Odds
En estadística, las odds son una expresión de probabilidades relativas, generalmente citadas como las odds a favor. Las probabilidades (a favor) de un evento o una proposición es la relación entre la probabilidad de que el evento suceda y la probabilidad de que el evento no suceda. Matemáticamente, este es un ensayo Bernoulli, ya que tiene exactamente dos resultados. En el caso de un espacio muestral finito de resultados igualmente probables, esta es la relación entre el número de resultados donde ocurre el evento y el número de resultados donde el evento no ocurre; estos pueden representarse como W y L (para Ganancias y Pérdidas) o S y F (para Éxito y Fracaso). Por ejemplo, las probabilidades de que un día de la semana elegido al azar sea un fin de semana son de dos a cinco (2:5), ya que los días de la semana forman un espacio de muestra de siete resultados, y el evento ocurre para dos de los resultados (sábado y domingo), y no para los otros cinco. Por el contrario, dadas las probabilidades como una relación de enteros, esto puede ser representado por un espacio de probabilidad de un número finito de resultados igualmente probables. Estas definiciones son equivalentes, ya que al dividir ambos términos en la relación entre el número de resultados se obtienen las probabilidades: 2 : 5 = ( 2 / 7 ) : ( 5 / 7 ) . {\displaystyle 2:5=(2/7):(5/7).}
Por el contrario, las probabilidades en contra son la relación opuesta. Por ejemplo, las probabilidades de que un día aleatorio de la semana sea un fin de semana son de 5:2.
Las probabilidades y la probabilidad se pueden expresar en prosa a través de las preposiciones hacia y en: «probabilidades de tantos a tantos en (o en contra)» se refiere a las probabilidades , la proporción de números de resultados (igualmente probables) a favor y en contra (o viceversa); «posibilidades de tantos, en tantos» se refiere a la probabilidad, el número de resultados (igualmente similares) a favor en relación con el número a favor y en contra combinados. Por ejemplo, «las probabilidades de un fin de semana son de 2 a 5», mientras que «las probabilidades de un fin de semana son de 2 en 7». En el uso casual, las palabras probabilidades y chances (o chance) a menudo se usan indistintamente para indicar vagamente alguna medida de probabilidades o probabilidad, aunque el significado pretendido se puede deducir observando si la preposición entre los dos números es hacia o hacia.
Relaciones matemáticaseditar
Las probabilidades se pueden expresar como una relación de dos números, en cuyo caso no es única: escalar ambos términos por el mismo factor no cambia las proporciones: las probabilidades 1:1 y las probabilidades 100:100 son iguales (probabilidades pares). Las probabilidades también se pueden expresar como un número, dividiendo los términos en la relación, en este caso es única (diferentes fracciones pueden representar el mismo número racional). Las probabilidades como una relación, las probabilidades como un número y la probabilidad (también un número) están relacionadas por fórmulas simples, y de manera similar, las probabilidades a favor y las probabilidades en contra, y la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso tienen relaciones simples. Las probabilidades van de 0 a infinito, mientras que las probabilidades van de 0 a 1, y por lo tanto a menudo se representan como un porcentaje entre 0% y 100%: invertir la relación cambia las probabilidades a favor con las probabilidades en contra y, de manera similar, la probabilidad de éxito con la probabilidad de fracaso.
Dadas las probabilidades (a favor) como la relación W:L (Victorias:Pérdidas), las probabilidades a favor (como un número) o f {\displaystyle o_{f}}
y las probabilidades en contra (como un número) o a {\displaystyle o_{a}}
se puede calcular simplemente dividiendo, y son inversos multiplicativos: o f = W / L = 1 / s a o a = L / W = 1 / s f s f ⋅ s = 1 y {\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=W/L=1/o_{un}\\o_{un}&=L/W=1/o_{f}\\o_{f}\cdot o_{un}&=1\end{aligned}}}
de forma análoga, dado que las probabilidades como una relación, la probabilidad de éxito o fracaso puede ser calculada dividiendo, y la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso se suma a la unidad (uno), ya que ellos son los únicos resultados posibles. En el caso de un número finito de resultados equiprobables, esto se puede interpretar como el número de resultados donde se produce el evento, dividido por el número total de eventos:
p = W / ( W + L ) = 1 − p q = L / ( W + L ) = 1 − p p + q = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}p&=W/(W+L)=1-q\\p&=L/(W+L)=1-p\\p+q&=1\end{aligned}}}
Dada una probabilidad p, la probabilidad como proporción es de p : p {\displaystyle p:q}
(probabilidad de éxito a probabilidad de fracaso), y las probabilidades como números se pueden calcular dividiendo: o f = p / q = p / ( 1 − p ) = ( 1 − q ) / q o a = q / p = ( 1 − p ) / p = q / ( 1 − q ) {\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{aligned}}}
Conversely, given the odds as a number o f , {\displaystyle o_{f},}
this can be represented as the ratio o f : 1 , {\displaystyle o_{f}:1,}
o, por el contrario 1 : ( 1 / s f ) = 1 : o , {\displaystyle 1:(1/o_{f})=1:o_{a},}
a partir de la cual la probabilidad de éxito o fracaso puede ser calculada: p = r / ( r + 1 ) = 1 / ( s + 1 ) q = o / ( o + 1 ) = 1 / ( r + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}p&=o_{f}/(o_{f}+1)=1/(o_{a}+1)\\p&=o_{un}/(o_{a}+1)=1/(o_{f}+1)\end{aligned}}}
por Lo tanto si se expresa como una fracción con numerador 1, probabilidad y odds difieren en exactamente 1 en el denominador: una probabilidad de 1 en 100 (1/100 = 1%) es el mismo que las probabilidades de 1 a 99 (1/99 = 0.0101… = 0.01), mientras que las probabilidades de 1 a 100 (1/100 = 0.01) es lo mismo que una probabilidad de 1 en 101 (1/101 = 0.00990099… = 0.0099). Esta es una diferencia menor si la probabilidad es pequeña (cerca de cero, o «probabilidades»), pero es una gran diferencia si la probabilidad es grande (cerca de uno).
Estos se resuelven para algunas probabilidades simples:
| odds (ratio) | o f {\displaystyle o_{f}}
|
o a {\displaystyle o_{a}}
|
p {\displaystyle p}
 |
q {\displaystyle q}
 |
|---|---|---|---|---|
| 1:1 | 1 | 1 | 50% | 50% |
| 0:1 | 0 | ∞ | 0% | 100% |
| 1:0 | ∞ | 0 | 100% | 0% |
| 2:1 | 2 | 0.5 | 67% | 33% |
| 1:2 | 0.5 | 2 | 33% | 67% |
| 4:1 | 4 | 0.25 | 80% | 20% |
| 1:4 | 0.25 | 4 | 20% | 80% |
| 9:1 | 9 | 0.1 | 90% | 10% |
| 10:1 | 10 | 0.1 | 90.90% | 9.09% |
| 99:1 | 99 | 0.01 | 99% | 1% |
| 100:1 | 100 | 0.01 | 99.0099% | 0.9900% |
Estas transformaciones tienen ciertas propiedades geométricas: las conversiones entre odds y probabilidades en contra (resp. probabilidad de éxito con probabilidad de fracaso) y entre probabilidades y probabilidad son todas transformaciones de Möbius (transformaciones lineales fraccionarias). Por lo tanto, se especifican por tres puntos (marcadamente 3-transitivos). Intercambiar probabilidades por y probabilidades contra swaps 0 e infinito, fijando 1, mientras que intercambiar probabilidad de éxito con probabilidad de fracaso swaps 0 y 1, fijando .5; ambos son de orden 2, por lo tanto, transformaciones circulares. Convertir probabilidades en probabilidad fija 0, envía infinito a 1 y envía 1 a .5 (probabilidades pares son 50% probables), y a la inversa; se trata de una transformación parabólica.
Aplicacioneseditar
En teoría y estadística de probabilidades, las probabilidades y ratios similares pueden ser más naturales o más convenientes que las probabilidades. En algunos casos se utilizan las probabilidades logarítmicas, que es el logit de la probabilidad. Más simplemente, las probabilidades se multiplican o dividen con frecuencia, y el registro convierte la multiplicación en suma y la división en restas. Esto es particularmente importante en el modelo logístico, en el que las probabilidades logarítmicas de la variable objetivo son una combinación lineal de las variables observadas.
Proporciones similares se utilizan en otras partes de las estadísticas; de importancia central es la razón de verosimilitud en las estadísticas de probabilidad, que se utiliza en las estadísticas bayesianas como el factor Bayes.
Las probabilidades son particularmente útiles en problemas de toma de decisiones secuenciales, como por ejemplo en problemas de cómo detenerse (en línea) en un último evento específico que se resuelve mediante el algoritmo de probabilidades.
Las probabilidades son una relación de probabilidades; una relación de probabilidades es una relación de probabilidades, es decir, una relación de relaciones de probabilidades. Las razones de probabilidad se utilizan a menudo en el análisis de ensayos clínicos. Si bien tienen propiedades matemáticas útiles, pueden producir resultados contra intuitivos: un evento con un 80% de probabilidad de ocurrir es cuatro veces más probable que ocurra que un evento con un 20% de probabilidad, pero las probabilidades son 16 veces más altas en el evento menos probable (4-1 en contra, o 4) que en el más probable (1-4, o 4-1 en, o 0.25).
Ejemplo # 1 Hay 5 canicas rosas, 2 canicas azules y 8 canicas moradas. ¿Cuáles son las probabilidades a favor de elegir una canica azul?
Respuesta: Las probabilidades a favor de una canica azul son de 2:13. Se puede decir de forma equivalente, que las probabilidades son 13:2 en contra. Hay 2 de cada 15 oportunidades a favor de azul, 13 de 15 contra azul.
En teoría de probabilidad y estadística, donde la variable p es la probabilidad a favor de un evento binario, y la probabilidad contra el evento es por lo tanto 1-p, «las probabilidades» del evento son el cociente de los dos, o p 1 − p {\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}
. Ese valor puede ser considerado como la probabilidad relativa de que el evento suceda, expresada como una fracción (si es menor que 1), o un múltiplo (si es igual o mayor que uno) de la probabilidad de que el evento no suceda.
En el primer ejemplo en la parte superior, decir que las probabilidades de un domingo son » de uno a seis «o, menos comúnmente,» un sexto » significa que la probabilidad de elegir un domingo al azar es un sexto de la probabilidad de no elegir un domingo. Mientras que la probabilidad matemática de un evento tiene un valor en el rango de cero a uno, «las probabilidades» a favor de ese mismo evento se encuentran entre cero e infinito. Las probabilidades en contra de el evento con probabilidad dado como p 1 − p p {\displaystyle {\frac {1-p}{p}}}
. Las probabilidades contra el domingo son de 6:1 o 6/1 = 6. Es 6 veces más probable que un día aleatorio no sea un domingo.