Velocidad Angular y Lineal, y RPM
Sectores, Áreas y Problemas de Espada de arco Velocidad angular, lineal
Trayectoria púrpura
parece bastante común que los libros de texto se centren en cuestiones de velocidad angular, velocidad lineal y revoluciones por minuto (rpm) poco después de explicar los sectores circulares, sus áreas y sus longitudes de arco.
La longitud de un arco es la distancia media alrededor de un círculo; y la distancia lineal recorrida por, digamos, una bicicleta está relacionada con el radio de los neumáticos de la bicicleta. Si marca un punto en el neumático delantero de la bicicleta (por ejemplo, el punto opuesto a la válvula del neumático) y cuenta el número de veces que gira la rueda, puede encontrar el número de circunferencias que movió el punto marcado.
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Si usted «relajarse» estas circunferencias para obtener una línea recta, entonces usted ha encontrado la distancia que la moto viajaba. Este tipo de relación entre las diferentes medidas es, creo, la razón por la que este tema a menudo surge en este punto de los estudios de uno.
En primer lugar, necesitamos terminología y definiciones técnicas.
«velocidad Angular» es una medida de giro por unidad de tiempo. Te dice el tamaño del ángulo a través del cual algo gira en un intervalo de tiempo dado. Por ejemplo, si una rueda gira sesenta veces en un minuto, entonces tiene una velocidad angular de 120π radianes por minuto. A continuación, la velocidad angular se mide en términos de radianes por segundo, el griego omega en minúsculas (ω) se usa a menudo como su nombre.
«velocidad Lineal» es una medida de distancia por unidad de tiempo. Por ejemplo, si la rueda en el ejemplo anterior tiene un radio de 47 centímetros, entonces cada paso de la circunferencia es de 94π cm, o aproximadamente 295 cm. Dado que la rueda hace sesenta de estas revoluciones en un minuto, la longitud total cubierta es de 60 × 94& pi = 5.640 π cm , o aproximadamente 177 metros, en un minuto. (Eso es aproximadamente 10.6 kph, o aproximadamente 6.7 mph.)
«Revoluciones por minuto», generalmente abreviado como» rpm», es una medida de giro por unidad de tiempo, pero la unidad de tiempo es siempre un minuto. Y en lugar de dar la medida angular del giro, solo da el número de giros. Cuando está mirando el tacómetro en el salpicadero de un vehículo, está mirando las rpm actuales del motor del vehículo. En el ejemplo anterior, el rpm sería simplemente «60».
«Frecuencia» f es una medida de giro (o vibraciones) por unidad de tiempo, pero la unidad de tiempo es siempre un segundo. La unidad para frecuencias es el «hertz», que se denota como Hz.
La relación entre la frecuencia f (en Hz), rpm y velocidad angular ω (en radianes) se demuestra a continuación (todos los elementos de una fila son equivalentes):
|
ω (in rad/sec) |
f (in Hz) |
rpm |
Sin embargo, puede encontrar que la «velocidad angular» se usa indistintamente (pero solo informalmente; no por científicos) con rpm o frecuencia. Además, algunos (como los físicos) sostendrían que la «velocidad angular» es una cantidad vectorial y ω es una cantidad escalar llamada «frecuencia angular».
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Por favor, no se moleste en memorizar estas posibles combinaciones o preocuparse por lo que podrían ser» vectores «o» escalares». Les estoy hablando de esto para advertirles que deben prestar mucha atención a cómo su libro de texto en particular y su instructor en particular definen los diversos términos para esa clase en particular. Y sepa que, en su próxima clase, los términos y definiciones pueden muy bien ser diferentes.
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Una rueda tiene un diámetro de 100 centímetros. Si la rueda está soportando un carro que se mueve a 45 kilómetros por hora, ¿cuáles son las rpm de la rueda, al número entero de revoluciones por minuto más cercano?
El «rpm» es el número de veces que la rueda gira por minuto. Para averiguar cuántas veces gira esta rueda en un minuto, necesitaré encontrar la distancia (lineal o en línea recta) recorrida (por minuto) cuando me muevo a 45 km / h. Luego necesitaré encontrar la circunferencia de la rueda y dividir la distancia total por minuto (lineal) por esta distancia de «una vuelta». El número de circunferencias que caben dentro de la distancia total es el número de veces que la rueda gira en ese período de tiempo.
Primero, convertiré la velocidad (lineal) del carro de kph a «centímetros por minuto», usando lo que he aprendido sobre la conversión de unidades. (¿Por qué «centímetros por minuto»? Porque estoy buscando «revoluciones por minuto», por lo que los minutos son una unidad de tiempo mejor que las horas. Además, el diámetro se da en términos de centímetros, por lo que es una unidad de longitud mejor que kilómetros.)
de Modo que la distancia cubierta en un minuto es de 75.000 centímetros. El diámetro de la rueda es de 100 cm, por lo que el radio es de 50 cm y la circunferencia es de 100π cm. ¿Cuántas de estas circunferencias (o revoluciones de rueda) caben dentro de los 75.000 cm? En otras palabras, si pelara la banda de rodadura de esta rueda del carro y la colocara plana, mediría una distancia de 100π cm. ¿Cuántas de estas longitudes caben en toda la distancia recorrida en un minuto? Para averiguar cuántos de (esto) caben en tantos de (eso), debo dividir (eso) por (esto), así que:
Entonces, redondeando a la revolución completa más cercana (es decir, redondeando la respuesta a un número entero), mi respuesta es:
239 rpm
Nota: Esta velocidad no es tan rápida como parece: es de poco menos de cuatro revoluciones por segundo. Puedes hacer eso en tu bicicleta sin sudar. Aquí hay otra nota: La fuente de la que obtuve mi marco para el ejercicio anterior usó «velocidad angular» y «ω» para «el número de revoluciones por minuto». Sí, un libro de álgebra usó las unidades equivocadas.
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El ejercicio anterior dio la velocidad de un vehículo e información sobre la rueda. A partir de esto, encontramos las revoluciones por minuto. También podemos ir por el otro lado; podemos comenzar con las revoluciones por minuto (más información sobre una rueda) y encontrar la velocidad del vehículo.
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Una rueda de bicicleta tiene un diámetro de 78 cm. Si la rueda gira a una velocidad de 120 revoluciones por minuto, ¿cuál es la velocidad lineal de la bicicleta, en kilómetros por hora? Redondea tu respuesta a un decimal.
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La velocidad lineal será la distancia en línea recta que la moto se mueve durante un período de tiempo definido. Me han dado el número de veces que la rueda gira cada minuto. Un punto fijo en el neumático (por ejemplo, un guijarro en la banda de rodadura del neumático) mueve la longitud de la circunferencia para cada revolución. Desenrollando esta distancia en el suelo, la bicicleta se moverá a lo largo del suelo la misma distancia, una circunferencia a la vez, para cada revolución. Así que esta pregunta me pide que encuentre la longitud de la circunferencia, y luego use esto para encontrar la distancia total recorrida por minuto.
Dado que el diámetro es de 78 cm, entonces la circunferencia es C = 78π cm. Desenrollando la trayectoria del neumático en una línea recta en el suelo, esto significa que la bicicleta se mueve 78π cm hacia adelante por cada revolución del neumático. Hay 120 revoluciones por minuto, así que:
(78π cm/rev)×(120 rev/min) = 9,360 π cm/min
Ahora que necesito para convertir este de centímetros por minuto a kilómetros por hora:
La bicicleta se está moviendo a unos 17.6 km / h.
…o unas once millas por hora.
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Suponga que la órbita de la Tierra es circular, con un radio de 93.000.000 millas, y dejar de «un año» igualdad de 365,25 días. En estas condiciones, encuentre la velocidad lineal de la Tierra en millas por segundo. Redondea tu respuesta a un decimal.
La velocidad será la distancia (lineal o en línea recta equivalente) recorrida en un segundo, dividida por un segundo. Me dieron información durante un año, así que empezaré por ahí. La circunferencia del círculo con r = 93.000.000 de millas será la distancia lineal que la Tierra cubre en un año.
Este es el número de millas recorridas en un año, pero necesito el número de millas recorridas en sólo un segundo. Hay veinticuatro horas en un día, sesenta minutos en una hora y sesenta segundos en un minuto, por lo que el número total de segundos para ese año es:
Entonces la velocidad lineal, siendo la distancia lineal total dividida por el tiempo total y expresada como una unidad tasa, es:
Entonces, redondeado a un decimal, la velocidad lineal de la Tierra es:
18.5 millas por segundo
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«¡Hey!»Te oigo llorar. «¿Cuándo vamos a usar medidas de ángulo para algo?»While many («most»?) de los ejercicios en su libro probablemente serán similares a los anteriores, en ocasiones puede encontrarse lidiando con radianes y grados reales.
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Un tren viaja a una velocidad de 10 mph en una curva de radio de 3000 pies. ¿A través de qué ángulo girará el tren en un minuto? Redondea al número entero de grados más cercano.
«Una curva de radio de 3000 pies» significa que, si hubiera intentado encajar un círculo cómodamente dentro de la curva, el mejor ajuste habría sido un círculo con un radio de r = 3000 pies. En otras palabras, puedo usar el círculo de hechos para responder a esta pregunta.
Dado que el radio de la curva está en pies y ya que necesito encontrar el ángulo atravesado en un minuto, comenzaré convirtiendo la velocidad de millas por hora a pies por segundo:
La cantidad de la curva de la pista que el tren cubre es también una parte de la circunferencia del círculo. Así que este 880 pies es la longitud del arco, y ahora necesito encontrar el ángulo subtendido del sector circular (implícito):
Pero este valor está en radianes (porque eso es lo que usa la fórmula de longitud de arco), y necesito que mi respuesta esté en grados, así que necesito convertir:
El tren gira a través de un ángulo de aproximadamente:
17°
Imagine que estuviera parado en el centro de ese círculo imaginario (es decir, a tres mil pies de distancia de la curva, a más de media milla de distancia) y observara al tren moverse a lo largo de la curva. Si extendiera la mano a lo largo del brazo, apretara el puño y, mientras sostenía firmemente los dedos medios hacia abajo con el pulgar, levantara el meñique y los dedos índices, la distancia entre ellos sería de unos quince grados. El tren no se movería más que eso. Si sostuvieras el puño a lo largo del brazo y extendieras el meñique y el pulgar, la distancia sería de unos veinticinco grados. El tren no saldría de tus dedos en el tiempo asignado.
(A veces aprendo las cosas más geniales cuando estoy investigando problemas verbales. Por otra parte, mi definición de «cool» puede ser un poco triste….)
URL: https://www.purplemath.com/modules/sectors3.htm
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