerne: 1:1 odds og 100:100 odds er de samme (lige odds). Odds kan også udtrykkes som et tal ved at dividere udtrykkene i forholdet – i dette tilfælde er det unikt (forskellige fraktioner kan repræsentere det samme rationelle tal). Odds som et forhold, odds som et tal og sandsynlighed (også et tal) er relateret af enkle formler, og tilsvarende odds til fordel og odds imod, og sandsynligheden for succes og sandsynligheden for fiasko har enkle relationer. Odds spænder fra 0 til uendelig, mens sandsynligheder spænder fra 0 til 1 og derfor ofte repræsenteres som en procentdel mellem 0% og 100%: vende forholdet skifter odds for med odds imod, og tilsvarende Sandsynlighed for succes med Sandsynlighed for fiasko.

givne odds (til fordel) som forholdet B:L (vinder:tab), oddsene til fordel (som et tal) o f {\displaystyle o_{f}}

og odds imod (som et tal) o a {\displaystyle o_{a}}

kan beregnes ved blot at dividere og er multiplikative inverser: o f = B / L = 1 / o A O A = L / B = 1 / o f o f l o a = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=B/L=1/o_{a}\\o_{a}&=L/B=1/o_{f}\\o_{f}\cdot o_{a}&=1\end{aligned}}}

analogt, givet odds som et forhold, sandsynligheden for succes eller fiasko kan beregnes ved at dividere, og sandsynligheden for succes og sandsynligheden for fiasko sum til enhed (en), da de er de eneste mulige resultater. I tilfælde af et endeligt antal lige sandsynlige resultater kan dette fortolkes som antallet af resultater, hvor begivenheden finder sted divideret med det samlede antal begivenheder:

p = B / ( B + L ) = 1 − K = L / ( B + L ) = 1 − p p + K = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}p&=B/(B+L)=1-K\\K&=L/(B+L)=1-p\\p+k&=1\end{aligned}}}

givet en sandsynlighed p, oddsene som et forhold er p : :spørgsmål}

(Sandsynlighed for succes til Sandsynlighed for fiasko), og oddsene som tal kan beregnes ved at dividere: o f = p / K = p / ( 1 − p ) = ( 1 − k ) / k o a = k / p = ( 1 − p ) / p = K / ( 1 − K ) {\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=p/k=p/(1-p)=(1-K)/K\\o_{a}&=k/p=(1-p)/p=k/(1-K)\ende{justeret}}}

omvendt, givet oddsene som et tal o f , {\displaystyle o_{f},}

dette kan repræsenteres som forholdet o f : 1 , {\displaystyle o_{f}: 1,}

eller omvendt 1: (1 / o f) = 1: o a, {\displaystyle 1: (1 / o_{f})=1: o_{a},}

hvorfra sandsynligheden for succes eller fiasko kan beregnes: p = o f / ( o f + 1 ) = 1 / ( o a + 1 ) k = o a / ( o a + 1 ) = 1 / ( o f + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}p&=o_{f}/(o_{f}+1)=1/(o_{a}+1)\\K&=o_{a}/(o_{a}+1)=1/(o_{F}+1)\end{aligned}}}

Hvis det udtrykkes som en brøkdel med en tæller på 1, varierer sandsynligheden og oddsene med nøjagtigt 1 i nævneren: en sandsynlighed på 1 ud af 100 (1/100 = 1%) er den samme som odds på 1 Til 99 (1/99 = 0,0101… = 0.01), mens odds på 1 til 100 (1/100 = 0,01) er det samme som en sandsynlighed på 1 i 101 (1/101 = 0,00990099… = 0.0099). Dette er en mindre forskel, hvis sandsynligheden er lille (tæt på nul eller “lange odds”), men er en stor forskel, hvis sandsynligheden er stor (tæt på en).

disse er udarbejdet for nogle enkle odds:

odds (ratio)	o f {\displaystyle o_{f}}	o a {\displaystyle o_{a}}	p {\displaystyle p}	q {\displaystyle q}
1:1	1	1	50%	50%
0:1	0	∞	0%	100%
1:0	∞	0	100%	0%
2:1	2	0.5	67%	33%
1:2	0.5	2	33%	67%
4:1	4	0.25	80%	20%
1:4	0.25	4	20%	80%
9:1	9	0.1	90%	10%
10:1	10	0.1	90.90%	9.09%
99:1	99	0.01	99%	1%
100:1	100	0, 01	99, 0099%	0, 99000%

disse transformationer har visse specielle geometriske egenskaber: konverteringerne mellem odds for og odds imod (hhv. Sandsynlighed for succes med Sandsynlighed for fiasko) og mellem odds og sandsynlighed er alle M-Prislistbius-transformationer (fraktionerede lineære transformationer). De er således specificeret af tre punkter (skarpt 3-transitive). Bytte odds for og odds mod byttehandel 0 og uendelighed, fastsættelse 1, mens bytte Sandsynlighed for succes med Sandsynlighed for fiasko byttehandel 0 og 1, Fastsættelse .5; Disse er begge rækkefølge 2, Derfor cirkulære transformationer. Konvertering odds til Sandsynlighed rettelser 0, sender uendelig til 1, og sender 1 til .5 (Selv odds er 50% sandsynligt), og omvendt; dette er en parabolsk transformation.

ApplicationsEdit

i sandsynlighedsteori og statistik kan odds og lignende forhold være mere naturlige eller mere bekvemme end sandsynligheder. I nogle tilfælde anvendes log-odds, som er logit af sandsynligheden. Mest enkelt, odds er ofte ganget eller delt, og log konverterer multiplikation til addition og division til subtraktioner. Dette er især vigtigt i den logistiske model, hvor log-odds for målvariablen er en lineær kombination af de observerede variabler.

lignende forhold bruges andre steder i statistik; af central betydning er sandsynlighedsforholdet i sandsynlighedsstatistik, som bruges i Bayesiansk statistik som Bayes-faktor.

Odds er især nyttige i problemer med sekventiel beslutningstagning, som for eksempel i problemer med, hvordan man stopper (online) på en sidste specifik begivenhed, der løses af odds-algoritmen.

oddsene er et forhold mellem sandsynligheder; et oddsforhold er et forhold mellem odds, det vil sige et forhold mellem sandsynligheder. Odds-forhold bruges ofte i analyse af kliniske forsøg. Mens de har nyttige matematiske egenskaber, kan de producere modintuitive resultater: en begivenhed med en 80% sandsynlighed for at forekomme er fire gange mere sandsynligt at ske end en begivenhed med en 20% sandsynlighed, men oddsene er 16 gange højere på den mindre sandsynlige begivenhed (4-1 mod eller 4) end på den mere sandsynlige (1-4 eller 4-1 på eller 0,25).

eksempel #1 der er 5 lyserøde kugler, 2 blå kugler og 8 lilla kugler. Hvad er oddsene for at vælge en blå marmor?

svar: oddsene for en blå marmor er 2: 13. Man kan tilsvarende sige, at oddsene er 13:2 imod. Der er 2 ud af 15 chancer for blå, 13 ud af 15 mod blå.

i sandsynlighedsteori og statistik, hvor variablen p er sandsynligheden til fordel for en binær begivenhed, og sandsynligheden mod begivenheden derfor er 1-p, er “oddsene” for begivenheden kvotienten for de to eller p 1 − p {\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}

. Denne værdi kan betragtes som den relative sandsynlighed, begivenheden vil ske, udtrykt som en brøkdel (hvis den er mindre end 1) eller et multiplum (hvis den er lig med eller større end en) af sandsynligheden for, at begivenheden ikke vil ske.

i det første eksempel øverst siger oddsene for en søndag “en til seks” eller, mindre almindeligt, “en sjettedel” betyder sandsynligheden for at vælge en søndag tilfældigt er en sjettedel sandsynligheden for ikke at vælge en søndag. Mens den matematiske sandsynlighed for en begivenhed har en værdi i området fra nul til EN, ligger “oddsene” til fordel for den samme begivenhed mellem nul og uendelig. Oddsene mod begivenheden med Sandsynlighed angivet som p er 1-p p {\displaystyle {\frac {1-p}{p}}}

. Oddsene mod søndag er 6: 1 eller 6/1 = 6. Det er 6 gange så sandsynligt, at en tilfældig dag ikke er en søndag.