Cálculo II-Secuencias
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Sección 4-1 : Secuencias
Comencemos esta sección con una discusión de lo que es una secuencia. Una secuencia no es más que una lista de números escritos en un orden específico. La lista puede o no tener un número infinito de términos en ella, aunque trataremos exclusivamente de secuencias infinitas en esta clase. Los términos de secuencia generales se denotan de la siguiente manera,
\
Porque trataremos con secuencias infinitas, cada término de la secuencia será seguido por otro término como se señaló anteriormente. En la notación anterior, debemos tener mucho cuidado con los subíndices. El subíndice de \(n + 1\) denota el siguiente término de la secuencia y NO uno más el término \(n^{\mbox{th}}\)! En otras palabras,
\
así que tenga mucho cuidado al escribir subíndices para asegurarse de que el» +1 » no se migre del subíndice. Este es un error fácil de cometer cuando empiezas a lidiar con este tipo de cosas.
Hay una variedad de formas de denotar una secuencia. Cada una de las siguientes son formas equivalentes de denotar una secuencia.
\
En la segunda y tercera notaciones por encima de an se da generalmente por una fórmula.
Un par de notas están ahora en orden sobre estas anotaciones. En primer lugar, observe la diferencia entre la segunda y la tercera anotación anterior. Si el punto de partida no es importante o está implícito de alguna manera por el problema, a menudo no se escribe como lo hicimos en la tercera notación. A continuación, usamos un punto de partida de \(n = 1\) en la tercera notación solo para poder escribir uno. No hay absolutamente ninguna razón para creer que una secuencia comenzará en \(n = 1\). Una secuencia comenzará donde sea que necesite comenzar.
echemos un vistazo a un par de secuencias.
- \(\displaystyle \left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\displaystyle \left\{ {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), donde \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ dígito }}\pi \)
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Para obtener el primer par de secuencia de los términos que aquí todo lo que tenemos que hacer es conectar los valores de \(n\) en la fórmula y que vamos a obtener la secuencia de plazo.
\
Tenga en cuenta la inclusión del «…» al final! Esta es una pieza importante de notación, ya que es lo único que nos dice que la secuencia continúa y no termina en el último término.
b \(\displaystyle \left\{ {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Muestran Solución
Esta es similar a la primera. La principal diferencia es que esta secuencia no comienza en \(n = 1\).
\
Tenga en cuenta que los términos de esta secuencia se alternan en signos. Las secuencias de este tipo a veces se denominan secuencias alternas.
c \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), donde \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ dígito }}\pi \) Muestran Solución
Esta secuencia es diferente de los dos primeros, en el sentido de que no tiene una fórmula específica para cada término. Sin embargo, nos dice lo que debe ser cada término. Cada término debe ser el enésimo dígito de \(\pi\). Así que sabemos que \(\pi = 3.14159265359 \ ldots\)
La secuencia es entonces,
\
En las dos primeras partes del ejemplo anterior, tenga en cuenta que realmente estábamos tratando las fórmulas como funciones que solo pueden tener enteros conectados a ellas. O bien,
\
Esta es una idea importante en el estudio de secuencias (y series). Tratar los términos de secuencia como evaluaciones de funciones nos permitirá hacer muchas cosas con secuencias que de otra manera no podríamos hacer. Sin embargo, antes de profundizar en esta idea, necesitamos sacar un par de ideas más del camino.
Primero, queremos pensar en «graficar» una secuencia. Para graficar la secuencia \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) trazamos los puntos \(\left( {n,{a_n}} \right)\) como \(n\) rangos sobre todos los valores posibles en un gráfico. Por ejemplo, vamos a graficar la secuencia \(\left \ { {\frac {{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty \). Los primeros puntos en el gráfico son,
\
El gráfico, para los primeros 30 términos de la secuencia, es entonces,
Este gráfico nos lleva a una idea importante sobre las secuencias. Observe que a medida que \(n\) aumenta los términos de secuencia en nuestra secuencia, en este caso, se acerca cada vez más a cero. Luego decimos que cero es el límite (o a veces el valor límite) de la secuencia y escribimos,
\
Esta notación debería parecerle familiar. Es la misma notación que usamos cuando hablamos del límite de una función. De hecho, si recuerdan, dijimos anteriormente que podríamos pensar en secuencias como funciones de alguna manera, por lo que esta notación no debería ser demasiado sorprendente.
Usando las ideas que desarrollamos para límites de funciones, podemos escribir la siguiente definición de trabajo para límites de secuencias.
Definición de trabajo de Límite
- Decimos que \
si podemos hacer un \(L\) tan cercano como queramos para todos los \(n\) suficientemente grandes. En otras palabras, el valor del enfoque \({a_n}\) de \(L\) como \(n\) se acerca al infinito.
- Decimos que \
si podemos hacer un \(n\) tan grande como queramos para todos los \ (n\) suficientemente grandes. De nuevo, en otras palabras, el valor de los \({a_n}\) se hace más y más grande sin estar enlazados a medida que \(n\) se acerca al infinito.
- Decimos que \
si podemos hacer un \(n\) tan grande y negativo como queramos para todos los \ (n\) suficientemente grandes. De nuevo, en otras palabras, el valor de los \({a_n}\) son negativos y se hacen más y más grandes sin límite a medida que \(n\) se acerca al infinito.
Las definiciones de trabajo de los diversos límites de secuencia son agradables porque nos ayudan a visualizar cuál es el límite en realidad. Sin embargo, al igual que con los límites de funciones, también hay una definición precisa para cada uno de estos límites. Vamos a dar a los que antes de proceder
Definición Precisa de Límite
- decimos que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) si para cada número \(\varepsilon > 0\) no es un número entero \(N\) tal que \
- decimos que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \) si para cada número \(M > 0\) no es un número entero \(N\) tal que \
- decimos que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = – \infty \) si para cada número \(M < 0\) no es un número entero \(N\) tal que \
No usaremos la definición precisa a menudo, pero aparecerá de vez en cuando.
Tenga en cuenta que ambas definiciones nos dicen que para que exista un límite y tenga un valor finito, todos los términos de secuencia deben acercarse cada vez más a ese valor finito a medida que aumenta \(n\).
Ahora que tenemos las definiciones del límite de secuencias fuera del camino, tenemos un poco de terminología que necesitamos mirar. Si \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\) existe y es finito decimos que la sucesión es convergente. Si \(\mathop {\lim } \ limits_{n \ to \ infty } {a_n}\) no existe o es infinita, decimos que la secuencia diverge. Tenga en cuenta que a veces vamos a decir la secuencia diverge para \(\infty \) si \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \) y si \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = – \infty \) que se nos dice a veces que la secuencia diverge para \( – \infty \).
Acostúmbrate a los términos «convergente» y «divergente», ya que los veremos un poco a lo largo de este capítulo.
Entonces, ¿cómo encontramos los límites de las secuencias? La mayoría de los límites de la mayoría de las secuencias se pueden encontrar utilizando uno de los siguientes teoremas.
Teorema 1
Dada la secuencia \(\left\{ {{a_n}} \right\}\), si tenemos una función \(f\left( x \right)\) tal que \(f\left( n \derecho) = {a_n}\) y \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = L\), entonces \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\)
Este teorema es básicamente nos dice que hemos de tomar los límites de secuencias mucho como nos tomamos el límite de funciones. De hecho, en la mayoría de los casos ni siquiera usaremos este teorema escribiendo explícitamente una función. Más a menudo trataremos el límite como si fuera un límite de una función y tomaremos el límite como siempre lo hicimos en Cálculo I cuando estábamos tomando los límites de funciones.
Así que, ahora que sabemos que tomar el límite de una secuencia es casi idéntico a tomar el límite de una función, también sabemos que todas las propiedades de los límites de funciones también se mantendrán.
Propiedades
Si \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) y \(\left\{ {{b_n}} \right\}\) son secuencias convergentes a continuación,
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n} \pm {b_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \pm \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } c{a_n} = c\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n}\,{b_n}} \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}} \right)\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}} \right)\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}}},\,\,\,\,\,{\mbox{siempre }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} \ne 0\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n^p = {\left^p}\) si \({a_n} \ge 0\)
Estas propiedades se pueden probar usando el Teorema 1 anterior y la función de límite de propiedades que vimos en Cálculo I o podemos probar con ellos directamente a través de la precisa definición de un límite usando pruebas casi idénticas de las propiedades de límite de función.
A continuación, al igual que teníamos un teorema de compresión para límites de función, también tenemos uno para secuencias y es prácticamente idéntico a la versión de límite de función.
el Teorema del sándwich de Secuencias
Si \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) para todos \n > N\) para algunos de \(N\) y \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = L\), entonces \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {c_n} = L\).
Tenga en cuenta que en este teorema «para todos \(n > N\) para algunos \(N\)» realmente solo nos dice que necesitamos tener \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) para todos los \(n\) suficientemente grandes, pero si no es cierto para los primeros \(n\), no invalidará el teorema.
Como veremos, no todas las secuencias se pueden escribir como funciones de las que realmente podemos tomar el límite. Esto será especialmente cierto para secuencias que se alternan en signos. Si bien siempre podemos escribir estos términos de secuencia como una función, simplemente no sabemos cómo tomar el límite de una función como esa. El siguiente teorema ayudará con algunas de estas secuencias.
Teorema 2
Si \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\), entonces \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\).
Tenga en cuenta que para que este teorema mantenga el límite DEBE ser cero y no funcionará para una secuencia cuyo límite no sea cero. Este teorema es bastante fácil de probar, así que hagámoslo.
> Prueba del Teorema 2
La cosa principal de esta prueba es observar que,
\
a Continuación, tenga en cuenta que,
\
entonces Tenemos \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( { – \left| {{a_n}} \right|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\) y por tanto, por el Teorema del encaje también debemos tener,
\
El siguiente teorema es una útil teorema de dar la convergencia/divergencia y valor (para cuando es convergente) de una secuencia que surge de vez en cuando.
Teorema 3
La secuencia \(\left\{ {{r^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) converge if \ (- 1 < r \ le 1\) y diverge para todos los demás valores de \(r\). Además,
\
Aquí hay una prueba parcial rápida (bueno, no tan rápida, pero definitivamente simple) de este teorema.
Prueba parcial del teorema 3
Haremos esto por una serie de casos, aunque el último caso no se probará completamente.
Caso 1 : \(r > 1\)
sabemos de Cálculo I que \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = \infty \) si \(r > 1\) y por tanto, por el Teorema 1 anterior también sabemos que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = \infty \) y por tanto la secuencia diverge si \(r > 1\).
Caso 2 : \(r = 1\)
En este caso tenemos,
\
Así, la secuencia converge para \(r = 1\), y en este caso el límite es 1.
Caso 3 : \(0 < r < 1\)
sabemos de Cálculo I que \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = 0\) si \(0 < r < 1\) y así, por el Teorema 1 anterior también sabemos que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\) y por tanto la secuencia converge si \(0 < r < 1\) y en este caso su límite es cero.
Caso 4 : \(r = 0\)
En este caso tenemos,
\
Así, la secuencia converge para \(r = 0\) y en este caso su límite es cero.
Caso 5 : \( – 1 < r < 0\)
en Primer lugar notemos que si \( – 1 < r < 0\) entonces \(0 < \left| r \right| < 1\), entonces por Caso 3 tenemos encima,
\
el Teorema 2 de arriba, ahora nos dice que debemos de tener, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\) así que, si \( – 1 < r < 0\) la secuencia converge y tiene un límite de 0.
Caso 6 : \(r = – 1\)
En este caso la secuencia es,
\
y esperemos que está claro que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 1} \derecho)^n}\) no existe. Recuerde que para que exista este límite, los términos deben acercarse a un solo valor a medida que aumenta \(n\). En este caso, sin embargo, los términos se alternan entre 1 y -1, por lo que el límite no existe.
Entonces, la secuencia diverge para \(r = – 1\).
Caso 7 : \(r< – 1\)
En este caso no vamos a pasar por una prueba completa. Veamos qué pasa si dejamos \(r = – 2\), por ejemplo. Si hacemos que la secuencia se convierta,
\
Entonces, si \(r = – 2\) obtenemos una secuencia de términos cuyos valores se alternan en signo y se hacen más y más grandes, entonces \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left ({- 2} \right)^n}\) no existe. No se establece en un solo valor a medida que aumenta \(n\) ni los términos TODOS se acercan al infinito. Por lo tanto, la secuencia diverge para \(r = – 2\).
podríamos hacer algo similar para cualquier valor de \(r\) tal que \(r < – 1\) y por tanto la secuencia diverge para \(r < – 1\).
Echemos un vistazo a un par de ejemplos de límites de secuencias.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{3{n^2} – 1}}{{10n + 5{n^2}}}} \right\}_{n = 2}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^n}} \derecho\}_{n = 0}^\infty \)
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En este caso todo lo que tenemos que hacer es recordar el método que se desarrollado en Cálculo I para tratar con los límites de las funciones racionales. Vea los Límites al Infinito, Sección de la Parte I de las notas de Cálculo I para una revisión de esto si es necesario.
Para hacer un límite en esta forma, todo lo que necesitamos hacer es factorizar desde el numerador y el denominador la potencia más grande de \(n\), cancelar y luego tomar el límite.
\
Entonces, la secuencia converge y su límite es \(\frac{3} {5}\).
b \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Muestran Solución
tendremos que tener cuidado con esto. Necesitaremos usar la Regla de L’Hospital en esta secuencia. El problema es que la Regla de L’Hospital solo funciona en funciones y no en secuencias. Normalmente esto sería un problema, pero tenemos el teorema 1 de arriba para ayudarnos. Definamos
\
y notemos que,
\
El teorema 1 dice que todo lo que necesitamos hacer es tomar el límite de la función.
\
Entonces, la secuencia en esta parte diverge (a \(\infty \)).
A menudo simplemente hacemos la Regla de L’Hospital sobre los términos de secuencia sin convertir primero a \(x\), ya que el trabajo será idéntico independientemente de si usamos \(x\) o \(n\). Sin embargo, realmente debemos recordar que técnicamente no podemos hacer los derivados mientras tratamos con términos de secuencia.
c \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Muestran Solución
también Tenemos que tener cuidado con esta secuencia. Podríamos estar tentados a decir simplemente que el límite de los términos de secuencia es cero (y estaríamos en lo correcto). Sin embargo, técnicamente no podemos tomar el límite de secuencias cuyos términos se alternan en signo, porque no sabemos cómo hacer límites de funciones que exhiben ese mismo comportamiento. Además, queremos tener mucho cuidado de no confiar demasiado en la intuición con estos problemas. Como veremos en la siguiente sección, y en secciones posteriores, nuestra intuición puede llevarnos por mal camino en estos problemas si no tenemos cuidado.
Así que, trabajemos por el libro. Necesitaremos usar el teorema 2 en este problema. Para esto primero necesitaremos calcular,
\
Por lo tanto, dado que el límite de los términos de secuencia con barras de valor absoluto en ellos va a cero, sabemos por el teorema 2 que,
\
lo que también significa que la secuencia converge a un valor de cero.
d \(\left \ { {{{\left ({- 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Mostrar solución
Para este teorema, tenga en cuenta que todo lo que necesitamos hacer es darnos cuenta de que esta es la secuencia en el Teorema 3 anterior utilizando \(r = – 1\). Por lo tanto, por el teorema 3 esta secuencia diverge.
ahora Tenemos que dar una advertencia sobre el uso indebido Teorema 2. El teorema 2 solo funciona si el límite es cero. Si el límite del valor absoluto de los términos de secuencia no es cero, entonces el teorema no se mantendrá. La última parte del ejemplo anterior es un buen ejemplo de esto (y de hecho esta advertencia es la razón por la que esa parte está ahí). Observe que
\
y, sin embargo, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 1} \derecho)^n}\) aún no existe digamos igual a 1. Por lo tanto, tenga cuidado con este teorema 2. Siempre debes recordar que solo funciona si el límite es cero.
Antes de pasar a la siguiente sección, necesitamos dar un teorema más que necesitaremos para una prueba en el futuro.
Teorema 4
Para que la secuencia de \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) si \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) y \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) entonces \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) es convergente y \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\).
Prueba del teorema 4
Let \(\varepsilon > 0\).
a Continuación, ya que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) no es un \({N_1} > 0\) tal que si \(n > {N_1}\) sabemos que,
\
Asimismo, debido a que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) no es un \({N_2} > 0\) tal que si \(n > {N_2}\) sabemos que,
\
Ahora, sea \(N = \max \left\{ {2{N_1},2{N_2} + 1} \right\}\) y sea \(n > N\). Entonces \({a_n} = {a_{2k}}\) para algunos \(k > {N_1}\) o \({a_n} = {a_{2k + 1}}\) para algunos \(k > {N_2}\) y así, en cualquier caso, tenemos que,
\
por lo Tanto, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) y, entonces \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) es convergente.