Kartesisk koordinatsystem

Fig. 3-de fire kvadranter Av Et Kartesisk koordinatsystem. Pilene på aksene indikerer at de strekker seg for alltid i deres respektive retninger(dvs. uendelig).Et Kartesisk koordinatsystem i to dimensjoner er vanligvis definert av to akser, i rette vinkler til hverandre, og danner et plan (et xy-plan). Den horisontale aksen er normalt merket x, og den vertikale aksen er normalt merket y. i et tredimensjonalt koordinatsystem legges en annen akse, normalt merket z, til, og gir en tredje dimensjon av rommåling. Aksene er ofte definert som gjensidig ortogonale til hverandre (hver i rett vinkel til den andre). (Tidlige systemer tillot «skrå» akser, det vil si akser som ikke møttes i rette vinkler, og slike systemer brukes av og til i dag, men for det meste som teoretiske øvelser.) Alle punktene i Et Kartesisk koordinatsystem sammen danner et Såkalt Kartesisk plan. Ligninger som bruker Det Kartesiske koordinatsystemet kalles Kartesiske ligninger.

skjæringspunktet, hvor aksene møtes, kalles opprinnelsen normalt merket O.X-og y-aksene definerer et plan som kalles xy-planet.Gitt hver akse, velg en enhetslengde, og merk av hver enhet langs aksen, og danner en grid.To angi et bestemt punkt på et todimensjonalt koordinatsystem, angi x-enheten først (abscisse), etterfulgt av y-enheten (ordinat) i skjemaet (x,y), et bestilt par.

valget av bokstaver kommer fra en konvensjon, for å bruke den siste delen av alfabetet for å indikere ukjente verdier. I kontrast ble den første delen av alfabetet brukt til å betegne kjente verdier.

et eksempel på et punkt P på systemet er angitt i Figur 3, ved hjelp av koordinaten (3,5).

skjæringspunktet mellom de to aksene skaper fire regioner, kalt kvadranter, angitt Med De Romerske tallene I (+,+), II (−,+), III ( − ,−) OG IV (+,−). Konvensjonelt er kvadrantene merket mot urviseren fra øvre høyre («nordøst») kvadrant. I den første kvadranten er begge koordinatene positive, i den andre kvadranten er x-koordinatene negative og y-koordinatene positive, i den tredje kvadranten er begge koordinatene negative og i den fjerde kvadranten er x-koordinatene positive og y-koordinatene negative (se tabell nedenfor.)

Tredimensjonalt koordinatsystem

Fig. 4 – tredimensjonalt Kartesisk koordinatsystem med y-aksen peker bort fra observatøren.

Fig. 5 – tredimensjonalt Kartesisk koordinatsystem med x-aksen peker mot observatøren.

Det Tredimensjonale Kartesiske koordinatsystemet gir de tre fysiske dimensjonene av rom-lengde—bredde og høyde. Figur 4 og 5 viser to vanlige måter å representere den på.

De Tre Kartesiske aksene som definerer systemet er vinkelrett på hverandre. De relevante koordinatene er av formen (x, y, z). Som et eksempel viser figur 4 to punkter plottet i et tredimensjonalt Kartesisk koordinatsystem: P (3,0,5) Og Q (-5,-5,7). Aksene er avbildet i en» verden-koordinater » orientering med z-aksen peker opp.x-, y-og z-koordinatene til et punkt kan også tas som avstandene fra henholdsvis yz-planet, xz-planet og xy-planet. Figur 5 viser avstandene til punkt P fra flyene.

xy-, yz-og xz-flyene deler det tredimensjonale rommet i åtte underavdelinger kjent som oktanter, som ligner kvadranter AV 2D-rom. Mens det er etablert konvensjoner for merking av de fire kvadrantene i xy-planet, er bare den første oktanten av tredimensjonalt rom merket. Den inneholder alle punktene hvis x -, y-og z-koordinater er positive.

z-koordinaten kalles også applikere.

Orientering og handedness

se også: høyre regel

i to dimensjoner

høyre regel.

Feste eller velge x-aksen bestemmer y-aksen opp til retning. Nemlig er y-aksen nødvendigvis vinkelrett på x-aksen gjennom punktet merket 0 på x-aksen. Men det er et valg av hvilken av de to halvlinjene på vinkelrett å betegne som positiv og hvilken som negativ. Hvert av disse to valgene bestemmer en annen orientering (også kalt handedness) Av Det Kartesiske planet.

den vanlige måten å orientere aksene på, med den positive x-aksen peker til høyre og den positive y-aksen peker opp (og x-aksen er den » første «og y-aksen den» andre » aksen) betraktes som den positive eller standardorienteringen, også kalt høyrehendt orientering.

en vanlig brukt mnemonic for å definere positiv orientering er høyre hånd regelen. Plasser en noe lukket høyre hånd på flyet med tommelen pekende opp, fingrene peker fra x-aksen til y-aksen, i et positivt orientert koordinatsystem.

den andre måten å orientere aksene på, følger venstrehåndsregelen, plasserer venstre hånd på flyet med tommelen pekende oppover.

Uavhengig av regelen som brukes til å orientere aksene, vil rotering av koordinatsystemet bevare orienteringen. Bytte rolle x og y vil reversere retningen.

I tre dimensjoner

Fig. 7-venstrehåndet orientering vises til venstre, og høyrehåndet til høyre.

Fig. 8-det høyrehendte Kartesiske koordinatsystemet som indikerer koordinatplanene.

Når x-og y-aksene er spesifisert, bestemmer de linjen langs hvilken z-aksen skal ligge, men det er to mulige retninger på denne linjen. De to mulige koordinatsystemene som resulterer kalles «høyrehendt» og » venstrehåndet.»Standardretningen, hvor xy-planet er horisontalt og z-aksen peker opp (og x – og y-aksen danner et positivt orientert todimensjonalt koordinatsystem i xy-planet hvis observert fra over xy-planet) kalles høyrehendt eller positiv.

navnet kommer fra høyreregelen. Hvis pekefingeren på høyre hånd peker fremover, bøyde langfingeren innover i en vinkel mot den, og tommelen plassert i en vinkel mot begge, angir de tre fingrene de relative retningene til x-, y-og z-aksene i et høyrehendt system. Tommelen indikerer x-aksen, pekefingeren y-aksen og langfingeren z-aksen. Omvendt, hvis det samme gjøres med venstre hånd, resulterer et venstrehåndet system.

Ulike disipliner bruker forskjellige variasjoner av koordinatsystemene. For eksempel bruker matematikere vanligvis et høyrehendt koordinatsystem med y-aksen peker opp, mens ingeniører vanligvis bruker et venstrehåndet koordinatsystem med z-aksen peker opp. Dette har potensial til å føre til forvirring når ingeniører og matematikere jobber med samme prosjekt.Figur 7 er et forsøk på å skildre et venstre – og et høyrehendt koordinatsystem. Fordi et tredimensjonalt objekt er representert på den todimensjonale skjermen, oppstår forvrengning og tvetydighet. Aksen peker nedover (og til høyre) er også ment å peke mot observatøren, mens» midt » aksen er ment å peke bort fra observatøren. Den røde sirkelen er parallell med det horisontale xy-planet og indikerer rotasjon fra x-aksen til y-aksen (i begge tilfeller). Derfor passerer den røde pilen foran z-aksen.

Figur 8 Er et annet forsøk på å skildre et høyrehendt koordinatsystem. Igjen er det en tvetydighet forårsaket av å projisere det tredimensjonale koordinatsystemet i flyet. Mange observatører se Figur 8 som «bla inn og ut» mellom en konveks kube og en konkav » hjørne .»Dette tilsvarer de to mulige orienteringene til koordinatsystemet. Å se figuren som konveks gir et venstrehånds koordinatsystem. Dermed er Den» riktige » måten Å se Figur 8 på å forestille x-aksen som peker mot observatøren og dermed se et konkavt hjørne.

i fysikk

ovennevnte diskusjon gjelder Kartesiske koordinatsystemer i matematikk, hvor det er vanlig å ikke bruke noen måleenheter. I fysikk er det viktig å merke seg at en dimensjon bare er et mål på noe, og at for hver klasse av funksjoner som skal måles, kan en annen dimensjon legges til. Vedlegg til å visualisere dimensjonene utelukker å forstå de mange forskjellige dimensjonene som kan måles (tid, masse, farge, pris, etc.). Flerdimensjonale objekter kan beregnes og manipuleres algebraisk.

Representerer en vektor Med Kartesisk notasjon

et punkt i rommet i Et Kartesisk koordinatsystem kan også representeres av en vektor, som kan betraktes som en pil som peker fra opprinnelsen til koordinatsystemet til punktet. Hvis koordinatene representerer romlige posisjoner (forskyvninger) er det vanlig å representere vektoren fra opprinnelsen til interessepunktet som r {\displaystyle \ mathbf {r} } . Ved Hjelp Av Kartesiske koordinater kan vektoren fra opprinnelsen til punktet (x, y, z) {\displaystyle (x,y,z)} skrives som:

r = x i + y j + z k {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }

where i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } , and k {\displaystyle \mathbf {k} } are unit vectors that point the same direction as the x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , og z {\displaystyle z} akser, henholdsvis.

Denne notasjonen er vanligvis referert Til Som Kartesisk notasjon. Enhetsvektorene i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } og k {\displaystyle \mathbf {k} } kalles versorene til koordinatsystemet, og representerer et eksempel på standard basis.

Ytterligere notater

I datageometri er Det Kartesiske koordinatsystemet grunnlaget for algebraisk manipulering av geometriske former. Mange andre koordinatsystemer har blitt utviklet siden Descartes. Et vanlig sett med systemer bruker polarkoordinater; astronomer bruker ofte sfæriske koordinater, en type polarkoordinatsystem.

Se også

• Kurve
• Geometri
• Graf
• Linje (matematikk)
• Matematikk
• Tall
• Plan (matematikk)
• Punkt (geometri)

• Notater

  i david j. griffith (1999). Introduksjon Til Elektromagnetikk. Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
  • Descartes, René 2001. Diskurs Om Metode, Optikk, Geometri og Meteorologi. Trans. Paul J. Olscamp. Indianapolis, UT: Hackett Pub. ISBN 0872205673.
  • Gel Hryvfand, I. M., E. G. Glagoleva, Og A. A. Kirillov. 1990. Metoden For Koordinater. Boston: Birkhauser. ISBN 0817635335.
  • Kline, Morris. 1985. Matematikk for Ikke-Matematikere. New York: Dover (Engelsk). ISBN 0817635335.

  alle lenker besøkt 16.januar 2017.

  • Kartesisk Koordinatsystem.
  • Utskrivbare Kartesiske Koordinater.
  • Kartesiske koordinater. PlanetMath.

  Credits

  forfattere Og redaktører av New World Encyclopedia omskrev Og fullførte Wikipedia-artikkelen i samsvar Med new World Encyclopedia-standarder. Denne artikkelen overholder vilkårene I Creative Commons CC-by-sa 3.0 Lisens (CC-by-sa), som kan brukes og spres med riktig navngivelse. Denne lisensen kan referere til Både bidragsyterne Til new World Encyclopedia og de uselviske frivillige bidragsyterne Til Wikimedia Foundation. For å sitere denne artikkelen klikk her for en liste over akseptable siterer formater.Historien til tidligere bidrag fra wikipedianere er tilgjengelig for forskere her:

  • Kartesisk koordinatsystemhistorie

  historien til denne artikkelen siden den ble importert Til New World Encyclopedia:

  • Historikk for «Kartesisk koordinatsystem»

  Merk: enkelte restriksjoner kan gjelde for bruk av enkeltbilder som er lisensiert separat.