Cálculo I-Derivados de Funciones Hiperbólicas

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Sección 3-8 : Derivadas de Funciones Hiperbólicas

El último conjunto de funciones que vamos a ver en este capítulo son las funciones hiperbólicas. En muchas situaciones físicas combinaciones de \({{\bf{e}}^x}\) y \({{\bf{e}}^{ – x}}\) surgen con bastante frecuencia. Debido a esto, estas combinaciones reciben nombres. Hay seis funciones hiperbólicas y se definen de la siguiente manera.

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Aquí están los gráficos de las tres funciones hiperbólicas principales.

Gráfico de \(y = \cosh \ left (x \right)\). Se parece vagamente a una parábola de apertura hacia arriba con vértice en (0,1).Gráfico de \(y= \ sinh \ left (x \right)\). Se ve vagamente como un ascendente como el gráfico de \(y = x^{3}\) comenzando en el tercer cuadrante y aumentando a través del origen (donde se aplana brevemente) y luego continuando aumentando en el primer cuadrante.
Gráfico de \(y = \tanh \ left (x \right)\). El gráfico comienza a la izquierda en la asíntota horizontal en \(y=-1\) y aumenta pasando por (0,0) y luego acercándose a otra asíntota horizontal en \(y=1\).

También tenemos los siguientes datos sobre las funciones hiperbólicas.

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Notará que son similares, pero no exactamente iguales, a algunas de las identidades trigonométricas más comunes, así que tenga cuidado de no confundir las identidades aquí con las de las funciones trigonométricas estándar.

Debido a que las funciones hiperbólicas se definen en términos de funciones exponenciales, encontrar sus derivadas es bastante simple, siempre que ya haya leído la siguiente sección. Sin embargo, no lo hemos hecho, por lo que necesitaremos la siguiente fórmula que se puede probar fácilmente después de haber cubierto la siguiente sección.

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Con esta fórmula haremos la derivada para seno hiperbólico y dejaremos el resto a usted como un ejercicio.

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Para el resto podemos usar la definición de la función hiperbólica y / o la regla del cociente. Aquí están los seis derivados.

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Aquí hay un par de derivadas rápidas que utilizan funciones hiperbólicas.

Ejemplo 1 Diferencie cada una de las siguientes funciones.

  1. \(f\left( x \right) = 2{x^5}\cosh x\)
  2. \(\displaystyle h\left( t \right) = \frac{{\sinh t}}{{t + 1}}\)
Mostrar Solución

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b

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