Binomialteoremet

Binomialutvidelser Ved Hjelp Av Pascals Trekant

Vurder følgende utvidede krefter av (a + b)n, hvor a + b er noe binomial og n Er et helt tall. Se etter mønstre.

hver utvidelse er et polynom. Det er noen mønstre som skal noteres.

1. Det er en term enn eksponentens kraft, n. Det vil si at det er vilkår i utvidelsen av (a + b)n.

2. I hver term er summen av eksponentene n, kraften som binomialet heves på.

3. Eksponentene til a begynner med n, kraften til binomialet, og reduseres til 0. Den første termen har ingen faktor på b, så krefter av b starter med 0 og øker til n.

4. Koeffisientene starter ved 1 og øker gjennom visse verdier om «halv» – vei og senker deretter gjennom de samme verdiene tilbake til 1.

la oss utforske koeffisientene videre. Anta at vi vil finne en utvidelse av (a + b)6. Mønstrene vi nettopp nevnte indikerer at det er 7 vilkår i utvidelsen:
a6 + c1a5b + c2a4b2 + c3a3b3 + c4a2b4 + c5ab5 + b6.
Hvordan kan vi bestemme verdien av hver koeffisient, ci? Vi kan gjøre det på to måter. Den første metoden innebærer å skrive koeffisientene i et trekantet array, som følger. Dette er Kjent Som Pascals trekant:

det er mange mønstre i trekanten. Finn så mange du kan.
Kanskje du oppdaget en måte å skrive neste rad med tall, gitt tallene i raden over den. Det er alltid 1 på utsiden. Hvert gjenværende tall er summen av de to tallene over det. La oss prøve å finne en utvidelse for (a + b)6 ved å legge til en annen rad ved hjelp av mønstrene vi har oppdaget:

vi ser at i siste rad

1.og siste tall er 1;
2. nummer er 1 + 5 eller 6;
3. nummer er 5 + 10 eller 15;
4. nummer er 10 + 10, eller 20;
det 5. tallet er 10 + 5 eller 15; og
det 6. tallet er 5 + 1 eller 6.

utvidelsen For (a + b)6 er
(a + b)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6.

for å finne en utvidelse for (a + b)8, fullfører vi to rader Med Pascals trekant:

dermed utvidelsen av is
(a + b)8 = a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8.

vi kan generalisere våre resultater som følger.

Binomialteoremet Ved Hjelp Av Pascals Trekant

for enhver binomial a + b og ethvert naturlig tall n,
(a + b)n = c0anb0 + c1an-1b1 + c2an-2b2 + …. + cn-1a1bn – 1 + cna0bn,
hvor tallene c0, c1, c2,…., cn-1, cn er fra (n + 1)-st rad Av Pascals trekant.

Eksempel 1 Utvid: (u-v)5.

Løsning Vi har (a + b)n, hvor a = u, b = -v og n = 5. Vi bruker 6.rad Av Pascals trekant:
1 5 10 10 5 1
da har vi
(u – v)5 = 5 = 1(u)5 + 5(u)4(-v)1 + 10(u)3(-v)2 + 10(u)2(-v)3 + 5(u)(-v)4 + 1(-v)5 = u5 – 5u4v + 10u3v2 – 10u2v3 + 5uv4 – v5.
Merk at tegnene på vilkårene veksler mellom + og -. Når kraften til-v er merkelig, er tegnet -.Eksempel 2 Utvid: (2t + 3/t)4.

Løsning Vi har (a + b)n, hvor a = 2t, b = 3 / t og n = 4. Vi bruker 5. rad Av Pascals trekant:
1 4 6 4 1
da har vi

Binomial Utvidelse Ved Hjelp Av Faktoriell Notasjon

Anta at vi ønsker å finne utvidelsen av (a + b)11. Ulempen ved Å bruke Pascals trekant er at vi må beregne alle de foregående radene i trekanten for å oppnå raden som trengs for utvidelsen. Følgende metode unngår dette. Det gjør det også mulig for oss å finne et bestemt begrep — si 8. term-uten å beregne alle de andre vilkårene i utvidelsen. Denne metoden er nyttig i slike kurs som endelig matematikk, kalkulator og statistikk ,og den bruker binomialkoeffisientnotasjonen .
vi kan gjenta binomialteoremet som følger.

Binomialteoremet Ved Hjelp Av Faktoriell Notasjon

for enhver binomial (a + b) og ethvert naturlig tall n,
.

binomialteoremet kan bevises ved matematisk induksjon. (Se øvelse 63.) Dette skjemaet viser hvorfor kalles en binomisk koeffisient.

Eksempel 3 Utvid: (x2 – 2y) 5.

Løsning Vi har (a + b)n, hvor a = x2, b = – 2y og n = 5. Deretter bruker vi binomialteoremet

Endelig (x2 – 2y)5 = x10 – 10x8y + 40x6y2 – 80x4y3 + 80x2y4 – 32y5.

Eksempel 4 Utvid: (2/x + 3√x)4.

Løsning Vi har (a + b)n, hvor a = 2 / x, b = 3√x og n = 4. Deretter bruker vi binomialteoremet

Endelig (2/x + 3√x)4 = 16 / x4 + 96 / x5/2 + 216/x + 216×1/2 + 81×2.

Finne Et Bestemt Begrep

Anta at vi bare vil bestemme et bestemt uttrykk for en ekspansjon. Metoden vi har utviklet vil tillate oss å finne et slikt begrep uten å beregne alle rader Av Pascals trekant eller alle de foregående koeffisientene.

Merk at i binomialteoremet, gir oss 1. term, gir oss 2. term, gir oss 3. term, og så videre. Dette kan generaliseres som følger.

Finne (k + 1)-St Termen

(k + 1)-st termen av (a + b)n er .

Eksempel 5 Finn 5. termen i utvidelsen av (2x – 5y)6.

Løsning først merker vi at 5 = 4 + 1. Dermed er k = 4, a = 2x, b = – 5y og n = 6. Da er 5. termen av utvidelsen

Eksempel 6 Finn 8.termen i utvidelsen av (3x – 2)10.

Løsning først merker vi at 8 = 7 + 1. Dermed er k = 7, a = 3x, b = -2 og n = 10. Da er ekspansjonens 8. term

Totalt Antall Undergrupper

Anta at et sett har n objekter. Antall delsett som inneholder k-elementer . Totalt antall delsett av et sett er antall delsett med 0 elementer, pluss antall delsett med 1 element, pluss antall delsett med 2 elementer, og så videre. Det totale antall delsett av et sett med n elementer er
.
nå vurdere utvidelse av (1 + 1)n:
.
dermed er det totale antall delsett (1 + 1) n, eller 2n. Vi har vist følgende.

Totalt Antall Undergrupper

totalt antall undergrupper av et sett med n elementer er 2n.

Eksempel 7 settet {a, B, C, D, E} har hvor mange undergrupper?

Løsning settet har 5 elementer, så antall undergrupper er 25 eller 32.Eksempel 8 Wendy ‘ s, en nasjonal restaurantkjede, tilbyr følgende pålegg for sine hamburgere: {catsup, sennep, majones, tomat, salat, løk, pickle, relish, ost}.Hvor mange forskjellige typer hamburgere kan Wendys servere, unntatt størrelsen på hamburger eller antall patties?

Løsning toppings på hver hamburger er elementene i en delmengde av settet med alle mulige toppings, det tomme settet er en vanlig hamburger. Totalt antall mulige hamburgere er

Wendys serverer derfor hamburgere på 512 forskjellige måter.