Odds

I statistikk er odds et uttrykk for relative sannsynligheter, vanligvis sitert som oddsen i favør. Oddsen (i favør) for en hendelse eller et forslag er forholdet mellom sannsynligheten for at hendelsen vil skje med sannsynligheten for at hendelsen ikke vil skje. Matematisk er Dette En Bernoulli-prøve, da den har nøyaktig to utfall. I tilfelle av et begrenset utvalgsområde med like sannsynlige utfall, er dette forholdet mellom antall utfall der hendelsen oppstår, og antall utfall der hendelsen ikke forekommer; disse kan representeres Som W Og L (For Gevinster og Tap) eller S og F (For Suksess og Fiasko). For eksempel er oddsen for at en tilfeldig valgt ukedag er en helg to til fem (2:5), da dager i uken danner et utvalgsrom på syv utfall, og hendelsen skjer for to av utfallene (lørdag og søndag), og ikke for de andre fem. Omvendt, gitt odds som et forhold mellom heltall, kan dette representeres av et sannsynlighetsrom for et endelig antall like sannsynlige utfall. Disse definisjonene er ekvivalente, siden deling av begge termer i forholdet med antall utfall gir sannsynlighetene: 2 : 5 = ( 2 / 7 ) : ( 5 / 7 ) . {\displaystyle 2:5=(2/7):(5/7).}

Motsatt er oddsen mot det motsatte forholdet. For eksempel er oddsen mot en tilfeldig dag i uken som en helg 5: 2. Odds og sannsynlighet kan uttrykkes i prosa via preposisjonene til og i: «odds for så mange til så mange på (eller mot)» refererer til odds-forholdet mellom antall (like sannsynlige) utfall i favør og mot (eller omvendt); «sjanser for så mange , i så mange» refererer til sannsynlighet – antall (like like) utfall i favør i forhold til tallet for og mot kombinert. For eksempel, «odds for en helg er 2 til 5», mens «sjansene for en helg er 2 i 7». I tilfeldig bruk brukes ordene odds og sjanser (eller sjanse) ofte utveksling for å vagt indikere et visst mål på odds eller sannsynlighet, selv om den tiltenkte betydningen kan utledes ved å merke seg om preposisjonen mellom de to tallene er til eller i.

Matematiske relasjonerrediger

Odds kan uttrykkes som et forhold på to tall, i så fall er Det ikke unikt – skalering av begge begrepene med samme faktor endrer ikke proporsjonene: 1:1 odds og 100:100 odds er de samme (like odds). Odds kan også uttrykkes som et tall, ved å dele vilkårene i forholdet – i dette tilfellet er det unikt (forskjellige fraksjoner kan representere det samme rasjonale tallet). Odds som et forhold, odds som et tall og sannsynlighet (også et tall) er relatert med enkle formler, og tilsvarende odds i favør og odds mot, og sannsynlighet for suksess og sannsynlighet for fiasko har enkle relasjoner. Odds varierer fra 0 til uendelig, mens sannsynlighetene varierer fra 0 til 1, og er derfor ofte representert som en prosentandel mellom 0% og 100%: reversering av forholdet bytter odds for med odds mot, og tilsvarende sannsynlighet for suksess med sannsynlighet for fiasko.

Gitt odds (i favør) som forholdet W:L (Vinner:Tap), oddsen i favør (som et tall) o f {\displaystyle o_{f}}

og odds mot (som et tall) o a {\displaystyle o_{a}}

kan beregnes ved ganske enkelt å dele, og er multiplikative inverser: o f = W / L = 1 / o a o a = l / W = 1 / o f o ⋅ o = 1 {\displaystyle {\begin{ajusted}o_{f}&=W/L=1/o_{a}\\o_{a}&=L/W=1/o_{f}\\o_{a}&=L/W=1/o_{f}\\o_{f}\Cdot O_ {a} &=1\end{aligned}}}

analogt, gitt odds som et forhold, kan sannsynligheten for suksess eller fiasko beregnes ved å dele, og sannsynligheten for suksess og sannsynlighet for fiasko sum til enhet (en), da de er de eneste mulige utfallene. I tilfelle av et endelig antall like sannsynlige utfall, kan dette tolkes som antall utfall hvor hendelsen oppstår dividert med totalt antall hendelser:

p = W / ( W + L ) = 1 − q q = L / ( W + L ) = 1 − p p + q = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}p&=W/(W+L)=1-q\\q&=l/(w+l)=1-p\\p+q&=1\end{aligned}}}

gitt en sannsynlighet p, er oddsen som et forhold p : q {\displaystyle p:q}

(sannsynlighet for suksess til sannsynlighet for fiasko), og oddsen som tall kan beregnes ved å dele: o f = p / q = p / ( 1 − p ) = ( 1 − q ) / q o a = q / p = ( 1 − p ) / p = q / ( 1 − q ) {\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{justert}}}

Omvendt, gitt oddsen som et tall o f , {\displaystyle o_{f},}

dette kan representeres som forholdet o f: 1, {\displaystyle o_{f}: 1,}

eller omvendt 1 : ( 1/o f ) = 1 : o a, {\displaystyle 1:(1/o_{f})=1:o_{a},}

: p = o f / ( o f + 1 ) = 1 / ( o a + 1 ) q = o a / ( o a + 1 ) = 1 / ( o f + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}p&=o_{f}/(o_{f}+1)=1/(o_{a}+1)\\q&=o_{a}/(o_{a}+1)=1/(o_{f}+1)\end{justert}}}

div hvis det uttrykkes som en brøk med en teller på 1, varierer sannsynligheten og oddsen med nøyaktig 1 i nevneren: en sannsynlighet på 1 av 100 (1/100 = 1%) er den samme som oddsen på 1 til 99 (1/99 = 0,0101… = 0.01), mens odds pa 1 til 100 (1/100 = 0,01) er det samme som en sannsynlighet for 1 i 101 (1/101 = 0,00990099… = 0.0099). Dette er en liten forskjell hvis sannsynligheten er liten (nær null eller «lange odds»), men er en stor forskjell hvis sannsynligheten er stor (nær en).

disse er utarbeidet for noen enkle odds:

odds (ratio)	o f {\displaystyle o_{f}}	o a {\displaystyle o_{a}}	p {\displaystyle p}	q {\displaystyle q}
1:1	1	1	50%	50%
0:1	0	∞	0%	100%
1:0	∞	0	100%	0%
2:1	2	0.5	67%	33%
1:2	0.5	2	33%	67%
4:1	4	0.25	80%	20%
1:4	0.25	4	20%	80%
9:1	9	0.1	90%	10%
10:1	10	0.1	90.90%	9.09%
99:1	99	0.01	99%
100:1	100	0,01	99,0099%	0,9900%

disse transformasjonene har visse spesielle geometriske egenskaper: konverteringene mellom odds for og odds mot (resp. sannsynlighet for suksess med sannsynlighet for fiasko) og mellom odds og sannsynlighet er Alle Mö-transformasjoner (fraksjonelle lineære transformasjoner). De er således spesifisert av tre punkter (skarpt 3-transitive). Bytte odds for og odds mot swaps 0 og uendelig, fikse 1, mens bytte sannsynlighet for suksess med sannsynlighet for feil swaps 0 og 1, fikse .5; disse er begge ordre 2, dermed sirkulære transformasjoner. Konvertering av odds til sannsynlighet løser 0, sender uendelig til 1, og sender 1 til .5 (selv odds er 50% sannsynlig), og omvendt; dette er en parabolisk transformasjon.

I sannsynlighetsteori og statistikk kan odds og lignende forhold være mer naturlige eller mer praktiske enn sannsynligheter. I noen tilfeller brukes log-oddsene, som er logit av sannsynligheten. Oddsene blir ofte multiplisert eller delt, og log konverterer multiplikasjon til addisjon og divisjon til subtraksjoner. Dette er spesielt viktig i den logistiske modellen, hvor log-oddsene til målvariabelen er en lineær kombinasjon av de observerte variablene.

Lignende forhold brukes andre steder i statistikk; av sentral betydning er sannsynlighets-forholdet i sannsynlighetsstatistikk, som brukes I Bayesiansk statistikk som Bayes-faktoren.

Odds er spesielt nyttige i problemer med sekvensiell beslutningstaking, som for eksempel i problemer med hvordan man stopper (online) på en siste spesifikk hendelse som løses av oddsalgoritmen.

oddsene er et forhold av sannsynligheter; et oddsforhold er et forhold av odds, det vil si et forhold av forhold av sannsynligheter. Odds-forhold brukes ofte i analyse av kliniske studier. Mens de har nyttige matematiske egenskaper, kan de produsere motintuitive resultater: en hendelse med 80% sannsynlighet for å inntreffe er fire ganger mer sannsynlig enn en hendelse med 20% sannsynlighet, men oddsen er 16 ganger høyere på den mindre sannsynlige hendelsen (4-1 mot eller 4) enn på den mer sannsynlige (1-4 eller 4-1 på eller 0,25).

Eksempel #1 Det er 5 rosa kuler, 2 blå kuler og 8 lilla kuler. Hva er oddsen for å plukke en blå marmor?

Svar: oddsen til fordel for en blå marmor er 2: 13. Man kan ekvivalent si at oddsen er 13: 2 mot. Det er 2 av 15 sjanser i favør av blå, 13 av 15 mot blå.

i sannsynlighetsteori og statistikk, hvor variabelen p er sannsynligheten til fordel for en binær hendelse, og sannsynligheten mot hendelsen er derfor 1-p, er «oddsen» for hendelsen kvotienten til de to, eller p 1-p {\displaystyle {\frac {p}{1-p}}

. Denne verdien kan betraktes som den relative sannsynligheten for at hendelsen vil skje, uttrykt som en brøkdel (hvis den er mindre enn 1), eller et flertall (hvis det er lik eller større enn en) av sannsynligheten for at hendelsen ikke vil skje. i det første eksempelet øverst, sier oddsen for en søndag er » en til seks «eller, mindre vanlig,» en sjettedel » betyr sannsynligheten for å plukke en søndag tilfeldig er en sjettedel sannsynligheten for ikke å plukke en søndag. Mens den matematiske sannsynligheten for en hendelse har en verdi i området fra null til en, ligger» oddsene » til fordel for den samme hendelsen mellom null og uendelig. Oddsen mot hendelsen med sannsynlighet gitt som p er 1-p p {\displaystyle {\frac {1-p}{p}}}

. Oddsen mot sondag er 6: 1 eller 6/1 = 6. Det er 6 ganger så sannsynlig at en tilfeldig dag ikke er en søndag.