Sistema de coordenadas cartesianas

Fig. 1-Sistema de coordenadas cartesianas. Cuatro puntos son marcados: (2,3) en verde, (-3,1) en rojo, (-1.5,-2.5 en azul) y (0,0), el origen, en amarillo.

En matemáticas, el sistema de coordenadas cartesianas (o sistema de coordenadas rectangulares) se utiliza para determinar cada punto de forma única en un plano a través de dos números, generalmente llamados la coordenada x y la coordenada y del punto. Para definir las coordenadas, se especifican dos líneas dirigidas perpendiculares (el eje x o abscisa, y el eje y o ordenada), así como la longitud unitaria, que está marcada en los dos ejes (véase la Figura 1). Los sistemas de coordenadas cartesianas también se utilizan en el espacio (donde se utilizan tres coordenadas) y en dimensiones superiores.

Fig. 2-Sistema de coordenadas cartesianas con el círculo de radio 2 centrado en el origen marcado en rojo. La ecuación del círculo es x2 + y2 = 4.

Usando el sistema de coordenadas cartesianas, las formas geométricas (como las curvas) se pueden describir mediante ecuaciones algebraicas, es decir, ecuaciones satisfechas por las coordenadas de los puntos que se encuentran en la forma. Por ejemplo, un círculo de radio 2 puede describirse mediante la ecuación x2 + y2 = 4 (véase la Figura 2).

Historia

Cartesiano significa relacionado con el matemático y filósofo francés René Descartes (latín: Cartesius), quien, entre otras cosas, trabajó para fusionar álgebra y geometría euclidiana. Este trabajo fue influyente en el desarrollo de la geometría analítica, el cálculo y la cartografía.

La idea de este sistema se desarrolló en 1637 en dos escritos de Descartes. En la segunda parte de su Discurso sobre el Método, Descartes introduce la nueva idea de especificar la posición de un punto u objeto en una superficie, utilizando dos ejes de intersección como guías de medición. En La Géométrie, profundiza en los conceptos antes mencionados.

sistema de coordenadas bidimensional

Fig. 3 – Los cuatro cuadrantes de un sistema de coordenadas cartesianas. Las flechas en los ejes indican que se extienden para siempre en sus respectivas direcciones (es decir, infinitamente).

Un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones se define comúnmente por dos ejes, en ángulo recto entre sí, formando un plano (un plano xy). El eje horizontal normalmente se etiqueta x, y el eje vertical normalmente se etiqueta y. En un sistema de coordenadas tridimensionales, se agrega otro eje, normalmente etiquetado como z, proporcionando una tercera dimensión de medición espacial. Los ejes se definen comúnmente como mutuamente ortogonales entre sí (cada uno en un ángulo recto con el otro). (Los primeros sistemas permitían ejes «oblicuos», es decir, ejes que no se reunían en ángulos rectos, y estos sistemas se usan ocasionalmente hoy en día, aunque principalmente como ejercicios teóricos.) Todos los puntos en un sistema de coordenadas cartesianas tomados en conjunto forman un llamado plano cartesiano. Las ecuaciones que utilizan el sistema de coordenadas cartesianas se denominan ecuaciones cartesianas.

El punto de intersección, donde los ejes se encuentran, se denomina origen normalmente etiquetado como O.Los ejes x e y definen un plano que se conoce como el plano xy.Dado cada eje, elija una longitud de unidad y marque cada unidad a lo largo del eje, formando un grid.To especifique un punto particular en un sistema de coordenadas bidimensionales, indique primero la unidad x (abscisa), seguida de la unidad y (ordenada) en la forma (x, y), un par ordenado.

La elección de letras proviene de una convención, para usar la última parte del alfabeto para indicar valores desconocidos. En contraste, la primera parte del alfabeto se usó para designar valores conocidos.

Un ejemplo de un punto P en el sistema se indica en la Figura 3, utilizando la coordenada (3,5).

La intersección de los dos ejes crea cuatro regiones, llamadas cuadrantes, indicadas por los números romanos I ( + ,+), II ( − ,+), III ( − ,−) y IV (+,−). Convencionalmente, los cuadrantes se etiquetan en sentido contrario a las agujas del reloj a partir del cuadrante superior derecho («noreste»). En el primer cuadrante, ambas coordenadas son positivas, en el segundo cuadrante coordenadas x son negativos y coordenadas positivas, en el tercer cuadrante ambas coordenadas son negativos y en el cuarto cuadrante, coordenadas x son positivos y coordenadas negativas (véase la tabla a continuación.)

sistema de coordenadas tridimensional

Fig. 4-Sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales con eje y apuntando lejos del observador.

Fig. 5-Sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales con el eje x apuntando hacia el observador.

El sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales proporciona las tres dimensiones físicas del espacio: longitud, anchura y altura. Las figuras 4 y 5 muestran dos formas comunes de representarlo.

Los tres ejes cartesianos que definen el sistema son perpendiculares entre sí. Las coordenadas relevantes son de la forma (x, y, z). Como ejemplo, la figura 4 muestra dos puntos trazados en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales: P (3,0,5) y Q(-5,-5,7). Los ejes se representan en una orientación de «coordenadas del mundo» con el eje z apuntando hacia arriba.

Las coordenadas x, y y z de un punto también se pueden tomar como las distancias desde el plano yz, el plano xz y el plano xy respectivamente. La Figura 5 muestra las distancias del punto P desde los planos.

Los planos xy, yz y xz dividen el espacio tridimensional en ocho subdivisiones conocidas como octantes, similares a los cuadrantes del espacio 2D. Si bien se han establecido convenciones para el etiquetado de los cuatro cuadrantes del plano x-y, solo se etiqueta el primer octante del espacio tridimensional. Contiene todos los puntos cuyas coordenadas x, y y z son positivas.

La coordenada z también se llama aplicar.

Orientación y manejabilidad

consulte también: regla de la mano derecha

En dos dimensiones

La regla de la mano derecha.

Fijación o elegir el eje x determina el eje y hasta la dirección. Es decir, el eje y es necesariamente la perpendicular al eje x a través del punto marcado 0 en el eje x. Pero hay una elección de cuál de las dos medias líneas de la perpendicular designar como positiva y cuál como negativa. Cada una de estas dos opciones determina una orientación diferente (también llamada handedness) del plano cartesiano.

La forma habitual de orientar los ejes, con el eje x positivo apuntando hacia la derecha y el eje y positivo apuntando hacia arriba (y el eje x siendo el «primero» y el eje y el «segundo» eje) se considera la orientación positiva o estándar, también llamada orientación para la derecha.

Una regla mnemotécnica comúnmente utilizada para definir la orientación positiva es la regla de la mano derecha. Colocando una mano derecha algo cerrada en el plano con el pulgar apuntando hacia arriba, los dedos apuntan desde el eje x al eje y, en un sistema de coordenadas orientado positivamente.

La otra forma de orientar los ejes es siguiendo la regla de la mano izquierda, colocando la mano izquierda en el plano con el pulgar apuntando hacia arriba.

Independientemente de la regla utilizada para orientar los ejes, girar el sistema de coordenadas preservará la orientación. Cambiar el papel de x e y invertirá la orientación.

En tres dimensiones

Fig. 7-La orientación para la izquierda se muestra a la izquierda, y la derecha a la derecha.

Fig. 8 – El sistema de coordenadas cartesianas diestras que indica los planos de coordenadas.

Una vez especificados los ejes x e y, determinan la línea a lo largo de la cual debe estar el eje z, pero hay dos direcciones posibles en esta línea. Los dos posibles sistemas de coordenadas que resultan se llaman «diestros» y «zurdos».»La orientación estándar, donde el plano xy es horizontal y el eje z apunta hacia arriba (y el eje x y el eje y forman un sistema de coordenadas bidimensionales orientadas positivamente en el plano xy si se observa desde arriba del plano xy) se llama diestro o positivo.

El nombre deriva de la regla de la derecha. Si el dedo índice de la mano derecha está apuntando hacia adelante, el dedo medio doblado hacia adentro en ángulo recto con respecto a él y el pulgar colocado en ángulo recto con respecto a ambos, los tres dedos indican las direcciones relativas de los ejes x, y y z en un sistema diestro. El pulgar indica el eje x, el dedo índice el eje y y el dedo medio el eje z. Por el contrario, si se hace lo mismo con la mano izquierda, se obtiene un sistema para zurdos.

Diferentes disciplinas utilizan diferentes variaciones de los sistemas de coordenadas. Por ejemplo, los matemáticos suelen utilizar un sistema de coordenadas para la derecha con el eje y apuntando hacia arriba, mientras que los ingenieros suelen utilizar un sistema de coordenadas para la izquierda con el eje z apuntando hacia arriba. Esto tiene el potencial de provocar confusión cuando ingenieros y matemáticos trabajan en el mismo proyecto.

La Figura 7 es un intento de representar un sistema de coordenadas para la izquierda y la derecha. Debido a que un objeto tridimensional está representado en la pantalla bidimensional, el resultado es distorsión y ambigüedad. El eje que apunta hacia abajo (y hacia la derecha) también está destinado a apuntar hacia el observador, mientras que el eje «medio» está destinado a apuntar lejos del observador. El círculo rojo es paralelo al plano horizontal xy e indica la rotación del eje x al eje y (en ambos casos). Por lo tanto, la flecha roja pasa por delante del eje z.

La Figura 8 es otro intento de representar un sistema de coordenadas diestro. Una vez más, hay una ambigüedad causada por la proyección del sistema de coordenadas tridimensionales en el plano. Muchos observadores ven la Figura 8 como «entrar y salir» entre un cubo convexo y una esquina cóncava.»Esto corresponde a las dos posibles orientaciones del sistema de coordenadas. Ver la figura como convexa da un sistema de coordenadas para zurdos. Por lo tanto, la forma «correcta» de ver la Figura 8 es imaginar el eje x apuntando hacia el observador y, por lo tanto, viendo una esquina cóncava.

En física

La discusión anterior se aplica a los sistemas de coordenadas cartesianas en matemáticas, donde es común no usar ninguna unidad de medida. En física, es importante tener en cuenta que una dimensión es simplemente una medida de algo, y que, para cada clase de características a medir, se puede agregar otra dimensión. El apego a la visualización de las dimensiones impide comprender las muchas dimensiones diferentes que se pueden medir (tiempo, masa, color, costo, etc.).). Los objetos multidimensionales se pueden calcular y manipular algebraicamente.

Representando un vector con notación cartesiana

Un punto en el espacio en un sistema de coordenadas cartesianas también puede ser representado por un vector, que puede ser considerado como una flecha que apunta desde el origen del sistema de coordenadas hasta el punto. Si las coordenadas representan posiciones espaciales (desplazamientos) es común para representar el vector desde el origen hasta el punto de interés r {\displaystyle \mathbf {r} } . Usando coordenadas cartesianas, el vector desde el origen hasta el punto (x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} se puede escribir como:

r = x i + y j + z k {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }

where i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } , and k {\displaystyle \mathbf {k} } are unit vectors that point the same direction as the x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} y z {\displaystyle z} ejes, respectivamente.

Esta notación se conoce típicamente como notación cartesiana. Los vectores unitarios i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } , y k {\displaystyle \mathbf {k} } se llama la versors del sistema de coordenadas, y representan un ejemplo de la norma base.

Notas adicionales

En geometría computacional, el sistema de coordenadas cartesianas es la base para la manipulación algebraica de formas geométricas. Muchos otros sistemas de coordenadas se han desarrollado desde Descartes. Un conjunto común de sistemas utiliza coordenadas polares; los astrónomos a menudo usan coordenadas esféricas, un tipo de sistema de coordenadas polares.

Véase también

• Curva
• Geometría
• Gráfico
• Línea (matemáticas)
• Matemáticas
• Número
• Plano (matemáticas)
• Punto (geometría)
• René Descartes

Notas

• Descartes, René. 2001. Discurso sobre el Método, la Óptica, la Geometría y la Meteorología. Trans. Paul J. Olscamp. Indianápolis, EN: Hackett Pub. ISBN 0872205673.
• GelʹFand, I. M., E. G. Glagoleva, and A. A. Kirillov. 1990. El Método de Coordenadas. Boston: Birkhauser. ISBN 0817635335.
• Kline, Morris. 1985. Mathematics for the Nonmathematician (en inglés). Nueva York: Dover. ISBN 0817635335.

Todos los enlaces recuperados el 16 de enero de 2017.

• Sistema de Coordenadas Cartesianas.
• Coordenadas Cartesianas imprimibles.
• coordenadas Cartesianas. PlanetMath.