Den Skjulte Vridningen Til Å Lage En Mö Stripe

innen symplektisk geometri innebærer et sentralt problem hvordan man teller skjæringspunktene til to kompliserte geometriske rom. Dette tellespørsmålet er kjernen i Et Av De mest kjente problemene i feltet, Arnold-formodningen, og det handler også om grunnleggende teknikk: Matematikere trenger å vite hvordan man gjør disse tellingene for å gjøre andre typer forskning.Som jeg beskriver i min artikkel «En Kamp For Å Fikse Geometriens Grunnlag», har det å utvikle en metode for å telle disse skjæringspunktene vært en uttrukket og noen ganger omstridt prosess. En pålitelig, allment forstått, feilfri tilnærming har presentert en utfordring av en rekke årsaker, fra mangelen på et felles ordforråd når et nytt felt kommer i gang (symplektisk geometri bare virkelig tok av begynnelsen på 1990-tallet), til selve problemets natur: Enkelt sagt, det er vanskelig.

vanskeligheten ligger i det faktum at det av subtile grunner ikke er mulig å telle skjæringspunktene på en gang. I stedet må matematikere bryte rommet ned i «lokale» regioner, telle skjæringspunkter i hver region, og legge dem sammen for å få den «globale» tellingen. Å sette sammen lokale teller har vist seg å være en mer delikat og teknisk krevende oppgave enn matematikere realiserte først: Hvis du ikke er forsiktig med hvordan du tegner dine lokale regioner, kan du enkelt utelate ett skjæringspunkt eller doble en annen.

følgende illustrasjoner undersøker vanskeligheten ved oppgaven ved å bruke En mö stripe (et todimensjonalt sirkulært bånd med en vri i den). Mö-stripen har to sirkler som passerer gjennom overflaten. Spørsmålet er: Hvor mange ganger krysser de to sirklene hverandre? Som du vil se, synes svaret å være en ting når du ser på stripen på en gang, og en annen hvis Du ikke er forsiktig når Du kutter Mö stripen i to stykker.

Et Tellepuslespill

Matematikere vil telle skjæringspunkter, men visse hindringer hindrer dem i å telle alle disse punktene direkte. For å overvinne disse hindringene deler de manifolden i bite-sized «lokale» regioner, teller kryssene i hver og legger dem sammen for å få en telling for hele manifolden.men hvis matematikere ikke er forsiktige med hvordan de kombinerer teller fra lokale regioner, kan de lett ende opp med feil telling for hele manifolden. Delikatessen ved å legge til lokale teller sammen er tydelig i dette enkle eksemplet.

Mö Rip

Ta En Mö stripe. Tegn to sirkler som løper gjennom den. Hvis Du ser på Hele Mö-stripen, må de to sirklene krysse hverandre minst en gang: En sirkel starter over den andre, men ender opp under den på grunn av stripens vridende natur.

kutt nå Den Samme mö stripen i to deler. Kuttene fjerner vridningen i stripen. Tegn to sirkelsegmenter på hvert stykke. Uten vridningen er det enkelt å tegne sirkelsegmentene slik at de løper parallelt med hverandre og aldri krysser. Som en konsekvens kan du feilaktig konkludere med at antall kryss på Hele Mö-stripen er null. Matematikere i symplektisk geometri har lært at liming sammen «lokale» stykker for å gjenopprette en «global» skjæringstelling er en mye mer kompleks prosess enn de først trodde.