El Teorema Binomial

Expansiones Binomiales Usando el Triángulo de Pascal

Considera las siguientes potencias expandidas de (a + b)n, donde a + b es cualquier binomio y n es un número entero. Busca patrones.

Cada expansión es un polinomio. Hay algunos patrones a tener en cuenta.

1. Hay un término más que la potencia del exponente, n. Es decir, hay términos en la expansión de (a + b)n.

2. En cada término, la suma de los exponentes es n, la potencia a la que se eleva el binomio.

3. Los exponentes de a comienzan con n, la potencia del binomio y disminuyen a 0. El último término no tiene factor de a. El primer término no tiene factor de b, por lo que las potencias de b comienzan con 0 y aumentan a n.

4. Los coeficientes comienzan en 1 y aumentan a través de ciertos valores aproximadamente a la mitad y luego disminuyen a través de estos mismos valores de nuevo a 1.

Exploremos los coeficientes más a fondo. Supongamos que queremos encontrar una expansión de (a + b)6. Los modelos que acabamos de señalar, indican que hay 7 términos en la expansión:
a6 + c1a5b + c2a4b2 + c3a3b3 + c4a2b4 + c5ab5 + b6.¿Cómo podemos determinar el valor de cada coeficiente, ic? Podemos hacerlo de dos maneras. El primer método consiste en escribir los coeficientes en una matriz triangular, de la siguiente manera. Esto se conoce como triángulo de Pascal:

Hay muchos patrones en el triángulo. Encuentra tantos como puedas.
Quizás descubriste una forma de escribir la siguiente fila de números, dados los números de la fila de arriba. Siempre hay 1 en el exterior. Cada número restante es la suma de los dos números por encima de él. Intentemos encontrar una expansión para (a + b)6 agregando otra fila utilizando los patrones que hemos descubierto:

Vemos que en la última fila

el 1er y el último número son 1;
el 2do número es 1 + 5, o 6;
el 3er número es 5 + 10, o 15;
el 4to número es 10 + 10, o 20;
el número 5 es 10 + 5, o 15; y
el número 6 es 5 + 1, o 6.

Por lo tanto, la expansión para (a + b)6 es
(a + b)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6.

Para encontrar una expansión para (a + b)8, completamos dos filas más del triángulo de Pascal:

Por lo tanto, la expansión de is
(a + b)8 = a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8.

Podemos generalizar nuestros resultados de la siguiente manera.

El Teorema Binomial Usando el Triángulo de Pascal

Para cualquier binomio a + b y cualquier número natural n,
(a + b)n = c0anb0 + c1an-1b1 + c2an-2b2 + …. + cn-1a1bn-1 + cna0bn,
donde los números c0, c1, c2,…., cn-1, cn son de la fila (n + 1)-st del triángulo de Pascal.

Ejemplo 1 Expandir: (u-v) 5.

Solución Tenemos (a + b)n, donde a = u, b = -v, y n = 5. Utilizamos la 6ª fila del triángulo de Pascal:
1 5 10 10 5 1
tenemos
(u – v)5 = 5 = 1(u)5 + 5(u)4(-v)1 + 10(u)3(-v)2 + 10(u)2(-v)3 + 5(u) (v)4 + 1(-v)5 = u5 – 5u4v + 10u3v2 – 10u2v3 + 5uv4 – v5.
Tenga en cuenta que los signos de los términos alternan entre + y -. Cuando la potencia de-v es impar, el signo es -.

Ejemplo 2 Expandir: (2t + 3/t)4.

Solución Tenemos (a + b)n, donde a = 2t, b = 3/t, y n = 4. Usamos la 5ª fila del triángulo de Pascal:
1 4 6 4 1
Entonces tenemos

Expansión Binomial Usando Notación Factorial

Supongamos que queremos encontrar la expansión de (a + b)11. La desventaja de usar el triángulo de Pascal es que debemos calcular todas las filas anteriores del triángulo para obtener la fila necesaria para la expansión. El siguiente método evita esto. También nos permite encontrar un término específico, por ejemplo, el octavo término, sin computar todos los demás términos de la expansión. Este método es útil en cursos como matemáticas finitas, cálculo y estadística, y utiliza la notación de coeficiente binomial .Podemos replantear el teorema binomial de la siguiente manera.

El Teorema Binomial Usando Notación Factorial

Para cualquier binomio (a + b) y cualquier número natural n,
.

El teorema binomial se puede probar por inducción matemática. (Véase Ejercicio 63.) Este formulario muestra por qué se denomina coeficiente binomial.

Ejemplo 3 Expand: (x2 – 2y)5.

Solución Tenemos (a + b)n,donde a = x2, b = -2y, y n = 5. Luego, usando el teorema binomial, tenemos

Finalmente (x2-2y) 5 = x10 – 10x8y + 40x6y2 – 80x4y3 + 80x2y4 – 32y5.

Ejemplo 4 Expandir: (2 / x + 3√x)4.

Solución Tenemos (a + b)n, donde a = 2/x, b = 3√x, y n = 4. Luego, usando el teorema binomial, tenemos

Finalmente (2 / x + 3√x) 4 = 16 / x4 + 96 / x5/2 + 216/x + 216×1 / 2 + 81×2.

Encontrar un Término Específico

Supongamos que queremos determinar sólo un término particular de una expansión. El método que hemos desarrollado nos permitirá encontrar dicho término sin computar todas las filas del triángulo de Pascal o todos los coeficientes anteriores.

tenga en cuenta que en el teorema del binomio, nos da el 1er término, nos da el 2º término, nos da el 3er trimestre, y así sucesivamente. Esto se puede generalizar de la siguiente manera.

Encontrar el Término (k + 1)-st

El término (k + 1)-st de (a + b)n es.

Ejemplo 5 Encuentre el quinto término en la expansión de (2x – 5y)6.

Solución Primero, observamos que 5 = 4 + 1. Por lo tanto, k = 4, a = 2x, b = -5y y n = 6. Luego, el 5º término de la expansión es

Ejemplo 6 Encuentre el 8º término en la expansión de (3x – 2)10.

Solución Primero, observamos que 8 = 7 + 1. Por lo tanto, k = 7, a = 3x, b = -2 y n = 10. Entonces, el octavo término de la expansión es

Número total de subconjuntos

Supongamos que un conjunto tiene n objetos. El número de subconjuntos que contienen elementos k . El número total de subconjuntos de un conjunto es el número de subconjuntos con 0 elementos, más el número de subconjuntos con 1 elemento, más el número de subconjuntos de 2 elementos, y así sucesivamente. El número total de subconjuntos de un conjunto con n elementos es
.Ahora considere la expansión de (1 + 1)n:
.
Por lo tanto, el número total de subconjuntos es (1 + 1)n, o 2n. Hemos demostrado lo siguiente.

Número total de subconjuntos

El número total de subconjuntos de un conjunto con n elementos es 2n.

Ejemplo 7 El conjunto {A, B, C, D, E} tiene cuántos subconjuntos?

Solución El conjunto tiene 5 elementos, por lo que el número de subconjuntos es 25 o 32.

Ejemplo 8 Wendy’s, una cadena nacional de restaurantes, ofrece los siguientes ingredientes para sus hamburguesas:
{catsup, mostaza, mayonesa, tomate, lechuga, cebolla, encurtidos, condimentos, queso}.¿Cuántos tipos diferentes de hamburguesas puede servir Wendy’s, excluyendo el tamaño de la hamburguesa o el número de empanadas?

Solución Los ingredientes de cada hamburguesa son los elementos de un subconjunto del conjunto de todos los ingredientes posibles, el conjunto vacío es una hamburguesa simple. El número total de hamburguesas posibles es

Por lo tanto, Wendy’s sirve hamburguesas de 512 maneras diferentes.