Calculus II – Sequences
Vis Mobil Varsel Vis Alle Notater Skjul Alle Notater
Seksjon 4-1 : Sekvenser
La oss starte denne delen med en diskusjon av akkurat hva en sekvens er. En sekvens er ikke noe mer enn en liste over tall skrevet i en bestemt rekkefølge. Listen kan eller ikke kan ha et uendelig antall vilkår i dem selv om vi skal håndtere utelukkende med uendelige sekvenser i denne klassen. Generelle sekvensvilkår er betegnet som følger, fordi vi skal håndtere uendelige sekvenser, vil hvert begrep i sekvensen bli etterfulgt av et annet begrep som nevnt ovenfor. I notasjonen ovenfor må vi være veldig forsiktige med abonnementene. Subscriptet av \(n + 1\) betegner neste term i sekvensen og IKKE en pluss \(n^{\mbox{th}}\) termen! Med andre ord,
\
så vær veldig forsiktig når du skriver abonnementer for å sikre at «+1» ikke migrerer ut av abonnementet! Dette er en enkel feil å gjøre når du først begynner å håndtere denne typen ting.
Det finnes en rekke måter å betegne en sekvens på. Hver av de følgende er ekvivalente måter å betegne en sekvens på.
\
i den andre og tredje notasjonen over an er vanligvis gitt med en formel.
Et par notater er nå i orden om disse notasjonene. Merk først forskjellen mellom den andre og tredje notasjonen ovenfor. Hvis utgangspunktet ikke er viktig eller er underforstått på noen måte av problemet, blir det ofte ikke skrevet ned som vi gjorde i tredje notasjon. Deretter brukte vi et utgangspunkt for \(n = 1\) i den tredje notasjonen bare slik at vi kunne skrive en ned. Det er absolutt ingen grunn til å tro at en sekvens vil starte på \(n = 1\). En sekvens vil starte hvor som helst den trenger å starte.
La oss ta en titt på et par sekvenser.
- \(\displaystyle \ venstre \ { {\frac {{n + 1}} {{{n^2}}} \ høyre\}_{n = 1}^\infty\)
- \(\displaystyle \ venstre \ { {\frac {{{\venstre ( {- 1} \ høyre)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \høyre\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\venstre\{ {{b_n}} \høyre\}_{n = 1}^\infty \), hvor \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ siffer av }}\pi \)
Vis Alle Løsninger Skjul Alle Løsninger
for å få de første sekvensbetingelsene her er alt vi trenger å gjøre, plugge inn verdier av \(n\) i formelen gitt, og vi får sekvensen vilkår.
\
Merk inkluderingen av » … » på slutten! Dette er et viktig stykke notasjon som det er det eneste som forteller oss at sekvensen fortsetter og slutter ikke på siste sikt.
b \(\displaystyle \venstre\{ {\frac {{{{\\venstre( { – 1} \ høyre)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \ right\}_{n = 0}^ \ infty \) Vis Løsning
Denne ligner på den første. Hovedforskjellen er at denne sekvensen ikke starter ved \(n = 1\).
\
Merk at vilkårene i denne sekvensen veksler i tegn. Sekvenser av denne typen kalles noen ganger vekslende sekvenser.
c \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), hvor \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ digit of }}\pi \) Viser Løsning
denne sekvensen er forskjellig fra de to første i den forstand at den ikke har en bestemt formel for hvert begrep. Men det forteller oss hva hvert begrep skal være. Hver term skal være det nte sifferet til \(\pi\). Så vi vet det \(\pi = 3.14159265359 \ ldots \)
sekvensen er da,
\
i de to første delene av forrige eksempel merk at vi virkelig behandlet formlene som funksjoner som bare kan ha heltall koblet til dem. Eller,
\
Dette er en viktig ide i studiet av sekvenser (og serier). Å behandle sekvensbetingelsene som funksjonsvurderinger vil tillate oss å gjøre mange ting med sekvenser som vi ikke kunne gjøre ellers. Før hulene videre inn i denne ideen, men vi trenger å få et par flere ideer ut av veien.
Først vil vi tenke på å «tegne» en sekvens. For å tegne sekvensen \(\left \ { {{a_n}} \ right\}\) plotter vi punktene \(\left ({n, {a_n}} \ right)\) som \(n\) varierer over alle mulige verdier på en graf. La oss for eksempel tegne sekvensen \(\venstre \ { {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}} \right\}_{n = 1}^\infty \). De første punktene på grafen er,
\
grafen, for de første 30 betingelsene i sekvensen, er da,
denne grafen fører oss til en viktig ide om sekvenser. Legg merke til at as \(n\) øker sekvensbetingelsene i vår sekvens, i dette tilfellet, kom nærmere og nærmere null. Vi sier da at null er grensen (eller noen ganger begrensningsverdien) av sekvensen og skriver,
\
denne notasjonen skal se kjent ut for deg. Det er den samme notasjonen vi brukte da vi snakket om grensen til en funksjon. Faktisk, hvis du husker, sa vi tidligere at vi kunne tenke på sekvenser som funksjoner på en eller annen måte, og så denne notasjonen bør ikke være for overraskende.
Ved å bruke ideene som vi utviklet for funksjonsgrenser, kan vi skrive ned følgende arbeidsdefinisjon for sekvensgrenser.
Arbeidsdefinisjon Av Grense
- vi sier at \
hvis vi kan lage en så nær \(L\) som vi vil for alle tilstrekkelig store \(n\). Med andre ord nærmer verdien av \({a_n}\)’s tilnærming \(L\) som \(n\) uendelig.
- vi sier at \
hvis vi kan lage en så stor som vi vil for alle tilstrekkelig store \(n\). Igjen, med andre ord, blir verdien av \({a_n}\)’s større og større uten bundet som \(n\) nærmer seg uendelig.
- vi sier at \
hvis vi kan gjøre en så stor og negativ som vi ønsker for alle tilstrekkelig stor \(n\). Igjen, med andre ord, er verdien av \({a_n}\)’s negative og blir større og større uten bundet som \(n\) nærmer seg uendelig.
arbeidsdefinisjonene av de ulike sekvensgrensene er fine ved at de hjelper oss med å visualisere hva grensen egentlig er. Akkurat som med begrensninger av funksjoner, er det også en presis definisjon for hver av disse grensene. La oss gi dem før du fortsetter
Presis Definisjon Av Grense
- Vi sier at \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_n} = L\) hvis for hvert tall \(\varepsilon > 0\) er det et heltall \(N\) slik at \
- Vi si at \(\mathop {\lim }\limits_{N \til \infty } {a_n} = \infty \) hvis for hvert tall \(m > 0\) er det et heltall \(n\) slik at \
- vi sier at \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_n} = – \infty \) Hvis for hvert tall \(m < 0\) Er det et heltall \(N\) slik at \
Vi vil ikke bruke den nøyaktige definisjonen ofte, men det vil dukke opp noen ganger.
Merk at begge definisjonene forteller oss at for at en grense skal eksistere og ha en endelig verdi, må alle sekvensbetingelsene komme nærmere og nærmere den endelige verdien når \(n\) øker.
Nå som vi har definisjonene av grensen for sekvenser ut av veien, har vi litt terminologi som vi må se på. Hvis \(\mathop {\lim} \limits_{n\ til \ infty } {a_n}\) eksisterer og er endelig, sier vi at sekvensen er konvergent. Hvis \ (\mathop {\lim } \ limits_{n \to \ infty } {a_n}\) ikke eksisterer eller er uendelig, sier vi sekvensen divergerer. Merk at noen ganger vil vi si at sekvensen divergerer til \ (\infty\) hvis \(\mathop {\lim} \limits_{n \til \ infty } {a_n} = \infty\) og hvis \(\mathop {\lim} \limits_{n \til \ infty } {a_n} = – \ infty\) vil vi noen ganger si at sekvensen divergerer til \(- \infty\).
bli vant til begrepene «konvergent » og» divergent » som vi vil se dem ganske mye gjennom dette kapitlet.
Så hvordan finner vi grensene for sekvenser? De fleste grensene for de fleste sekvenser kan bli funnet ved hjelp av en av følgende teoremer.
Teorem 1
gitt sekvensen \(\venstre\ {{{{a_n}} \høyre\}\) hvis vi har en funksjon \(f\venstre( x \høyre)\) slik at \(f\venstre( n \høyre) = {a_n}\) Og \(\mathop {\lim }\limits_ {x \til \infty } f\venstre( x \høyre) = L\) så \(\mathop {\lim }\limits_ {N \til \infty} {a_n} = l\)
denne setningen forteller oss i utgangspunktet at vi tar grensene for sekvenser mye som vi tar grensen for funksjoner. Faktisk vil vi i de fleste tilfeller ikke engang bruke denne setningen ved å eksplisitt skrive ned en funksjon. Vi vil oftere bare behandle grensen som om det var en grense for en funksjon og ta grensen som vi alltid gjorde tilbake i Kalkulus jeg da vi tok grensene for funksjoner.Så, nå som vi vet at å ta grensen til en sekvens er nesten identisk med å ta grensen til en funksjon, vet vi også at alle egenskapene fra funksjonens grenser også vil holde.
Egenskaper
Hvis \(\venstre\{ {{a_n}} \høyre\}\) Og \(\venstre\{ {{b_n}} \høyre\}\) er begge konvergente sekvenser da,
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } \venstre( {{a_n} \pm {b_n}} \høyre) = \mathop {\det er ingen Grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn til å tro at det er en grunn. \(\mathop {\lim} \limits_ {n \til\infty} \venstre ({{a_n}\, {b_n}} \høyre) = \venstre ({\mathop {\lim} \limits_{n\til \infty} {a_n}} \høyre)\venstre ({\mathop {\lim} \høyre) \venstre ({\mathop {\lim det er ingen grunn til å tro at det er noe som er galt med det, men det er ingen grunn til å tro at det er noe som er galt med det. limits_{n\til \infty} {b_n}}},\,\,\,\,\,{\mbox{gitt }}\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {b_n} \ne 0\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } a_n^p = {\left^p}\) gitt \({a_n} \ge 0\)
disse egenskapene kan bevises ved Hjelp Av Teorem 1 ovenfor og funksjonsgrenseegenskapene vi sa i kalkulus jeg eller vi kan bevise dem ved a bruke den noyaktige definisjon av en grense ved hjelp av nesten identiske bevis på funksjonsgrenseegenskapene.Neste, akkurat som Vi hadde En Klemme Teorem for funksjonsgrenser, har vi også en for sekvenser, og den er ganske mye identisk med funksjonsgrenseversjonen.
Klem Teorem For Sekvenser
Hvis \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) For alle \(n > N\) for noen \(N\) og \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \Til \Infty } {B_n} = l\) deretter \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {c_n} = l\).
Merk at i denne setningen er «for all \(n> N\) For noen \(N\)» egentlig bare å fortelle oss at vi må ha \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) for alle tilstrekkelig store \(n\), men hvis det ikke er sant for de første \(n\) som ikke vil ugyldiggjøre teoremet.
som vi ser ikke alle sekvenser kan skrives som funksjoner som vi faktisk kan ta grensen til. Dette gjelder spesielt for sekvenser som veksler i tegn. Mens vi alltid kan skrive disse sekvensbetingelsene som en funksjon, vet vi bare ikke hvordan vi skal ta grensen til en funksjon som den. Følgende teorem vil hjelpe til med noen av disse sekvensene.
Teorem 2
Hvis \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } \venstre| {{a_n}} \høyre / = 0\) så \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_n} = 0\).
Hvis \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } \venstre| {{a_n}} \høyre / = 0\) så \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_n} = 0\).
Merk at for at denne setningen skal holde grensen MÅ være null, OG det vil ikke fungere for en sekvens hvis grense ikke er null. Denne setningen er lett nok til å bevise så la oss gjøre det.
Bevis På Teorem 2
det viktigste til dette beviset er å merke seg at
\
så merk at
\
vi har da \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( { – \left| {{a_n}} \right|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\) og så ved squeeze theorem må vi Også Ha,
\
neste teorem er en nyttig teorem som gir konvergens/divergens og verdi (for når den er konvergent) av en sekvens som oppstår til tider.
Teorem 3
sekvensen \(\venstre\{ {{r^n}} \høyre\}_{n = 0}^\infty \) konvergerer hvis \( – 1< r \le 1\) og divergerer for alle andre verdier av \(r\). Også,
\
her er en rask (vel ikke så rask, men definitivt enkel) delvis bevis på denne setningen.
Delvis Bevis På Teorem 3
Vi gjør dette ved en rekke tilfeller, selv om det siste tilfellet ikke vil bli helt bevist.
Sak 1 : \(r > 1\)
vi vet Fra Kalkulus jeg at \(\mathop {\lim }\limits_{x \til \infty } {r^x} = \infty \) hvis \(r > 1\) og så ved Teorem 1 ovenfor vet vi også at \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {r^n} = \infty \) og så divergerer sekvensen hvis \(r > 1\).
Sak 2: \(r = 1\)
i dette tilfellet har vi,
\
så konvergerer sekvensen for\ (r = 1\) og i dette tilfellet er grensen 1.
Sak 3 : \(0 < r < 1\)
Vi vet Fra Kalkulus jeg at \(\mathop {\lim }\limits_{x \til \infty } {r^x} = 0\) hvis \(0 < r < 1\) og så ved teorem 1 ovenfor vet vi også at \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {r^n} = 0\) og så konvergerer sekvensen hvis \(0 < r < 1\) og i denne saken er grensen null.
Sak 4: \(r = 0\)
i dette tilfellet har vi,
\
så konvergerer sekvensen for \(r = 0\) og i dette tilfellet er grensen null.
Tilfelle 5 : \( – 1 < r < 0\)
la Oss først merke til at hvis \( – 1 < 0\) så \(0 < \venstre/r \høyre| < 1\) så ved sak 3 ovenfor har vi,
\
teorem 2 ovenfor forteller oss nå at vi også må ha, \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {r^n}=0\) og så hvis \( – 1<r < 0\) sekvensen konvergerer og har en grense på 0.
Sak 6 : \(r = – 1\)
i dette tilfellet er sekvensen,
\
og forhåpentligvis er det klart at \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {\left ({- 1} \ right)^n}\) ikke eksisterer. Husk at for at denne grensen skal eksistere, må vilkårene nærme seg en enkelt verdi som \(n\) øker. I dette tilfellet veksler vilkårene bare mellom 1 og -1, og grensen eksisterer ikke.
så, sekvensen divergerer for \(r = – 1\).
Case 7: \(r < – 1\)
I dette tilfellet skal vi ikke gå gjennom et komplett bevis. La oss bare se hva som skjer hvis vi lar \(r = – 2\) for eksempel. Hvis vi gjør at sekvensen blir,
\
Så, hvis \(r = – 2\) får vi en sekvens av termer hvis verdier veksler i tegn og blir større og større og så \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {\left( { – 2} \right)^n}\) eksisterer ikke. Det legger seg ikke ned til en enkelt verdi som \(n\) øker, og heller ikke vilkårene nærmer seg uendelig. Så divergerer sekvensen for \(r = – 2\).
Vi kunne gjøre noe lignende for enhver verdi av \(r\) slik at \(r < – 1\) og så divergerer sekvensen for \(r < – 1\).
La oss ta en titt på et par eksempler på grenser for sekvenser.
- \(\venstre\{ {\displaystyle \frac{{3{n^2} – 1}}{{10n + 5{n^2}}} \høyre\}_{n = 2}^\infty \)
- \(\venstre\{ {\displaystyle \frac {{{\bf {e}}^{2n}}} {n}} \høyre\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\venstre\ {{\displaystyle \frac {{{\venstre ({- 1} \høyre)}^n}} {n}} \høyre\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\venstre\ {{{{\venstre ({- 1} \høyre)}^n}} \høyre\}_{n = 0}^\infty \)
vis alle løsninger skjul alle løsninger
i dette tilfellet er alt vi trenger å gjøre å huske metoden som var utviklet I Kalkulus jeg å håndtere grensene for rasjonelle funksjoner. Se Grensene Ved Uendelig, Del I-delen av Kalkulatoren i notater for en gjennomgang av dette hvis du trenger det.
for å gjøre en grense i dette skjemaet er alt vi trenger å gjøre faktor fra telleren og nevnen den største kraften til \(n\), avbryt og ta grensen.
\
så, sekvensen konvergerer og dens grense er \(\frac{3}{5}\).
b \(\venstre\{ {\displaystyle \frac {{{{{\bf{e}}}^{2n}}} {n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Vis Løsning
Vi må være forsiktige med denne. Vi må bruke L ‘ Hospitalets Regel på denne sekvensen. Problemet Er At L ‘ Hospitals Regel bare fungerer på funksjoner og ikke på sekvenser. Normalt ville dette være et problem, men Vi har Teorem 1 ovenfra for å hjelpe oss. La oss definere
\
og merk at,
\
Teorem 1 sier at alt vi trenger å gjøre er å ta grensen til funksjonen.
\
så, sekvensen i denne delen divergerer (til \(\infty\)).Oftere enn Ikke gjør Vi Bare L ‘Hospital’ S Regel på sekvensbetingelsene uten først å konvertere til \(x\) siden arbeidet vil være identisk uansett om vi bruker \(x\) eller \ (n\). Imidlertid bør vi virkelig huske at teknisk sett kan vi ikke gjøre derivatene mens vi arbeider med sekvensbetingelser.
c \ (\venstre \{{\displaystyle\frac {{{{\left ({- 1} \right)}^n}}}{n}}\right\}_{n = 1}^ \ infty\) Vis Løsning
Vi må også være forsiktige med denne sekvensen. Vi kan være fristet til å bare si at grensen for sekvensbetingelsene er null (og vi ville være riktige). Teknisk sett kan vi imidlertid ikke ta grensen for sekvenser hvis vilkår veksler i tegn, fordi vi ikke vet hvordan vi skal gjøre grenser for funksjoner som viser samme oppførsel. Også, vi vil være veldig forsiktig med å ikke stole for mye på intuisjon med disse problemene. Som vi vil se i neste avsnitt, og i senere seksjoner, kan vår intuisjon føre oss på villspor i disse problemene hvis vi ikke er forsiktige.
Så, la oss jobbe dette etter boken. Vi må bruke Teorem 2 på dette problemet. Derfor, siden grensen for sekvensbetingelsene med absoluttverdistenger på dem går til null, vet vi ved Teorem 2 det, som også betyr at sekvensen konvergerer til en verdi av null.
d \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Vis Løsning
for denne setningen merk at alt vi trenger å gjøre er å innse at dette er sekvensen i Teorem 3 ovenfor ved hjelp av \(r = – 1\). Så, Ved Teorem 3, avviker denne sekvensen.
Vi må nå gi en advarsel om misbruk Av Teorem 2. Teorem 2 fungerer bare hvis grensen er null. Hvis grensen for absoluttverdien av sekvensbetingelsene ikke er null, vil ikke teoremet holde. Den siste delen av det forrige eksemplet er et godt eksempel på dette (og faktisk er denne advarselen hele grunnen til at en del er der). Legg merke til at
\
og likevel, \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {\left( { – 1} \right)^n}\) ikke engang eksisterer enn si lik 1. Så vær forsiktig med Å bruke Denne Setningen 2. Du må alltid huske at det bare fungerer hvis grensen er null.
før vi går videre til neste avsnitt, må vi gi en ekstra setning som vi trenger for et bevis nedover veien.
Teorem 4
for sekvensen \(\venstre\ {{{{a_n}} \høyre\}\) hvis både \(\mathop {\lim }\limits_ {n \lim} \limits_{n\ til \infty} {a_{2n}} = L\) og \(\mathop {\lim} \limits_{n\ til \infty} {a_ {2n + 1}} = L\) så\ (\venstre\ {{{a_n}}\ right\}\) er konvergent og \(\mathop {\Lim} \limits_ {n\til \ infty} {a_n} = l\).
Bevis På Teorem 4
La \(\varepsilon> 0\).
så siden \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_{2n}} = l\) er det en \({n_1} > 0\) slik at hvis \(n > {N_1}\) vet vi det,
\
på samme måte, fordi \(\Mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_{2n + 1}} = l\) Er det en \({n_2} > 0\) slik at hvis \(n > {n_2}\) vet vi det,
\
nå, la \(n = \maks \venstre\{ {2{n_1},2{n_2} + 1} \høyre\}\) og la \(n > n\). Så enten \({a_n} = {a_{2k}}\) for noen \(k > {N_1}\) eller \({a_n} = {a_{2k + 1}}\) for noen \(k > {N_2}\) og så i begge tilfeller har vi det,
\
derfor er \(\mathop {\lim }\limits_{n \til \infty } {a_n} = l\) og så \(\venstre\{ {{a_n}} \Høyre\}\) konvergent.